田 來，吳照林，王 龍

（國防科技大學(xué) 信息通信學(xué)院，湖北 武漢 430010）

0 引 言

在設(shè)計(jì)用于戰(zhàn)術(shù)軍事應(yīng)用的分布式傳感系統(tǒng)時(shí)，一些實(shí)際的因素使假定數(shù)據(jù)輸入具有統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性的經(jīng)典算法的使用受到限制。首先，戰(zhàn)術(shù)環(huán)境通常由傳感器和數(shù)據(jù)處理節(jié)點(diǎn)組成，這些節(jié)點(diǎn)通過移動自組網(wǎng)連接，其網(wǎng)絡(luò)動態(tài)變化且不可預(yù)測。由于在這些處理節(jié)點(diǎn)中部分?jǐn)?shù)據(jù)是由融合產(chǎn)生的，不是直接取自傳感器的數(shù)據(jù)，實(shí)際上不可能實(shí)時(shí)消除節(jié)點(diǎn)之間的冗余數(shù)據(jù)。其次，許多提供傳感數(shù)據(jù)的現(xiàn)有系統(tǒng)不能升級產(chǎn)生統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的數(shù)據(jù)源，或提供有助于識別目標(biāo)的譜系信息的數(shù)據(jù)流。最后，在這些處理節(jié)點(diǎn)之間具有各種主動、被動、高斯和非高斯等統(tǒng)計(jì)特征的傳感數(shù)據(jù)是共享的，因此要在戰(zhàn)術(shù)軍事應(yīng)用中實(shí)現(xiàn)可擴(kuò)展的分布式傳感系統(tǒng)。尤其是在存在“謠言傳播”的情況下，需要用于融合各種類型的多輸入數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)融合方法。

譜系標(biāo)記[1]是一種處理謠言傳播問題的方法。該方法涉及元數(shù)據(jù)的交換，該元數(shù)據(jù)表示特定傳感數(shù)據(jù)的處理歷史和源信息。理論上，使用這種方法可以在運(yùn)行時(shí)識別冗余數(shù)據(jù)，并采用替代處理來消除冗余。但是，在實(shí)踐中存在一些問題：實(shí)施譜系標(biāo)記需要修改現(xiàn)有的產(chǎn)生傳感數(shù)據(jù)的傳感器處理系統(tǒng)；即使冗余數(shù)據(jù)被識別，譜系信息（元數(shù)據(jù)）也不足以從狀態(tài)估計(jì)中精確消除冗余；譜系標(biāo)記無法在通信帶寬方面進(jìn)行擴(kuò)展[2]。因此，出現(xiàn)了協(xié)方差交叉算法來替代譜系標(biāo)記方法。

協(xié)方差交叉算法是為了融合可能包含統(tǒng)計(jì)相關(guān)的冗余數(shù)據(jù)輸入的狀態(tài)估計(jì)而開發(fā)的。它的優(yōu)點(diǎn)是并不需要各數(shù)據(jù)源之間具體的統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識。后對協(xié)方差交叉算法進(jìn)行推廣，用于兩個(gè)有任意概率密度函數(shù)的輸入的融合[3]。這些突破性發(fā)展使得可擴(kuò)展的分布式數(shù)據(jù)融合成為可能。雖然目前已能對任何數(shù)量的高斯輸入進(jìn)行融合[4]，但在更廣泛的情況下，如融合任何數(shù)量的具有任意概率密度函數(shù)的輸入，還沒有很好的解決方案。

1 協(xié)方差交叉及其近似解

考慮融合兩個(gè)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的高斯概率分布狀態(tài)估計(jì)的特殊情況，給出一階和二階矩，即均值和協(xié)方差矩陣。這種情況下，融合時(shí)使用信息過濾器[5]。由兩個(gè)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的狀態(tài)估計(jì)的均值a、b和協(xié)方差矩陣A、B得到融合均值TE和和協(xié)方差矩陣TC：

式（1）、式（2）用于早期的實(shí)時(shí)傳感系統(tǒng)。由于它具有簡單性，在輸入不一定是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的情況下，經(jīng)常被錯(cuò)誤地使用，導(dǎo)致融合結(jié)果的協(xié)方差失真，是分布式數(shù)據(jù)融合架構(gòu)中謠言傳播的典型問題。在多個(gè)平臺上進(jìn)行融合時(shí)，這種方法很難實(shí)現(xiàn)。因?yàn)槎鄠€(gè)平臺和外部傳感系統(tǒng)被集成到融合架構(gòu)中，這些外部系統(tǒng)不受任何內(nèi)部程序的控制。隨著整合越來越多外部系統(tǒng)，謠言傳播問題變得更加難以管控。

