楊千里 劉志國

(1.中國地震局地球物理研究所 北京 100081； 2.中海油研究總院有限責(zé)任公司 北京 100028)

疊前反演包括AVO反演[1-3]及彈性阻抗反演。彈性阻抗反演綜合了疊后反演及AVO反演的優(yōu)勢，具有較好的穩(wěn)定性及抗噪性，保留了振幅隨偏移距變化的相關(guān)信息,利用反演得到的不同入射角的彈性阻抗體可以提取縱波速度、橫波速度、密度及泊松比等彈性參數(shù)，進而預(yù)測儲層的空間分布及識別油氣。彈性阻抗的概念被提出之后[4]受到了國內(nèi)外學(xué)者的普遍關(guān)注，也開展了大量研究[5-9],目前反演方法和技術(shù)逐漸成熟，被廣泛應(yīng)用于實際生產(chǎn)。隨著勘探程度的加深，隱蔽油氣藏、河流相薄儲層油氣藏已成為重點關(guān)注方向。這些油氣藏地質(zhì)背景復(fù)雜，儲層厚度較薄，空間分布變化大，疊前地震資料信噪比較低，有效頻寬較窄，再加上反演方法本身的不適定性，反演結(jié)果受到局部極小值的嚴重影響，降低了彈性阻抗反演的可靠性。由于常規(guī)彈性阻抗反演結(jié)果難以識別薄儲層，因此改進反演方法提高彈性阻抗反演結(jié)果的分辨率已成為地球物理工作者研究的重點。

層序地層學(xué)[10]認為，地質(zhì)剖面是由一系列地質(zhì)體組成的，每個地質(zhì)體都是由成因上相同或相近、具有沉積上周期性和旋回性的層序體組成的。杜世通[11]提出了地震層序模型，認為地震層序由兩個部分組成，即層序體[12-14]分界面的反射和層序體內(nèi)部旋回性結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)。地震資料是不同尺度層序體的綜合響應(yīng)，并以較大級別層序體的響應(yīng)為主，而低級別層序體由于受強低頻信號背景影響，反射能量被壓制而難以識別。小波變換[15]具有良好的時頻局部化性質(zhì)，高頻部分有較好的時間分辨率，低頻部分有較好的頻率分辨率。通過小波變換將地震數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為時頻域，可以清晰地劃分不同級別的層序體，識別較低級別的層序體。吳國忱 等[16-17]分別討論了小波變換的多分辨率特性，并利用該特性在小波相剖面中進行層序體劃分，進而研究沉積地層及內(nèi)部結(jié)構(gòu)，為提高地震分辨率及地質(zhì)解釋奠定了基礎(chǔ)。夏竹 等[18]對小波時頻譜中的各種分叉結(jié)構(gòu)進行歸納，依據(jù)頻譜的發(fā)育特點識別較低級次的層序細節(jié),實現(xiàn)了對薄儲層的高精度預(yù)測。自此，利用小波變換對地震及測井資料進行高分辨率定量解釋的方法已走向成熟[19-21]。

本文通過建立復(fù)合正旋回模型正演彈性阻抗及部分角度疊加的地震記錄，利用正演計算的合成記錄進行時頻分析，驗證了彈性阻抗同樣存在多尺度特征，并同疊前地震資料的多尺度相空間存在對應(yīng)關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，把層序地層學(xué)理論與疊前地震反演相結(jié)合，提出了多尺度疊前反演方法：利用小波變換的多分辨率特性劃分地震層序體，明確地震資料的多尺度分布特征，之后將分角度疊加的地震數(shù)據(jù)體進行多尺度分解，以達到拓寬有效頻帶、提高地震資料分辨率的目的；結(jié)合貝葉斯理論建立目標函數(shù)，分別對每個層序尺度的數(shù)據(jù)體進行彈性阻抗反演。該反演過程是逐級進行的，將較大尺度的反演結(jié)果作為較小級別層序尺度的初始模型，最終得到高分辨率的彈性阻抗，進而提取彈性參數(shù)。模型測試和實際資料反演表明，該方法運算簡便，反演結(jié)果的分辨率遠高于常規(guī)彈性阻抗反演，適用于復(fù)雜探區(qū)薄儲層的橫向預(yù)測。

