黃　楊，向民奇，錢　洵，孫　亮，何　瀟，袁大海

（廣西大學機械工程學院，廣西 南寧 530004）

振動模態(tài)是彈性結構固有的、整體的特性。通過對結構進行模態(tài)分析可以弄清結構在某一頻率范圍內各階模態(tài)的特性，由此可以預測結構在此頻段內在外部或內部振源激勵下產生的實際振動響應。因此，模態(tài)分析是結構動態(tài)設計及損傷檢測的重要方法。模態(tài)參數(shù)識別的研究中，不同的支撐方式，即自由邊界模擬對模態(tài)參數(shù)提取結果影響較大。黃琴等[1]研究了橡皮繩懸掛、輪胎支撐、海綿支撐三種方式下鋁制圓盤模態(tài)參數(shù)提取結果的差異，結果表明，輪胎支撐下鋁制圓盤試驗模態(tài)參數(shù)與有限元數(shù)值分析結果最為接近，進一步分析發(fā)現(xiàn)，不同輪胎胎壓對模態(tài)參數(shù)的影響也很大。田晶等[2]研究了不同支撐方式、不同支撐位置對鋼板模態(tài)參數(shù)提取結果的影響，試驗結果顯示，對于質量較小的鋼板，采用懸掛的支撐方式模態(tài)參數(shù)提取結果更準確，而且懸掛點越少，結果越準確。目前，模態(tài)參數(shù)識別的研究中，對研究對象的支撐方式常采用自由支撐、固定支撐、原裝支撐三種。所謂自由支撐實際上是為了減少其他約束條件對試驗結果產生的影響，對研究對象進行自由邊界條件的模態(tài)。由于各種條件的限制，達到完美的自由邊界條件幾乎不可能，因此，自由邊界條件模擬的好壞，在很大程度上決定了試驗結果的準確性。

對于質量較大的中大型零部件，常采用彈簧支承模擬其自由邊界，因為選用合適的彈簧，不僅可以降低支承裝置對零部件的約束，而且可以使零部件具備一定的行程，得到較好的振動響應效果。同時，當系統(tǒng)固有頻率小于研究對象第一階彈性模態(tài)頻率的五分之一時，柔軟支撐對結構模態(tài)參數(shù)提取結果的影響將會很小[3]。

針對變速箱箱體的再制造加工之前，需要對其進行全面的損傷檢測[4]，本文選擇利用模態(tài)參數(shù)識別對其進行損傷檢測。由于再制造箱體為拆卸下來的零部件，對其分析不用考慮其工作狀態(tài)，故可以采用自由支撐。為了準確提取再制造箱體零件的模態(tài)參數(shù)，設計了錘擊實驗過程中專用的柔性支承裝置，并通過試驗驗證了所設計裝置的有效性。結果表明，柔性支承裝置不僅能穩(wěn)定支承箱體，系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)相干性較好，而且滿足箱體自由邊界模擬的條件，實現(xiàn)了箱體模態(tài)頻率的準確提取。

1　模態(tài)分析理論基礎

有限元分析的基本思想是將研究對象離散成一系列由彈簧、阻尼器、節(jié)點等構成的單元，這樣，原本擁有無數(shù)個自由度的系統(tǒng)成了有限個結構單元組成的系統(tǒng)。假設變速箱箱體是理想狀態(tài)的線性系統(tǒng)，根據(jù)Darren Bell原理，振動微分方程（1）可以用來近似描述該系統(tǒng)[5]：

式（1）中，[M]、[C]、[K]分別代表變速箱箱體的質量、阻尼和剛度矩陣，[M]、[C]、[K]都是實對稱、階數(shù)為n 的矩陣；{δ}、{δ˙} 、{δ¨} 分別代表變速箱箱體的位移、速度、加速度向量，同樣{δ}、{δ˙} 、{δ¨}是階數(shù)為 n 的向量；{P}為變速箱箱體動態(tài)激勵的階向量。由于外部動載荷為零且阻尼對系統(tǒng)的影響不大，在求解結構自由振動特性參數(shù)時，可以忽略{C}和{P}.從而，系統(tǒng)振動微分方程可表達為：