為了解決這個(gè)問題并實(shí)現(xiàn)可擴(kuò)展的分布式數(shù)據(jù)融合，協(xié)方差交叉算法將高斯輸入的特殊情況擴(kuò)展到具有未知統(tǒng)計(jì)相關(guān)性的輸入。協(xié)方差交叉方程對經(jīng)典信息過濾器做了改進(jìn)：

式（3）、式（4）提供的解決方案是在區(qū)間[0，1]中優(yōu)化參數(shù)ω，通常是通過選擇ω的值使融合協(xié)方差LC行列式最小化[3]。協(xié)方差交叉的一個(gè)重要性質(zhì)是輸入{,}a A和{,}b B一致時(shí)，融合解 },{LLCE 保證對任何值都一致。因此，ω的選擇不需要精確，但是應(yīng)該提供一個(gè)比任何一個(gè)輸入?yún)f(xié)方差都小的融合協(xié)方差LC。

在一些實(shí)際應(yīng)用場合中，通常要求融合2＞n個(gè)統(tǒng)計(jì)相關(guān)的高斯?fàn)顟B(tài)估計(jì)，其中每個(gè)估計(jì)由平均值和協(xié)方差矩陣},{iiVμ表示。雖然這可以通過使式（3）、式（4）迭代執(zhí)行1?n次來實(shí)現(xiàn)，但是與文獻(xiàn)[4]給出的解決方案相比，迭代方法產(chǎn)生的結(jié)果并不太理想。

式（5）、式（6）、式（7）引出對于n個(gè)iω值的優(yōu)化問題，其中每個(gè)值被限制在區(qū)間[0，1]，這比式（3）、式（4）的優(yōu)化問題復(fù)雜得多。在文獻(xiàn)[4]中已證明，當(dāng)輸入?yún)f(xié)方差矩陣具有完全不同的特征值時(shí)，這種優(yōu)化變得較為困難。因此，下面的快速近似方法被用來代替數(shù)值優(yōu)化：

式（8）、式（9）中，是融合了假設(shè)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的n個(gè)輸入的信息矩陣。是第i個(gè)狀態(tài)估計(jì)輸入的信息矩陣。是通過融合除第i個(gè)輸入之外的所有輸入獲得的信息矩陣。因此，優(yōu)化參數(shù)由信息過濾器解決方案和每個(gè)輸入之間的相互信息決定。就經(jīng)典的信息濾波結(jié)果而言，式（8）、式（9）能夠簡單實(shí)時(shí)地實(shí)現(xiàn)更一般的協(xié)方差交叉問題。因此，現(xiàn)有的融合算法可以很容易地“升級”來對可能遭受謠言傳播的n個(gè)輸入實(shí)現(xiàn)協(xié)方差交叉。

2 Chernoff融合

前面討論了原始的協(xié)方差交叉點(diǎn)及其對n個(gè)輸入的推廣。但是，在這兩種情況下的算法都是限于均值和協(xié)方差矩陣指定的高斯輸入。要適應(yīng)任何概率密度函數(shù)的廣義融合，則應(yīng)以貝葉斯方程作為基礎(chǔ)：

式（10）提供了假定為統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的兩個(gè)任意概率密度函數(shù)融合的貝葉斯方程。在高斯情況下，式（10）呈現(xiàn)出等同于式（1）、式（2）的對數(shù)線性形式。因此，文獻(xiàn)[3]中提出了用于融合兩個(gè)具有未知相關(guān)性的任意概率密度函數(shù)的Chernoff融合：