1 方法及實現(xiàn)過程

1.1 彈性阻抗的多尺度特征

根據(jù)現(xiàn)代地質(zhì)韻律學(xué)定義，層序體也稱作旋回體，其結(jié)構(gòu)特征如粒度、巖性及孔隙度的變化體現(xiàn)了沉積過程的周期性。旋回體的地震響應(yīng)稱為地震旋回體，它是時頻分析研究的基本單元。根據(jù)沉積物的變化特點，可將地震旋回體劃分為正向旋回(水進型)、反向旋回(水退型)、正向-反向旋回(水進-水退型)、反向-正向旋回(水退-水進型)等幾種基本類型。其中，正向旋回自下而上沉積物顆粒由粗到細，泥質(zhì)含量由低到高；反向旋回自下而上沉積物顆粒由細到粗，泥質(zhì)含量由高到低；其他的混合性旋回是二者的不同組合。地震和測井資料的時頻分析可以清晰地展示其多尺度特性，并為層序旋回體的劃分提供依據(jù)。

縱波阻抗及全疊加地震資料的多旋回、多尺度特性已被熟知，而綜合反映地層縱波速度、橫波速度及密度的彈性阻抗及分角度部分疊加的地震數(shù)據(jù)具有同樣的特性。為了驗證這一結(jié)論，本文利用縱波速度、橫波速度、地層體積密度建立了一個多級正旋回復(fù)合模型(圖1)。為了增強模型的合理性，其中的縱波速度由實際工區(qū)的鉆井分析獲得；依據(jù)縱波速度，由二次方程[22]計算得到橫波速度；由Gardner公式計算得到體積密度。完成建模后，依據(jù)Whitcombe給出的標準化彈性阻抗方程[23]計算彈性波阻抗，即

(1)

圖1 多級正旋回理論模型Fig.1 Multistage positive cycle theory model

計算得到的多角度彈性阻抗的變化規(guī)律(圖2a)與層速度及密度的變化規(guī)律(圖1)基本一致，具有明顯的旋回性。根據(jù)計算的彈性阻抗，選用30 Hz雷克子波正演得到了角道集合成記錄(圖2b)。由于角道集的相似性，抽取入射角為9°時的一個合成地震記錄進行時頻分析(圖3)。由圖3可以看出：每個正旋回自下而上地層由厚到薄，頻率由低到高；整個模型在時頻域具有明顯的多旋回、多尺度特征。合成記錄是多個級別層序體的綜合響應(yīng)，與多尺度層序體的對應(yīng)關(guān)系不如時頻域清晰。時頻分析結(jié)果(圖3b)表明，合成地震記錄可劃分為3個尺度旋回體：①層序尺度的頻率為16～28 Hz，對應(yīng)著圖3c中彈性阻抗的大尺度旋回體；②亞層序尺度的頻率為28～40 Hz，對應(yīng)著圖3c的中尺度旋回體；③小層序尺度的頻帶范圍為40 Hz以上，對應(yīng)著圖3c中小尺度旋回體薄層。由于相鄰的小尺度地層反射波非同相疊加，層序信息在合成記錄中能量被壓制，表現(xiàn)為弱振幅難以分辨(圖3a、c中紅圈標注位置)；但小尺度層序體的分布特征被清晰地呈現(xiàn)在時頻域剖面中，通過高分辨率處理拓展有效頻寬，有效利用小尺度信息，可以提高反演結(jié)果的分辨率。理論模型測試表明，彈性阻抗同樣具有多旋回、多尺度特征，這為多尺度彈性阻抗反演提供了理論依據(jù)。

圖2 估算的彈性阻抗(a)和角道集(b)Fig.2 Estimated elastic impedance(a)and angle gathers(b)