設方程（2）的特解為：

式中{Φ}為自由振動的幅值向量，將特解代入系統(tǒng)無阻尼自由振動方程可得：

由于{Φ}為自由振動的幅值向量，所以{Φ}不能為零，此時求解方程（4）轉變?yōu)榍蠼鈴V義特征值的問題，式（4）中{Φ}有非零解的充要條件為：

式（5）稱為求解變速箱箱體固有頻率的特征值方程，特征值方程是關于ω2的n次線性代數(shù)方程，求解得到n個正實數(shù)根，，…，進一步通過這n個正數(shù)根可得到系統(tǒng)n個無阻尼固有頻率ωi（i=1，2，…，n）。將ωi代入原式（4）求出該自由振動系統(tǒng)的第階固有振型{Φi（}i=1，2，…，n）。

2　變速箱箱體自由邊界條件模態(tài)分析

2.1　箱體三維建模

圖1為某再制造公司提供的裝載機變速箱箱體，為再制造毛坯。該變速箱箱體的材料主要為HT200，最大尺寸（長寬高）：1 080 mm×485 mm×595 mm，重量為274 kg.材料屬性如表1所示。

圖1　再制造變速箱箱體

表1　變速箱箱體材料屬性

在對變速箱箱體建模的過程中，應該對箱體進行不同程度的簡化[6]，以減少網(wǎng)格劃分的數(shù)量和后續(xù)模態(tài)分析計算量。簡化后的箱體三維模型如圖2所示。

圖2　變速箱箱體三維模型

2.2　箱體網(wǎng)格劃分

網(wǎng)格劃分越細，計算結果精度越高，但是，相應地，求解時間邊長，對計算機要求也更高。結合實際情況，本文采用Solid187網(wǎng)格單元，Smart Sizing為7自動劃分網(wǎng)格。網(wǎng)格劃分結果如圖3所示。

圖3　變速箱箱體網(wǎng)格劃分

2.3　箱體模態(tài)分析結果

本文采用分塊藍索斯法法提取變速箱箱體的模態(tài)結果。由于對變速箱箱體作自由模態(tài)分析，不對其添加任何約束，箱體前六階模態(tài)頻率計算結果和振型分析如表2所示，振型圖如圖4所示。

表2　箱體前6階自由邊界的模態(tài)頻率值及振型描述

（續(xù)下圖）

（接上圖）

根據(jù)振型圖，可以合理選擇錘擊點、響應點、及傳感器布置點。為了減少支承裝置的接觸對分析結果的影響，支撐位置可以選擇在箱體的節(jié)點位置；為了收集到箱體更多振動信息，錘擊點、響應點應優(yōu)先選擇在多階固有頻率振動的方向上[7]。

3　柔性支承裝置

為了提高變速箱箱體模態(tài)參數(shù)識別中模態(tài)錘擊試驗的準確性，需要構建箱體零件的柔性支承，以獲得被試驗對象的自由邊界。根據(jù)箱體模態(tài)分析的結果，以及支撐點選取的原則，設計箱體采取圖5所示的支撐方式。

圖5　箱體柔性支承設計及支承方式

考慮到變速箱箱體質量較大，選擇彈簧為主要受力元件，并通過導桿、導套來建立支撐。具體設計步驟如下[8]：

（1）彈簧材料

因彈簧主要承受箱體重量，為一般載荷，故選擇第III類（載荷作用次數(shù)小于103次）碳素彈簧鋼絲SL型。

（2）彈簧直徑

式中，d為彈簧直徑；Fmax為最大載荷；K為彈簧曲度系數(shù)；C為旋繞比；[τ]為許用切應力。

箱體質量274 kg，因此各個支承裝置所受最大載荷Fmax≈ 274×10÷4≈ 685 N，旋繞比C=，通常取5~8，現(xiàn)暫取8，中徑D=40 mm，彈簧直徑d=5 mm.將C=8代入（7）得K ≈ 1.184，根據(jù)彈簧直徑和材料屬性查表得[τ]=830 MPa，代入（6）得：

可以看到，所選擇的彈簧直徑d=5 mm，接近理論計算值，選取合理。

（3）彈簧圈數(shù)

為了使得支承裝置具備一定的柔度，取變形量λ=50 mm.

式中，λmax為最大變形量，為彈簧材切變模量，查表為 80 000 MPa，代入式（8）得：

取n=8.

