文/梁后軍 謝睿 馮宜強 周萬懷 常郝 李浩 劉從九 徐守東

1 引言

灰色系統(tǒng)理論是由華中理工大學鄧聚龍教授于1982年提出并加以發(fā)展的。二十幾年來，引起了不少國內外學者的關注，得到了長足的發(fā)展。目前，在我國已經成為社會、經濟、科學技術等諸多領域進行預測、決策、評估、規(guī)劃控制、系統(tǒng)分析與建模的重要方法之一。特別是它對時間序列短、統(tǒng)計數(shù)據(jù)少、信息不完全系統(tǒng)的分析與建模，具有獨特的功效，因此得到了廣泛應用。

在棉花產量預測方面，李鵬程、董合林[1]根據(jù)聯(lián)合國模擬世界纖維市場的預測，認為2020年世界棉花產量預計將增加到3200萬噸，其中發(fā)展中國家（地區(qū)）將繼續(xù)占世界棉花產量的大部分份額。張聞、韓金等[2]通過多項式擬合的方法，針對2016年新疆棉花產量進行了預測，并基于預測對棉花加工工作提出了建議。本研究以2007—2017年全國棉花產量為基礎，基于灰色系統(tǒng)建模方法逐步建立GM(1,1)模型，并外推預測2018、2019年的全國棉花產量，以期為棉花產業(yè)的生產、加工提供依據(jù)。

2 基于灰色模型的我國棉花產量預測

研究基于2007—2017年我國棉花總產量數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)來源：國家統(tǒng)計局網(wǎng)站），運用灰色模型GM(1,1)預測2018、2019年全國棉花總產量?；疑A測模型（Gray Forecast Model）是通過少量、不完全的信息，建立數(shù)學模型并做出預測的一種預測方法。目前常用的一些預測方法（如回歸分析等），需要較大的樣本。若樣本較小，常造成較大誤差，使預測目標失效。灰色預測模型所需建模信息少、運算方便、建模精度高，在各種預測領域都有著廣泛的應用，是處理小樣本預測問題的有效工具。只要待分析變量隨著時間發(fā)展呈現(xiàn)有一定變化趨勢，就可以嘗試使用該方法進行建模，而無需考慮該變量的其他相關影響因素及狀態(tài)；只要建模過程中每個步驟都符合模型的約束、檢驗準則，則可以認為模型合理、預測結果基本有效。運用GM(1,1)模型的預測步驟為：首先，對2007—2017年我國棉花產量統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行預處理，降低其波動性，若處理后的數(shù)據(jù)的一階累加和大致符合指數(shù)分布，則可以考慮建模；其次，建立、檢驗相應GM（1,1）模型擬合2007—2017年我國棉花產量，判斷模型擬合效果；最后，運用GM（1,1）模型預測分析2018、2019年全國棉花產量。

2.1 灰色模型GM（1,1）原理

灰色模型是利用離散隨機數(shù)經過生成變?yōu)殡S機性被顯著削弱而且較有規(guī)律的生成數(shù)，建立起微分方程形式的模型。設n個元素的數(shù)列X(0)={x(0)(1)， x(0)(2)， …，x(0)(n)}，其中x(0)(k)≥0，k=1，2，…，n；X(1)={x(1)(1)，x(1)(2)， …，x(1)(n)}稱為X(0)的一階累加序列(1-AGO)，其中、k=1，2，…，n；灰微分方程為：

式(1)中a稱為發(fā)展系數(shù)，b稱為灰作用量，參數(shù)向量可以運用最小二乘法估計

其中Y，B分別為：

稱 為GM（1,1）的白化型，對應的解為：

當k≥n時，所求得的x(1)(k+1)就是x(1) 序列的預測值。由于

因此求得k≥n時的序列的值就可以利用（5）式求出X(0)序列的預測值。

2.2 數(shù)據(jù)預處理

由于灰色預測模型可以通過少量的、不完全的信息建模并預測。我們選擇最近10年的全國棉花產量數(shù)據(jù)做建?；A。考慮到原始數(shù)據(jù)（為方便起見稱其為X）存在較大波動，如圖1所示，先對其進行最緊鄰兩兩求均值處理，所得結果稱為序列X(0)，即：

由圖1可見X(0)比原始數(shù)據(jù)序列X波動稍小一些，以下以X(0)作為基礎數(shù)據(jù)建立GM(1,1)模型。結合表1可以看出，從2008年開始，全國棉花產量總體呈下降趨勢，特別是2016年棉花產量創(chuàng)下了近12年以來新低，宏觀層面可能是受到了2008年開始的經濟危機的影響，微觀層面生產成本提高、種棉花不賺錢，棉農種棉積極性降低。

表1 數(shù)據(jù)預處理

2.3 數(shù)據(jù)檢驗

計算數(shù)列的級比若所有級比都在可容覆蓋內，則數(shù)列可以作為模型GM(1,1)的數(shù)據(jù)進行灰色預測。否則，對數(shù)列進行變換處理，使其落入可容覆蓋內。