圖3 時頻分析對比(θ=9°)Fig.3 Time-frequency analysis contrast(θ=9°)

1.2 多尺度彈性阻抗反演

在時頻域尺度劃分的基礎(chǔ)上，利用小波分頻技術(shù)將地震信號分解為具有中心頻率的窄帶剖面[24]，即尺度地震剖面，其主頻與層序尺度主頻相對應(yīng)。利用不同尺度的Morlet小波[25]作為濾波器與疊前數(shù)據(jù)褶積，獲得多尺度層序體的地震數(shù)據(jù)體。Morlet小波外形上接近地震子波，具有對稱性及零相位特征，分解后地震反射同相軸不會發(fā)生畸變。Morlet小波的數(shù)學(xué)表達式為

(2)

式(2)中：t為時間；c為小波系數(shù)，控制小波的時寬和頻率特征；f0為小波調(diào)頻參數(shù)，控制基函數(shù)波形特征。

分頻后的地震資料對應(yīng)于不同尺度的地震層序體。由于地震頻寬的限制，本文將地震資料分解為3個層序尺度，即大尺度、中尺度、小尺度。分頻過程的數(shù)學(xué)表達式為

M×S=[Db,Dm,Ds]T

(3)

式(3)中：M為不同尺度小波構(gòu)造的分解算子；S為分角度疊加地震數(shù)據(jù)；Db、Dm、Ds為分解后的大尺度、中尺度、小尺度數(shù)據(jù)體；下標b、m、s代表大尺度、中尺度、小尺度。

令ωb(t)、ωm(t)、ωs(t)為對應(yīng)的大、中、小尺度的Morlet子波，矩陣M寫為

M=

(4)

(5)

(6)

(7)

式(4)～(7)中：t0b、t0m、t0s為大、中、小尺度子波峰值點位置；Tb、Tm、Ts為對應(yīng)大、中、小尺度子波的總長度；N為采樣點個數(shù)。

隨后提取不同尺度的地震子波，在貝葉斯理論框架下建立目標函數(shù)[26]，反演過程中將大尺度反演結(jié)果以模型約束的形式注入較小尺度的彈性阻抗反演中，增強了小尺度地震資料的可靠性。彈性阻抗反演流程相當(dāng)于疊后反演的推廣，每個部分角度疊加數(shù)據(jù)體的反演都可以看作是疊后波阻抗反演。令D=[Db,Dm,Ds]T，地震記錄褶積模型為

D=GR+N

(8)

式(8)中：G=[Gb,Gm,Gs]T,Gb、Gm,Gs分別為大、中、小尺度子波對應(yīng)的褶積矩陣；R=[Rb,Rm,Rs]T，Rb=[r1，r2，…，rN]T,Rm=[rN+1，rN+2，…，r2N]T,Rs=[r2N+1，r2N+2，…，r3N]T,Rb、Rm、Rs分別為大、中、小尺度反射系數(shù)，r為采樣點反射系數(shù)，N為觀測數(shù)據(jù)與褶積模型的殘差。

假設(shè)觀測噪聲服從高斯分布，其似然函數(shù)可以寫為

(9)

式(9)中：σn為多尺度地震數(shù)據(jù)的標準差。

假設(shè)多尺度反射系數(shù)服從柯西分布，在此條件下先驗概率分布可以表示為

(10)

為了使反演結(jié)果穩(wěn)定可靠，引入先驗信息模型做進一步約束,這是決定多尺度彈性阻抗反演結(jié)果的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，可將測井資料的低頻信息當(dāng)做大尺度疊前數(shù)據(jù)的約束模型。當(dāng)設(shè)EI(θ)為彈性阻抗模型，令Rb(θ)為大尺度反射系數(shù)，在小反射系數(shù)條件下有

(11)

對式(11)兩邊積分，得到相對彈性阻抗為

(12)