（4）彈簧彈性系數(shù)

將箱體柔性支承系統(tǒng)簡化為彈簧質量塊系統(tǒng)，如圖6所示。

圖6　箱體柔性支承系統(tǒng)簡化模型

圖6中，彈簧彈性系數(shù)為K0，質量快的質量為箱體的四分之一，不考慮空氣阻力，假設系統(tǒng)為線性，則有：

式（9）中ω代表箱體柔性支撐系統(tǒng)的固有圓頻率，由自由邊界模擬的條件可知，系統(tǒng)的固有圓頻率應該滿足=102.18 rad/s，彈簧的彈性系數(shù)可由下式確定。

式（10）中，G為彈簧彈性模量；N彈簧圈數(shù)；D彈簧中徑。

將彈簧圈數(shù)、彈簧中徑等代入式（10）計算得

將ω＜2π×16.27 rad/s代入式（10）得K0＜715.19 N/mm，可以看到，彈簧勁度系數(shù)滿足自由邊界模擬的條件。

（5）導桿、導套

圖7為柔性支承裝置的設計圖和加工后的實物圖。為了使裝置對箱體的支承更平穩(wěn)，加工了4個同樣的支承裝置構成箱體的柔性支承系統(tǒng)。為了彈簧在箱體重量作用下不失穩(wěn)，設計了導桿、導套，為了使裝置與箱體接觸面積更小，導桿頂端設計成頂針的形式。

圖7　柔性支承裝置設計及實物圖

4　試驗驗證

實驗儀器采用丹麥B&K公司的PULSE Labshop通用測試系統(tǒng)，詳見表3.激勵力錘標稱靈敏度為2.149 mV/N，測量范圍2 200 N，選用鋼制錘頭的頻率范圍可達5 kHz.單向加速度傳感器的標稱靈敏度為9.980 mV/N，頻率范圍 0.3 Hz~8 kHz.現(xiàn)場實物連接圖如圖8所示，結果如圖9、表4所示。試驗步驟：

（1）用力錘錘擊箱體，獲得激勵和響應信號，為了使結果準確，重復4次取平均。

（2）根據(jù)頻響函數(shù)計算出系統(tǒng)的各階模態(tài)頻率。

（3）觀察響應信號與激勵信號的相干性。

表3　試驗設備

圖8　實驗現(xiàn)場

圖9　一組試驗中激勵、響應信號及相干性

表4　箱體支承條件下各階模態(tài)頻率

從圖9可以看到，激勵信號沒有產生明顯的連擊，說明箱體在外部沖擊載荷作用下，沒有產生快速回彈，柔性支承裝置彈性合理。響應信號有明顯的衰減過程，這說明柔性支承裝置具有良好的柔度。從相干性圖中可以看到，系統(tǒng)輸入輸出相干性較好，進一步證明柔性支承裝置設計合理。

從表4可以看到，柔性支承系統(tǒng)的最高固有頻率為4.67 Hz，箱體零件在柔性支承下的第一階固有頻率是84.35 Hz，柔性支承系統(tǒng)的固有頻率遠低于箱體零件第一階固有頻率的五分之一，表明所設計的柔性支承滿足自由邊界的要求。進一步從圖10中對比發(fā)現(xiàn)，箱體自由邊界理論模態(tài)頻率（簡稱自由模態(tài)）和柔性支承下試驗模態(tài)頻率（簡稱試驗模態(tài)）相差不大，因此，可以認為柔性支承裝置對箱體模態(tài)參數(shù)提取結果的影響將會很小，自由邊界條件的模擬能達到理想的效果。

圖10　自由模態(tài)、試驗模態(tài)頻率對比

5　結論

自由邊界條件的模擬實質上是將外部因素對結構的約束和影響降到最低，使得對結構模態(tài)參數(shù)的提取結果更加準確。本文為了正確模擬再制造變速箱箱體的自由邊界條件，以便準確獲取其模態(tài)參數(shù)，設計了以彈簧、導桿、導套組成的柔性支承裝置，并通過錘擊試驗得到了箱體在柔性支承作用下的各階模態(tài)頻率，通過比較箱體的試驗模態(tài)頻率和自由模態(tài)頻率，證明了柔性支承裝置滿足設計要求，系統(tǒng)輸入輸出相干性也較好。