劉 政，梁宇強(qiáng)

（東方電機(jī)有限公司，四川省德陽市 618000）

1 概述

水輪發(fā)電機(jī)的設(shè)計和制造過程中，經(jīng)常會使用到純切向或者純徑向約束的支撐系統(tǒng)，比如：純切向約束的機(jī)架、由徑向銷釘進(jìn)行切向約束的機(jī)座、由定位筋純切向約束的定子鐵心、純徑向約束的機(jī)架以及純徑向約束支撐的導(dǎo)軸承[1]等。

這些支撐系統(tǒng)圓周上由均勻的切向約束/徑向約束固定，在承受徑向外力時，各約束點的受力情況，是電機(jī)受力分析的關(guān)鍵點，牽涉到電機(jī)本身結(jié)構(gòu)甚至基礎(chǔ)的設(shè)計。筆者認(rèn)為，對這些支撐系統(tǒng)，如有一套統(tǒng)一的計算模型，將會使得整個設(shè)計過程更加清晰和有章法。

2 純切向約束系統(tǒng)

2.1 純切向約束系統(tǒng)特點及優(yōu)勢

水輪發(fā)電機(jī)里的純切向固定系統(tǒng)，如圖1所示。

該系統(tǒng)的特點在于，將原本承受徑、切向組合約束，改變?yōu)閮H承受切向約束。

該類系統(tǒng)通常用于徑向承受能力小于切向承受力的系統(tǒng)。比如發(fā)電機(jī)機(jī)架位置基礎(chǔ)受力，其承受切向力的能力大于承受徑向力的能力。因此支撐系統(tǒng)采用純切向約束有利于降低基礎(chǔ)的風(fēng)險[2]。

2.2 純切向約束系統(tǒng)模型

將整個切向約束系統(tǒng)模型進(jìn)行簡化，如圖2所示。為了便于分析，先做如下假設(shè)：

圖1 純切向約束示意Fig．1 Sketch of tangential constraint

圖2 切向約束系統(tǒng)簡化模型Fig．2 Simplified model of tangential constraint

（1）模型按剛體考慮。即不考慮支架或者支臂變形的干擾[3]。

（2）約束點為純切向約束。即不考慮其他約束力的干擾。

（3）約束點圓周均勻分布。這與發(fā)電機(jī)的支撐結(jié)構(gòu)一致。

（4）所受外力為F，沿約束點分布圓的半徑方向。即所受外力為徑向力，這與電機(jī)通常受力情況一致。

2.2.1 所受徑向F延約束點與圓心的連線指向圓心情況的計算分析

研究過程先從簡單特殊情況入手，考慮其中比較特殊的位置：所受外力F延某約束點與圓心連線，指向圓心。

此時如圖2所示，系統(tǒng)在αi角度處所受切向力為Ft（αi）。αi為受力點到圓心的連線與徑向力F的夾角。

建立力的平衡方程：

在角度αk處的切向力為Ft（αk），在αj角度處的切向力為Ft（αj）；

根據(jù)變形方程可得：根據(jù)變形一致，如圖3所示，可得：

圖3 變形一致示意圖Fig．3 Sketch of deformation consistency

式（1）～式（4）聯(lián)立可求出某一約束點β處的切向力為：

式（5）復(fù)雜之處在于加和。設(shè)約束點為N，將整個圓周均分，相鄰兩個點與圓心連線之間夾角為。因為平方的關(guān)系，注意到：

用特值法分析該算式：

根據(jù)此規(guī)律，猜想

表1 特值分析結(jié)果Tab.1 Special value analysis

以下用三角變換證明此結(jié)論：

因此，式（5）簡化為：

2.2.2 所受徑向力F與約束點到圓心的連線不同線情況的計算分析

由特殊情況推廣到一般情況，徑向力F沿任意半徑方向。

設(shè)徑向力與最近約束點到圓心連線夾角為λ，如圖4所示。

圖4 受力F與約束點到圓心連線不同線Fig．4 Force with random radial direction

該情況下，受力模式不變，變化為：

同樣可用特值法推導(dǎo)規(guī)律，然后再用三角變換證明：

因此依然成立。

2.3 純切向約束系統(tǒng)計算模型結(jié)論

純切向約束系統(tǒng)中，無論徑向力F指向什么角度，各約束點受力大小均為：

式中β—— 約束點到圓心的連線與徑向力方向的夾角；

N——約束點數(shù)目，不小于3；

Ft（β）—— 最大值時取 sin（β）=1，即垂直于徑向

力F處，最大值為。

3 純徑向約束系統(tǒng)

3.1 純徑向約束系統(tǒng)特點及優(yōu)勢

水輪發(fā)電機(jī)里的純徑向固定系統(tǒng)，切向上無約束，僅有徑向約束，如圖5所示純徑向支撐的支架腿。該支撐在圓周上均勻分布，理論上無圓周切向力[3]。