式(11)～(12)中：EI(θ,t0)為初始雙程旅行時t0的角度彈性阻抗值，可由模型提供;η為連續(xù)時間。

可將式(12)簡化為矩陣形式ξb=LRb，其中L為積分矩陣。將大尺度反演結(jié)果作為中尺度的約束模型，將中尺度反演結(jié)果作為小尺度的約束模型，則中、小尺度的相對彈性阻抗分別表示為

(13)

將式(11)～(13)引入約束權(quán)值，寫成矩陣形式為

ξ=CR+N′

(14)

其中

(15)

(16)

式(14)～(16)中：ab、am、as為常數(shù)，控制著模型約束的權(quán)重；N′為通過反射系數(shù)計算出的相對彈性阻抗與先驗彈性阻抗模型的殘差。

令約束模型的標準差為σei，假設(shè)N′滿足高斯分布，此時的先驗分布可寫為

(17)

將式(17)與式(9)相乘，得到整體先驗分布表達式為

P(R)=Pei(R)·

(18)

根據(jù)貝葉斯理論，反射系數(shù)后驗概率可以表示為

(19)

不考慮常數(shù)項，將式(4)與式(18)代入式(19)，得到反射系數(shù)后驗分布的表達式為

(20)

將式(20)兩邊取對數(shù)，得

(21)

忽略常數(shù)項，將式(20)進行整理，得到反演目標函數(shù)為

(D-GR)T(D-GR)+(CR-ξ)T(CR-ξ) (22)

令目標函數(shù)最小化，即對式(21)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)為0，得到反演方程為

(GTG+Q+CTC)R=GTd+CTξ

(23)

(24)

式(23)～(24)中：Q為對角矩陣；μb、μm、μs為多尺度反射系數(shù)的約束權(quán)值，權(quán)值越大反演結(jié)果越稀疏。

式(24)中的分母項加上了平方，與傳統(tǒng)Cauchy分布推導(dǎo)出的Q不同，稱之為修正柯西約束項[27]。這樣可以更好地保護弱反射系數(shù)，提高反演的準確性。求解式(23)得到多尺度反射系數(shù)。

反演基本流程如下：

1) 設(shè)定反射系數(shù)初始向量R(0)以及閾值Tol。

2) 設(shè)定參數(shù)μb、μm、μs和ab、am、as。

3) 構(gòu)建矩陣G,Q,C,ξ。

4) 在每次迭代過程中：

a) 利用共軛梯度法求解式(24)得到向量R(k)；

c) 根據(jù)求得的結(jié)果修改Q以及ξ中的ξm和ξs；

d) 輸出最終反演結(jié)果。

迭代過程中，中尺度和小尺度的相對阻抗是變化的，為了使最終的反演結(jié)果趨于穩(wěn)定，迭代次數(shù)k不能太小，一般10次左右即可得到不錯的效果。通過多尺度反演求得反射系數(shù)之后，通過道積分可以得到各個尺度的彈性阻抗,即

(25)

在反演迭代過程中，較大層序尺度的信息以趨勢約束的形式注入到較小的層序尺度反演中。小尺度反演結(jié)果EIs在突出小層序信息的同時，也融合了大、中尺度的彈性阻抗(EIs、EIm)的信息;小尺度反演彈性阻抗為最終結(jié)果。與多尺度聯(lián)合反演[28-29]不同，本文方法具有明顯的針對性。大尺度地震數(shù)據(jù)比較平緩，信噪比較高，反演結(jié)果準確，將其作為先驗信息約束較小尺度的反演，在一定程度上避免了局部極小點對反演的影響；反演過程可以看作是通過不斷收縮目標函數(shù)尺度，逼近全局極小點來實現(xiàn)的。因此，本文方法與早期的多尺度逐級尋優(yōu)思想相似[30-31]，從理論上講較常規(guī)反演具有更高的分辨率和準確性。

