孟祥寶，王彥鹍，董正榮

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基于兩面投影為全等幾何圖形的組合體構型設計

孟祥寶，王彥鹍，董正榮

(吉林大學機械科學與工程學院，吉林 長春 130025)

組合體投影分析與構型設計是工程圖學課程的基本內容之一，是工程師閱讀工程圖樣和設計零件幾何結構細節(jié)的基礎。為此，通過一系列示例，提出一種基于等腰三角形、等腰直角三角形、正方形、圓形及方圓組合組成的全等幾何圖形作為兩面投影，以棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、圓球和圓環(huán)等基本單元通過線面/形體分析法進行空間發(fā)散構思進而派生多種組合體及其第三面投影，并用CATIA軟件建立對應的三維幾何模型。該方法為拓展空間思維能力和幾何構型設計提供了基本素材，增強了投影分析過程的邏輯性和趣味性。

組合體；投影分析；構型設計；空間思維能力；CATIA

組合體投影分析與構型設計一直受到圖學教師的普遍重視。在教學過程中，利用“兩個視圖往往不能確定空間物體的唯一形狀”這一特性，常常給出兩個投影要求學生想象出盡可能多的不同的空間形狀，以此訓練和加強學生的空間思維能力和構型設計能力。該教學方法近十多年來已被廣泛采用，有許多讀圖方法技巧和精選讀圖范例文獻。王潤良[1]探討了不定形二視圖的判斷方法和投影構思。王狂飛和王玉琨[2]提出了確定不定形兩投影多解問題的規(guī)律。王興菊和張燁[3]分析了全等矩形兩面投影的邏輯推理。孟祥寶等[4]將投影多解問題作為構型設計的基本訓練環(huán)節(jié)。文獻[5-7]論述了矩形外輪廓全等(對稱)組合圖形投影的邏輯性和趣味性。文獻[8-10]對組合體構型設計多解問題進行了研究。金大鷹[11]編著《趣味制圖》——題目皆為根據(jù)形狀完全相同的兩視圖求作第三視圖，圖形簡單新穎，大都包含多解情況。文獻[12-15]分別分享了組合體讀圖的區(qū)域對應、面形對應和區(qū)分相鄰線框方位的策略。上述文獻大都基于平面立體展開讀圖探討，缺少基本回轉體及其與平面立體相關組合的投影分析，邏輯上存在一定的局限性。本文通過基于全等基本幾何圖形作為兩面投影進行組合體構型分析，以期為產(chǎn)品結構設計提供平面立體與回轉體及其組合的基本體素，達到使工程圖學課程內容與工程設計相結合的目標。

1 全等基本幾何圖形兩面投影構型

按照視圖表達清晰簡便的基本原則，正四棱柱、正四棱錐、圓柱、圓錐、圓球及圓環(huán)等基本體的三面投影分別由等腰三角形、等腰直角三角形、矩形、圓形等基本幾何圖形組成，如圖1所示。上述基本體的三面投影都存在兩面投影為全等幾何圖形。其中，由兩面投影為全等矩形、全等等腰三角形可分別得到基本體正四棱柱和圓柱(棱柱特例)、正四棱錐和圓錐(棱錐特例)兩個解。以正四棱柱(兩面投影為全等對稱矩形)、正四棱錐(兩面投影為全等對稱等腰直角三角形)為基本體素基礎進行發(fā)散構思可得到如圖2所示的組合體實例。因此，有必要展開利用上述基本體素并基于此類兩面投影為全等幾何圖形的組合體進行構型分析。

圖1 正四棱柱、正四棱錐、圓柱、圓錐、圓球及圓環(huán)的三面投影及示例

圖2 分別基于正四棱柱、正四棱錐全等兩面投影發(fā)散構型示例

1.1 等腰三角形兩面投影構型分析

如圖3所示，以等腰三角形為主、俯視圖求其左視圖并構型實體。依線面投影分析，可直接得到四棱錐、三棱錐和圓錐等基本體；考慮到已給兩視圖的對稱性和線面投影積聚性，再利用圓錐作為棱錐特例并通過截切與相切等方式，派生出5種四棱錐與圓錐的實體組合，將棱錐和圓錐建立了有機聯(lián)系。

圖3 等腰三角形兩面投影分析構型示例

1.2 等腰直角三角形兩面投影構型分析

如圖4所示，以等腰直角三角形為主、俯視圖求其左視圖并構型實體。經(jīng)線面分析并考慮線面投影積聚性，同樣可得到三棱錐、四棱錐和截切圓錐等7種基本體；再根據(jù)等腰直角三角形自身幾何特性可分析得到軸線分別過球心的三圓錐與該圓球相切的實體組合特例。

1.3 正方形兩面投影構型分析

如圖5所示，以正方形為主、俯視圖求其左視圖并構型實體。經(jīng)常規(guī)線面投影分析可得正方體和圓柱[3]等多種答案；此外，基于“管”拉伸成型方式得到由正方體與圓柱相切與倒角而成的8種實體組合，建立了圓柱與棱柱之間的聯(lián)系。

1.4 圓形兩面投影構型分析

如圖6所示，以圓形為主、俯視圖求其左視圖并構型實體。經(jīng)投影分析可得圓球、兩等徑圓柱正交組合基本體；再對該圓球與該基本體通過截切、倒角與相切等方式重新組合，派生出6種結構不同的組合體，使圓球與圓柱有機關聯(lián)。