圖5 純徑向約束示意Fig．5 Sketch of radial constraint

該系統(tǒng)的特點在于，結(jié)構(gòu)比較簡單，容易實現(xiàn)，并且可以較為方便地調(diào)整整個支撐結(jié)構(gòu)的剛度，比如增設(shè)支撐板，或者增加彈性裝置等。純徑向約束在中小尺寸電機(jī)以及一些特殊結(jié)構(gòu)里運(yùn)用非常廣泛[2]。

圖6 徑向約束系統(tǒng)簡化模型Fig．6 Simplified model of radial constraint

3.2 純徑向約束系統(tǒng)模型

將整個徑向約束系統(tǒng)模型進(jìn)行簡化，如圖6所示。為了便于分析，做與2.2類似的假設(shè)，將假設(shè)中的“純切向約束”改為“純徑向約束”。

3.3 純徑向約束系統(tǒng)計算分析

類似于切向系統(tǒng)分析。如圖6所示，系統(tǒng)在αi角度處所受切向力為Fr（αi）。αi為受力點和圓心的連線與徑向力F的夾角。

建立力的平衡方程：

根據(jù)變形方程可得：

根據(jù)變形一致可得：

式（7）（8）（9）（10）聯(lián)立可求出某一約束點β處的徑向力為：

用2.2所述的方法，對式（11）進(jìn)行分析，可以得出相似結(jié)論：

3.4 純徑向約束系統(tǒng)計算模型結(jié)論

純徑向約束系統(tǒng)中，無論徑向力F指向什么角度，各約束點受力大小均為：

式中β—— 約束點到圓心的連線與徑向力方向的夾角；N——約束點數(shù)目，不小于3；

Ft（β）—— 最大值時取cos（β）=1，即徑向力F經(jīng)

過的約束點，最大值為。

3.5 特殊純徑向約束系統(tǒng)模型

將上文所述徑向約束模型稱為“一般性徑向約束模型”（簡稱一般模型）。如果以外力F為x軸，可以看到在1、4象限范圍內(nèi)約束點對被約束部件表現(xiàn)為支撐力，在2、3象限范圍內(nèi)則表現(xiàn)為拉力。而在水輪發(fā)電機(jī)徑向約束的設(shè)計中，有的既有支撐力也有拉力，比如部分機(jī)架設(shè)計；更多時候僅有支撐力而無拉力。比如導(dǎo)軸承受力[1]、部分上機(jī)架受力。

因此有必要單獨分析純徑向約束不承受拉力的情況。將該情況簡化為“特殊徑向約束系統(tǒng)模型”（以下簡稱特殊模型）如圖7所示。

在水輪發(fā)電機(jī)實際結(jié)構(gòu)設(shè)計中，比如機(jī)架或是導(dǎo)軸承，通常其約束點數(shù)為偶數(shù)。因此結(jié)合之前的分析計算，該模型有如下特點：

（1）約束點為偶數(shù)，且僅有1、4象限約束點提供徑向支撐力Ni；

（2）如果存在拉力，即特殊模型變?yōu)橐话隳Ｐ停骋粋€支撐力Ni必定對應(yīng)一個共線等值的拉力Ti。

因此特殊模型，可以在一般模型基礎(chǔ)上進(jìn)行進(jìn)一步分析，如圖8所示。

圖7 特殊徑向約束系統(tǒng)模型Fig．7 Special radial constraint model

一般模型，等價于：在特殊模型的無拉力條件下，同一直線上的支撐力變?yōu)?倍。所以根據(jù)一般模型的計算，特殊模型徑向支撐力為：

式中N—— 一般模型所有約束點數(shù)；

N2——特殊模型中實際支撐點數(shù)，為一般模型約束點數(shù)的1/2，即N2=N/2

通過純徑向支撐一般模型，即可直接得出特殊模型的約束點受力情況。因此后文仍然以一般性模型為主進(jìn)行分析。

4 純切向約束系統(tǒng)和純徑向約束系統(tǒng)計算的統(tǒng)一

4.1 最大值的統(tǒng)一

通過以上的分析，可知：

切向約束系統(tǒng)：，最大值：；

圖8 模型等價Fig．8 Equivalent model

徑向約束系統(tǒng)：，最大值：。

通常水輪發(fā)電機(jī)進(jìn)行受力分析時，需要特別注意的是其最值，因此，無論是切向約束系統(tǒng)還是徑向約束系統(tǒng)，在承受徑向力時，極大值都為。

計算示例：

某機(jī)組，導(dǎo)軸承共塊8塊瓦，其機(jī)架12個支點均布，為純切向約束型結(jié)構(gòu)。

機(jī)組正常運(yùn)行時：8%偏心磁拉力在導(dǎo)軸承處分?jǐn)?558896N。機(jī)組事故狀態(tài)時：半數(shù)磁極短路時徑向力在導(dǎo)軸承處分?jǐn)?16473208N。求正常工況和事故工況下，導(dǎo)瓦及機(jī)架可能承受的最大力。計算如表2所示。

表2 示例計算結(jié)果Tab. 2 Results of the example calculation

4.2 有規(guī)律的單向圓周約束系統(tǒng)