2 理論模型測試

為了驗證本文方法的有效性，選取入射角為9°、18°和27°的彈性阻抗數(shù)據(jù)進行多尺度反演測試。以入射角為9°的合成記錄為例，根據(jù)前文的時頻分析結(jié)果，選取3個中心頻帶與3個層序尺度對應(yīng)一致的Morlet小波作為濾波器與地震數(shù)據(jù)進行褶積。由圖4所示的多尺度分頻結(jié)果可以看出：大尺度分頻結(jié)果強軸在每個旋回體的下部，對應(yīng)大套層序體；中尺度地震數(shù)據(jù)強軸偏上，對應(yīng)較薄層的位置；小尺度地震數(shù)據(jù)強軸位于旋回體頂部，對應(yīng)旋回體頂部薄層。小波分頻結(jié)果有效避免了帶通濾波存在的正弦調(diào)諧現(xiàn)象，基本上體現(xiàn)了原信號不同頻率范圍的信息，小尺度地震信號分辨率較原始合成記錄有顯著提升。

利用分頻的數(shù)據(jù)體進行多尺度彈性阻抗反演。如圖5所示，以入射角為9°的彈性阻抗反演為例，將多尺度反演結(jié)果與常規(guī)反演進行對比，可以看出：大尺度反演結(jié)果精確展示了模型的大層序；中尺度在大尺度基礎(chǔ)上增加了較低級別的層序體；小尺度反演結(jié)果與實際模型吻合良好，薄層被清晰地反演出來了?？梢?，常規(guī)反演結(jié)果無論從分辨率還是精準程度上都遜色于多尺度反演。

圖4 多尺度層序體及彈性阻抗(θ=9°)Fig.4 Multi scale sequence body and elastic impedance(θ=9°)

圖5 常規(guī)反演與多尺度反演彈性阻抗結(jié)果對比(θ=9°)Fig.5 Comparision of elastic impedance of conventional and multi scale inversion(θ=9°)

按照相同的方法反演得到3個角度的彈性阻抗，隨后提取各種彈性參數(shù)，可以看出：多尺度反演能夠有效識別旋回體頂部的薄層，獲得的縱、橫波速度無論是分辨率還是準確性均優(yōu)于常規(guī)反演結(jié)果，即便是不穩(wěn)定的密度項，也能得到可靠的結(jié)果(圖6)。模型測試表明，不同尺度的彈性阻抗逐級反演具有明顯的針對性，突出了敏感頻段的地震信息，提高了反演結(jié)果的分辨率及準確性，其效果優(yōu)于常規(guī)彈性阻抗反演。

圖6 常規(guī)反演與多尺度反演提取的彈性參數(shù)對比Fig.6 Comparision of elastic parameters extracted by conventional inversion and multi-scale inversion

3 實際應(yīng)用效果分析

在模型測試的基礎(chǔ)上，將本文方法用于實際地震資料反演。分角度疊加數(shù)據(jù)體來自西非陸上X工區(qū)。該工區(qū)疊前數(shù)據(jù)體主頻為20 Hz左右，并存在多次波干擾、信噪比及分辨率較低等不利因素；目的層以A、B兩層砂巖為主，平均厚度為30 m，而物性較好的砂巖厚度大多小于10 m，常規(guī)反演分辨率有限，難以對目標儲層進行有效預(yù)測。以近道疊加的地震資料為例，過已鉆井地震測線的2個地震道時頻分析結(jié)果清楚地反映了近道疊加地震數(shù)據(jù)的時頻特征(圖7)。

根據(jù)時頻分析，將地震數(shù)據(jù)劃分為3個尺度：大尺度頻率為5～15 Hz；中尺度頻帶為15～30 Hz，雖然能量有所減弱，但仍然在地震數(shù)據(jù)主頻范圍；小層序尺度在30 Hz以上，主要反映小層序沉積組合。選用對應(yīng)主頻為15、25、35 Hz的Morlet小波基，對疊前地震數(shù)據(jù)體進行多尺度分解。由近道多尺度地震剖面可以看出，小尺度地震資料的信噪比和分辨率明顯得到提升，高頻信息來自于實際地層，真實可靠(圖8)。