和協(xié)方差交叉一樣，式（11）中每個(gè)參數(shù)ω值都有一個(gè)解決方案。文獻(xiàn)[3]中提出了計(jì)算參數(shù)ω的兩個(gè)準(zhǔn)則：最小化融合概率密度函數(shù)的香農(nóng)熵和最小化融合概率密度函數(shù)的Chernoff信息。文獻(xiàn)[3]中已證明，最小化香農(nóng)熵等價(jià)于使高斯情形的協(xié)方差的行列式最小化。Chernoff信息標(biāo)準(zhǔn)試圖找到處于輸入概率密度函數(shù)“中間”的融合概率密度函數(shù)。雖然這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)都具有令人滿意的信息理論解釋，但還存在幾個(gè)實(shí)際的實(shí)施問題。首先，雖然香農(nóng)熵標(biāo)準(zhǔn)可以很容易地?cái)U(kuò)展到兩個(gè)以上輸入的情況，但是Chernoff信息擴(kuò)展并不明顯。其次，如果香農(nóng)熵標(biāo)準(zhǔn)用于兩個(gè)以上的輸入，則計(jì)算復(fù)雜度取決于概率密度函數(shù)的性質(zhì)。一般來說，這相當(dāng)于一個(gè)多維優(yōu)化問題，往往會包含許多局部最小值。因此，許多情況下可能難以實(shí)現(xiàn)。

用MATLAB對兩個(gè)輸入情況下的融合實(shí)例進(jìn)行仿真，并將結(jié)果與貝葉斯融合進(jìn)行比較。圖1顯示了對于兩個(gè)概率密度函數(shù)具有相同的香農(nóng)熵的關(guān)于ω的Chernoff融合解，同時(shí)給出了貝葉斯融合解作為對比。這個(gè)例子中，文獻(xiàn)[3]的最小化準(zhǔn)則ω的值為0.5。圖2顯示了香農(nóng)熵不同時(shí)Chernoff融合的例子。這種情況下，計(jì)算ω的值是0.47。

3 改進(jìn)的廣義Chernoff融合

最終，需要開發(fā)一種處理一般融合問題的算法，即融合n個(gè)統(tǒng)計(jì)相關(guān)的概率密度函數(shù)。另外，為了使分布式融合實(shí)際中可應(yīng)用，需要計(jì)算量較小的算法。對式（11）進(jìn)行擴(kuò)展，得出對于多輸入的Chernoff融合的方程：

圖1 不同ω取值時(shí)的Chernoff融合解（香農(nóng)熵相同）

圖2 不同ω取值時(shí)的Chernoff融合解（香農(nóng)熵不同）

其中優(yōu)化參數(shù)iω需要使用一些標(biāo)準(zhǔn)來計(jì)算。如前所述，實(shí)際中這個(gè)優(yōu)化問題的實(shí)現(xiàn)比較復(fù)雜。

前面的研究表明，存在廣義Chernoff融合問題的近似解：

（1）式（8）、式（9）中的優(yōu)化參數(shù)取決于高斯分布的協(xié)方差矩陣的行列式。

（2）協(xié)方差矩陣的行列式與高斯分布的香農(nóng)熵有關(guān)。

（3）式（11）中ω的“最優(yōu)”值取決于輸入的香農(nóng)熵。

這表明了存在一個(gè)類似式（8）、式（9）的公式，是任意概率密度函數(shù)輸入的香農(nóng)熵的函數(shù)。首先，針對m變量高斯分布的香農(nóng)熵H是根據(jù)它們的協(xié)方差給出的：

其次，行列式具有以下屬性：

式（14）和式（15）結(jié)合，可以得到遵循高斯概率密度函數(shù)的協(xié)方差矩陣與其香農(nóng)熵之間的關(guān)系：

這里對香農(nóng)熵進(jìn)行定義：BH 是所有輸入的貝葉斯融合，iH是第i個(gè)輸入的貝葉斯融合，iBH?是除了第i個(gè)輸入的所有輸入的貝葉斯融合。將式（16）代入式（8）、式（9）進(jìn)行簡化，得到：

和式（8）、式（9）一樣，式（17）使用每個(gè)輸入的相對信息含量與融合結(jié)果進(jìn)行比較來計(jì)算優(yōu)化參數(shù)。特別地，是加入第i個(gè)輸入而導(dǎo)致的信息增加，則是加入除第i個(gè)輸入以外的所有數(shù)據(jù)而導(dǎo)致的信息增加。

雖然式（17）比多參數(shù)優(yōu)化要簡單，但它仍然不能提供計(jì)算優(yōu)化參數(shù)iω的實(shí)用方法。為了實(shí)現(xiàn)式（17），還需要進(jìn)行以下步驟：