徑向約束與切向約束系統(tǒng)，實際上是單向圓周約束的兩個特例。因此，有必要研究一下更普遍的理論上的有規(guī)律的單向圓周約束系統(tǒng)。如圖9所示。

圖9 一般性單向圓周約束系統(tǒng)模型Fig．9 Uniformly unilateral constraint model

單向約束力F（β），與約束點到圓心的連線夾角為φ。純切向系統(tǒng)φ=90°，純徑向系統(tǒng)φ=0。這個系統(tǒng)可以進(jìn)行三角公式推導(dǎo)。三角公式推導(dǎo)一般比較復(fù)雜，這里還有一個更簡潔的方式進(jìn)行研究：借助之前的模型。將該約束分解為純切向約束和純徑向約束疊加，如圖10所示。

圖10 單向約束的分解Fig．10 Force decomposition

對于純切向約束：

對于純徑向約束：

F1：所有切向力Ft（β）的合力；F2：所有徑向力Fr（β）的合力；

F1和F2滿足：F1+F2=F

由以上式子可以得到：

式中φ—— 約束點到圓心的連線與單向約束力F（β）

所在直線的夾角。

4.3 全約束系統(tǒng)

在水輪發(fā)電機(jī)圓周均布約束系統(tǒng)中，還有一種約束應(yīng)用非常廣泛：全約束。即約束力始終與外力F方向相反，如圖11所示。

圖11 圓周均勻全約束系統(tǒng)模型Fig．11 Uniformly full constraint

仍然可以按上述方式將約束力進(jìn)行徑向和切向的分解，得到式（13）。對于全約束系統(tǒng)，由于F（β）與F平行，所以φ=β；此時：

4.4 統(tǒng)一模型及結(jié)論

根據(jù)以上分析，整個圓周均勻約束模型受力情況均可以用式（13）表達(dá)。

純切向約束：切向當(dāng)且僅當(dāng)φ=90°時，；

純 徑 向 約 束： 當(dāng) 且 僅 當(dāng)φ=0°時，；

全約束：當(dāng)且僅當(dāng)φ=β時，。

5 摩擦力對系統(tǒng)的影響

筆者認(rèn)為，在需要的情況下，可以考慮系統(tǒng)摩擦力。而最常見的是在純切向系統(tǒng)中產(chǎn)生了徑向摩擦力，在不考慮重力造成的摩擦力情況下，如圖12所示。

圖12 考慮摩擦力的切向約束系統(tǒng)Fig．12 Tangential constraint with friction

設(shè)β角度處，摩擦力為f（β），方向與切向力垂直指向圓心。整個系統(tǒng)所受外力由切向約束與摩擦力共同疊加承受。f（β）往F反方向的分力為f（β）·cos（β），則抵消所有摩擦力后的徑向外力為：

每個切向約束點的切向力為：

摩擦力為：f（β）≈Ft（β）·μ，μ為摩擦系數(shù)，β、αi為約束點到圓心的連線與徑向力F所在直線的銳角夾角。

可得：

其中：

該式很難進(jìn)行簡單的簡化，切向約束系統(tǒng)，一般摩擦面較為光滑，摩擦系數(shù)μ假設(shè)為0.15，表3列出電機(jī)常用約束點數(shù)的計算值。

表3 特值分析結(jié)果（考慮摩擦力）Tab.3 Special value analysis （with friction）

注意到式（14）中的為無摩擦力時的切向力，按式（14）以及表中數(shù)據(jù)計算可知，純切向力大約減小到原來的91%～93%。即徑向摩擦力將抵消7%～9%的徑向力。

以4.1中計算示例機(jī)架計算為例，考慮徑向摩擦力。

設(shè)摩擦系數(shù)μ=0.15，計算結(jié)果如表4所示。

表4 示例計算結(jié)果（考慮摩擦力）Tab.4 Results of the example calculation （with friction）

6 結(jié)束語

本文采用從特殊到一般，從簡單到復(fù)雜以及類比、疊加的方法，分析了電機(jī)中重要的兩類約束：圓周純切向約束與圓周純徑向約束，并建立了統(tǒng)一的計算模型。同時采用疊加的方法分析了最常見的摩擦力對切向系統(tǒng)的影響。希望對工程師認(rèn)識此類系統(tǒng)有所幫助。

[1] 白延年，等．水輪發(fā)電機(jī)設(shè)計與計算[M]．北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1982．BAI Yannian， etc． Design and calculations of hydro-generator[M]．Beijing: China Machine Press，1982．

[2] 陳錫芳．水輪發(fā)電機(jī)結(jié)構(gòu)運(yùn)行監(jiān)測與維修[M]．北京：中國水利水電出版社，2008．CHEN Xifang． The structure， operational monitoring and maintenance of hydro-generator[M]． Beijing:China Water&Power Press． 2008．

[3] 劉文鴻．材料力學(xué)I．（第五版）． 北京：高等教育出版社，2010．LIU Wenhong． Mechanics of materials I．（Fifth Edition）．Beijing:Higher Education Press． 2010．