圖4 等腰直角三角形兩面投影分析構型示例

圖5 正方形兩面投影分析構型示例

圖6 圓形兩面投影分析構型示例

2 全等方圓組合兩面投影構型分析

2.1 方圓相切組合兩面投影構型分析

以方圓相切組合為主、俯視圖求其左視圖并構型實體。依線面投影分析，存在4種情形：①正方形投影每條邊對應另一投影的圓，便得到分別被3組平行于各投影面的對稱平面截切而成的圓球(圖7)，顧及實體下后方部分構型的靈活性，還可以用四棱柱和四分之一圓柱替換，派生兩個類似答案；②正方形投影對應另一投影的圓，即兩等徑圓柱正交組合(圖8)，亦派生兩個類似答案；③圓與圓、正方形與正方形投影分別對應并考慮可見性，得到由等腰直角三角形截面三棱柱與正交等徑圓柱組合實體(圖9)，同樣派生兩個類似答案；④內徑為零的四分之一圓環(huán)分別進行前后上下對稱組合，內部用相切方式疊加四棱柱而成的實體，如圖10所示，亦派生兩個類似答案。

由已給方圓相切兩面投影的對稱性，邏輯上推出所構型實體的三維對稱性；也就是說，可以基于相切方式將上述實體逐一進行空間八分之一基本單元組合置換。因此，分別對圖7~10所示截切圓球、等徑正交相貫圓柱等四種情形進一步剖析并相互組合，派生出36種多解示例，如圖11所示(限于篇幅只給出各組合示例的三維 模型)。

圖7 方圓相切兩面投影分析構型示例之一

圖8 方圓相切兩面投影分析構型示例之二

圖9 方圓相切兩面投影分析構型示例之三

圖10 方圓相切兩面投影分析構型示例之四

圖11 方圓相切兩面投影分析構型示例之五

2.2 方圓內接組合兩面投影構型分析

以方圓內接組合為主、俯視圖求其左視圖并構型實體。依線面投影分析，分別將主俯視圖的圓形、正方形投影兩兩對應并考慮可見性，將圓形表達為正交等徑圓柱布爾運算“與”組合形成的實體，正方形則以“管”拉伸方式由棱柱、圓柱及其相切、倒角組合，得到如圖12所示16種實體構型。

圖12 方圓內接兩面投影分析構型示例

3 幾個特例

分別以全等圓形、正方形、圓形與內接對稱正交直線組合、正方形與內接對稱正交直線組合和正方形與內接對稱正交直線及虛線菱形組合為三視圖構型實體。以上述發(fā)散構思分析為前提，得到基于圓球、圓錐和圓柱組合而成的5種特例，分別如圖13~17所示。

圖13 圓形三面投影構型特例

需要說明，圖13所示實體是分別以正方體八個頂點作錐頂、對角線為軸線、棱邊之半為母線所形成的圓錐與以正方體形心為球心、正方形外接圓半徑為半徑的圓球的相切組合，該示例在某種程度上打破了由三視圖可以表達一個實體的唯一性；圖14所示實體是由圓球與圓錐經(jīng)過三維對稱的相切組合，突破了在一般情況下實體三視圖不包含曲線該實體為平面立體的習慣性思維；圖15~16所示實體分別由全等圓形、正方形作三維管狀對稱組合拉伸而成，其中，圖15所示實體的正等軸測圖與正方體雷同，說明用軸測圖表達實體的直觀性和唯一性也存在某些不足；圖17所示實體則是正方體分別被圓錐、圓球三維對稱切割而成。

圖14 正方形三面投影構型特例

圖15 圓形與內接對稱正交直線組合投影構型特例

圖16 正方形與內接對稱正交直線組合投影構型特例

圖17 正方形與內接對稱正交直線及虛線菱形組合投影構型特例

4 結束語

由等腰三角形、等腰直角三角形、正方形、圓形及方圓組合組成的全等幾何圖形作為兩面投影進行組合體構型設計是提高學生空間思維能力的有效途徑之一。本文通過投影分析與實體構型示例利用截切、相切及對稱等組合方式建立了圓柱、圓錐、圓球及圓環(huán)等基本回轉體與棱柱、棱錐等平面立體相關投影之間的聯(lián)系，所生成的實體模型可作為組合體投影分析基本訓練環(huán)節(jié)和零件幾何結構構型設計的基本素材。

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Configuration Design for Assembly of Congruent Geometric Figure Based on Two-Sided Projection

MENG Xiangbao, WANG Yankun, DONG Zhengrong

(School of Mechanical Science & Engineering, Jilin University, Changchun Jilin 130025, China)

Projection analysis and configuration design of assembly constitute one of the essential contents in engineering graphics course. It lays foundation for engineers to read technical drawings, and design details of geometric structures of machine parts. For this purpose, a series of example are shown based on isosceles triangles, isosceles right triangles, squares, circles, and combinations of squares as two-sided projection. And spatial divergence conception is worked out by means of line-surface and shape-volume analysis of basic units as prism, pyramid, cylinder, cone, sphere and torus. In result, assembly of various geometric shapes and the third projection are derived. 3D geometric models are implemented using CATIA software. It strengthens the ability of spatial ideation, provides fundamental samples for geometric configuration design, and enhances logicality and interestingness in the process of projection analysis.

combination solid; projection analysis; configuration design; spatial ideation; CATIA

TH 126

10.11996/JG.j.2095-302X.2018030599

A

2095-302X(2018)03-0599-06

2017-08-29；

2017-10-25

孟祥寶(1962-)，男，遼寧建平人，教授，碩士。主要研究方向為產(chǎn)品幾何建模及數(shù)值分析。E-mail：mengxb@jlu.edu.cn