（1）計(jì)算每一個(gè)輸入概率密度函數(shù)的香農(nóng)熵Hi。

（2）計(jì)算 1+n 個(gè)貝葉斯融合解：包含所有n個(gè)輸入的一個(gè)解；和另外n個(gè)包含除了第i個(gè)輸入的所有輸入的解。

（3）計(jì)算上一步描述的每個(gè)貝葉斯融合解的香農(nóng)熵，并計(jì)算式（17）。

作為上述方法的替代方案，可以進(jìn)行一些非常簡單的近似來加快計(jì)算。首先，可以假設(shè)貝葉斯融合結(jié)果的香農(nóng)熵等于具有最小熵的輸入除以輸入的數(shù)量，即可以做出以下下限近似值：

使用式（18）、式（19），可以將式（17）簡化為：

式（20）提供了只有概率密度函數(shù)輸入的香農(nóng)熵情況下的優(yōu)化參數(shù)。因此，它為廣義Chernoff融合提供了一個(gè)易處理的解決方案。

為了驗(yàn)證其效果，用MATLAB對幾個(gè)融合實(shí)例進(jìn)行仿真，并將結(jié)果與使用數(shù)值優(yōu)化獲得的“最優(yōu)”解進(jìn)行比較。

圖3顯示了3個(gè)輸入時(shí)廣義Chernoff融合近似的仿真結(jié)果。得到的近似解用粗虛線示出，而數(shù)值優(yōu)化結(jié)果用極粗虛線示出。為了便于比較，繪出了所有3個(gè)輸入的貝葉斯融合結(jié)果。用式（20）計(jì)算以下優(yōu)化參數(shù)ω1(A)=0.42、ω2(A)=0.32、ω3(A)=0.35，而數(shù)值優(yōu)化得出的優(yōu)化參數(shù)為ω1(I)=0.32、ω2(I)=0.32、ω3(I)=0.36。

圖4提供了5個(gè)輸入時(shí)廣義Chernoff融合近似的仿真結(jié)果。這種情況下，計(jì)算5個(gè)輸入概率密度函數(shù)的優(yōu)化參數(shù)ω1(A)=0.42、ω2(A)=0.17、ω3(A)=0.18、ω4(A)=0.18、ω5(A)=0.23作為對比，數(shù)值優(yōu)化的參數(shù)為 ω1(I)=0.20、ω2(I)=0.20、ω3(I)=0.12、ω4(I)=0.20、ω5(I)=0.19。

從圖3、圖4可以看出，盡管解決方案的值確實(shí)不同，但是解決方案彼此差別不大。與數(shù)值優(yōu)化的一般問題相比，考慮到極其簡單的算法，這些小的差異是可以接受的。

圖3 三個(gè)輸入的廣義Chernoff融合

圖4 五個(gè)輸入的廣義Chernoff融合

4 結(jié) 語

從協(xié)方差交叉算法和其擴(kuò)展著手，處理多個(gè)高斯和非高斯概率密度函數(shù)的輸入，開發(fā)了通用情況下的快速近似方法。該方法來源于：（1）香農(nóng)熵與高斯協(xié)方差行列式之間的關(guān)系；（2）協(xié)方差交叉的快速近似方法捕獲了每個(gè)輸入相對于貝葉斯融合方法的相對信息量。本文的創(chuàng)新貢獻(xiàn)與用于驗(yàn)證的數(shù)值優(yōu)化相比較，發(fā)現(xiàn)廣義Chernoff融合產(chǎn)生了非常相似的解。以后的工作將研究這種近似方法在極端情況下如輸入概率密度函數(shù)的香農(nóng)熵都非常大或非常小的情況下的表現(xiàn)。

[1] Ceruti M G,Wright T L,Powers B J,et al.Data Pedigree and Strategies for Dynamic Level-One Sensor Data Fusion[C].Information Fusion,2006 9th International Conference,2006:1-5.

[2] Nicholson D,Lloyd C M,Julier S J,et al.Scalable Distributed Data Fusion[C].Information Fusion,2002 Proceedings of the Fifth International Conference,2002:630-635.

[3] Hurley M B.An Information Theoretic Justification for Covariance Intersection and Its Generalization[C].Information Fusion,2002 Proceedings of the Fifth International Conference,2002:505-511.

[4] Franken D,Hupper A.Improved Fast Covariance Intersection for Distributed Data Fusion[C].Information Fusion,2005 8th International Conference,2005:25-28.

[5] BU Xiang-yi.Research on Moving Target Tracking and Information Filtering in Complex Building Environment[C].2016 3rd International Conference on Materials Engineering,Manufacturing Technology and Control,2016:56-59.