本文中X(0)共10個數(shù)，即n=10，從而級比區(qū)間為（0.834, 1.199）。由于所有λ（k）ε（0.834，1.199），故X(0)可以用作為GM（1,1）的數(shù)據(jù)。

表2 級比檢驗

2.4 建模

由于GM（1,1）模型本質是建立指數(shù)模型，在建模前先要對X(0)序列求一階累加和，得到X(1)序列，即對X(1)中每個元素，有 x(1)(k)=∑ki=1x(0)(i)，k=1，2，…，n；k=1，2，…，n；結果列于表3中。

表3 X(0)的一階累加X(1)及X(1)的模型擬合值

根據(jù)X(0)，X(1)構造矩陣Y、B，根據(jù)最小二乘法解得參數(shù)向量a=[a,b]T=[0.0254,718.7760]T，從而可得模型

解得

由公式（8）可以得到X(1)的模型擬合值，如表3所示。圖1直觀展示了X(1)及其模型擬合值的差異，由圖中可見兩條線高度重合，擬合效果較好。

圖1 一階累加序列X(1)及其模型擬合值

根據(jù)公式（9）可以求得X(0)序列的模型擬合值，結果列于表4中。

圖2直觀展示了X(0)序列及其模型擬合值，除第三個數(shù)外總體而言擬合較好。

圖2 序列X(0)及其模型擬合值

2.5 模型檢驗

一個模型能否用于預測，由有效性檢驗決定，只有符合檢驗標準的模型才能被用于進行預測?；疑Ｐ蜋z驗主要包括平均相對誤差檢驗、級比偏差值檢驗、絕對關聯(lián)度檢驗及均方差比值檢驗。

1）相對誤差檢驗：首先計算殘差

相對誤差序列為

對于k≤n，稱為k點模擬相對誤差，稱為平均相對誤差。本文中模型的平均相對誤差為0.0375，對照表5可知模型精度為二級。

2）級比偏差值檢驗：首先計算級比，再利用發(fā)展系數(shù)a求出相應的級比偏差

若ρ(k)＜0.2，則認為達到一般要求；若ρ(k)＜0.1，則認為達到較高要求。本文中絕對值最大的級比是0.0958，小于0.1，說明模型達到了較高要求。

3）均方差比值檢驗：均方差比值為C=S2/S1，其中S2是由公式（10）計算得到的殘差序列的標準差，S1是X(0)序列的標準差。由表4可知本文均方差比值C= 0.439，參照表5可知模型精度為二級。

綜合以上3個指標可得本文的模型精度是二級。

2.6 預測

根據(jù)上面的檢驗可知，模型精度為二級，說明模型擬合精度較好。為預測未來兩年的棉花產量，需要根據(jù)公式（8）計算X(1)序列的未來兩點的值，如表6所示，X(1)序列的未來兩點的值分別是6932.6053及7468.2283。再根據(jù)公式（9）可求得X(0)序列的未來兩點值分別是549.4199及535.6230。

X(0)序列尚不是真實棉花產量，還需要根據(jù)公式(6)求多領域進行預測、決策、評估、規(guī)劃控制、系統(tǒng)分析與建模的重要方法之一，對時間序列短、統(tǒng)計數(shù)據(jù)少、信息不完全系統(tǒng)的分析與建模，具有獨特的功效，得到了廣泛的出X序列未來兩點的值，結果見表7，2018、2019年的預測產量分別為550.2398萬噸及521.0062萬噸。

可見未來兩年，我國棉花總產量總體保持穩(wěn)定，與2017年全國棉花總產量548.6萬噸相比，2018年比2017年增長1.6萬噸，2019年比2018年減少約29萬噸。

表4 模型檢驗

表5 灰色模型精度檢驗等級

表6 X(0)與X(1)序列數(shù)據(jù)預測

3 總結與討論

灰色系統(tǒng)理論已經成為社會、經濟、科學技術等諸應用。該法無需考慮客觀事物之間的關系及影響預測對象因素的多少，僅依據(jù)連續(xù)收集預測對象過去的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，即可找到其隨時間變化的規(guī)律，建立時序模型，對未來進行預測。整個建模過程步驟清晰，操作簡便，短期預測結果可靠。本文利用2007年至2017年全國棉花總產量資料進行分析，通過中值化運算、模型擬合與檢驗等過程建立GM(1, 1)模型，探討未來兩年棉花產量的預測值。模型精度達二級標準，準確度較高。誠然，灰色模型僅作為一種數(shù)學預測工具，所依據(jù)資料的樣本含量有限，得到的也僅是理論值，難免會帶有局限性，為達到有效預測的目的，在使用時應結合動態(tài)監(jiān)測，不斷更新數(shù)據(jù)對模型動態(tài)擬合，從而保持較高的預測精度，更加有效指導我國棉花種植與交易工作。

表7 實際年產量X序列數(shù)據(jù)預測

[1] 李鵬程,董合林.2020年世界棉花形勢預測[J].中國棉花,2017,44(05):44-45.

[2] 張聞,韓金,單旭. 2016年度新疆棉花產量預測分析[J].中國棉麻產業(yè)經濟研究,2016(06):41-43.