通過常規(guī)疊前反演、多尺度疊前反演得到相應(yīng)的3個不同偏移距的彈性阻抗,可以看出多尺度疊前反演結(jié)果比常規(guī)反演結(jié)果具有更高的分辨率(圖9)。利用彈性阻抗數(shù)據(jù)體提取縱波速度、橫波速度，泊松比等彈性參數(shù)，進行儲層預(yù)測及流體性質(zhì)識別。與疊前常規(guī)反演相比，多尺度反演的縱波速度和橫波速度分辨率明顯提高(圖10)。M2井的縱橫波交會圖(圖11)表明砂巖為高縱波速度、高橫波速度，其中砂巖橫波速度基本大于2 500 m/s，據(jù)此可識別砂巖儲層(圖12)。由圖12可以看出，常規(guī)反演的橫波速度不能有效識別薄層砂巖，而多尺度反演的橫波速度能夠有效識別A、B兩個砂層。井旁道對比(圖13)表明，多尺度反演可以更細致地描繪出小尺度層序體，與井曲線吻合度更高，進一步驗證了本文方法的有效性。

圖7 西非陸上X工區(qū)近道疊加地震數(shù)據(jù)時頻分析結(jié)果Fig.7 Time-frequency analysis results near offset stack seismic data in X area,West Africa

圖8 西非陸上X工區(qū)近道多尺度地震剖面Fig.8 Multi-scale seismic profiles near offset stack in X area,West Africa

圖9 西非陸上X工區(qū)疊前常規(guī)反演與多尺度反演的彈性阻抗剖面對比Fig.9 Comparision of elastic impedance profiles of conventional and multi scale prestack inversion in X area,West Afirica

圖10 西非陸上X工區(qū)疊前常規(guī)反演與多尺度反演速度剖面對比Fig.10 Comparision of velocity profiles of conventional prestack inversion and multi-scale inversion in X area,West Africa

圖11 西非陸上X工區(qū)M2井縱橫波速度交會圖Fig.11 Crossplot of P-wave and S-wave velocity in Well M2 in X area，West Africa

圖12 西非陸上X工區(qū)過M2井地震測線常規(guī)反演與多尺度反演橫波速度剖面對比Fig.12 Comparision of S-wave velocity profiles of conventional inversion and multi-scale inversion of a seismic line cross Well M2 in X area,West Africa

圖13 西非X工區(qū)M2井旁道常規(guī)與多尺度反演橫波速度剖面對比Fig.13 Comparision of S-wave velocity profiles of conventional inversion and multi scale inversion of Well M2 up-hole trace in X area,West Africa

4 結(jié)論

1)將彈性阻抗反演技術(shù)與層序地層學(xué)理論相結(jié)合，提出了多尺度彈性阻抗反演方法：利用地震資料的多尺度空間與沉積層序體的對應(yīng)關(guān)系，通過小波分頻技術(shù)將地震資料分解為多個層序尺度，兼顧了中低頻信息，擴展了相對低頻和相對高頻，在提高地震資料分辨率的同時也避免了高頻假象，為后續(xù)的反演提供了可靠依據(jù)；在貝葉斯理論框架下建立目標函數(shù)，利用多尺度逐級尋優(yōu)特性進行彈性阻抗反演，大尺度地震數(shù)據(jù)較平緩，反演結(jié)果準確，將其作為先驗信息約束較小尺度反演，在一定程度上避免了之后的反演受局部極小點所困擾，通過不斷收縮目標函數(shù)尺度，逼近全局極小點實現(xiàn)整個反演，理論上比常規(guī)反演有更高的準確性。

2)模型測試結(jié)果及實際地震資料的多尺度彈性阻抗反演結(jié)果表明，本文方法在抗噪性及反演穩(wěn)定性方面遠好于常規(guī)稀疏脈沖反演，能夠有效識別旋回體小層序尺度薄層，對薄儲層的識別效果有實質(zhì)性提升。

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