洪興駿　郭生練　王樂

摘要：確定水文變量的概率分布，是計(jì)算各類標(biāo)準(zhǔn)化干旱指標(biāo)的關(guān)鍵。提出了基于最大熵原理（POME）的月徑流分布構(gòu)建方法，采用多階矩作為求解最大熵的約束條件，以拉格朗日乘子法估計(jì)分布參數(shù)，計(jì)算了不同時(shí)間尺度的標(biāo)準(zhǔn)化徑流干旱指數(shù)SDI，評估了漢江30個(gè)子流域歷史水文干旱情勢。結(jié)果表明：與Normal、Gamma、Weibull、Pearson Type Ⅲ等常用概率分布相比，POME分布模型可以最大程度地利用實(shí)測水文數(shù)據(jù)中的信息，有效擬合不同時(shí)間尺度的累積月徑流量，表現(xiàn)出良好的適用性；隨著時(shí)間尺度的增大，采用不同分布擬合同一尺度的月徑流量，差別逐漸減小，月徑流量概率分布特征趨于正態(tài)化。成果可為推求干旱指標(biāo)，研究干旱特征的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，進(jìn)行干旱頻率分析等提供新的手段。

關(guān)鍵詞：最大熵原理；水文干旱；標(biāo)準(zhǔn)化徑流干旱指數(shù)；漢江流域

中圖分類號：TV121文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號：

16721683（2018）02009307

Abstract：

Selecting the appropriate probability distribution function （PDF） for hydrological variables is of significant importance to calculating standardized drought indices.In this study，we used the Principle of Maximum Entropy （POME） method to model the PDFs of aggregated monthly streamflow on varying time scales for 30 subbasins of the Hanjiang River Basin.The first three original moments of the cumulative monthly streamflow data were chosen as the constraint functions for maximizing the entropy by the Lagrange Multiplier.The Streamflow Drought Index （SDI） was computed based on monthly streamflow records derived from several theoretical probability distributions such as POME， Normal，Gamma， Weibull，and Pearson Type Ⅲ.Results showed that the POMEbased PDFs could make the best use of the information from observed records while avoiding mistakenly introducing redundant information.They showed satisfying applicability.We found that the PDFs of cumulative monthly streamflow would trend towards normalization as the time scale increased.The proposed method can be a practical tool for calculating hydrological drought indices， analyzing drought characteristics，and performing drought frequency analysis.

Key words：POME；hydrological drought；Streamflow Drought Index （SDI）；Hanjiang River basin

干旱是一種由水循環(huán)異常引起的水分持續(xù)性短缺現(xiàn)象，不僅會對生態(tài)環(huán)境造成嚴(yán)重破壞，同時(shí)對工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和城市供水等也會產(chǎn)生負(fù)面影響，長期制約著經(jīng)濟(jì)社會和人類文明發(fā)展。干旱指標(biāo)是研究干旱現(xiàn)象的基礎(chǔ)，也是衡量干旱發(fā)生與否與量級大小最為直觀的定量表達(dá)。天然狀況下，翔實(shí)的實(shí)測水文資料是計(jì)算干旱指標(biāo)，評估區(qū)域干旱演變特征的基礎(chǔ)。將實(shí)測水文要素時(shí)間序列看作服從某種理論概率分布的隨機(jī)變量，通過等概率轉(zhuǎn)換原理將其標(biāo)準(zhǔn)化，以評估其偏離正常情形的程度，是最常見的干旱指標(biāo)構(gòu)建方法。

Mckee等采用Gamma分布來描述降水量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，提出了著名的標(biāo)準(zhǔn)化降水指數(shù)（Standardized Precipitation Index，SPI）[1]。此后，各類仿效SPI的標(biāo)準(zhǔn)化干旱指數(shù)如雨后春筍般被相繼提出，用來描述水文循環(huán)各個(gè)環(huán)節(jié)要素的盈缺情勢。考慮到生態(tài)系統(tǒng)與社會經(jīng)濟(jì)活動和地表-地下徑流的直接聯(lián)系和高度依賴性，眾多學(xué)者依托實(shí)測或模擬的徑流和地下水位，將SPI的計(jì)算框架移植到水文干旱研究之中，提出了許多標(biāo)準(zhǔn)化水文干旱指數(shù)，如標(biāo)準(zhǔn)化徑流指數(shù)（Standardized Runoff Index，SRI）[2]，徑流干旱指數(shù)（Streamflow Drought Index，SDI）[3]，標(biāo)準(zhǔn)化地下水位指數(shù)（Standardized Groundwater level Index，SGI）[4]等。

然而，由于水文氣象變量的時(shí)空異質(zhì)性，水文分布線型的選擇對于標(biāo)準(zhǔn)化干旱指數(shù)的計(jì)算精度有著重要的影響。特別是受樣本數(shù)量的限制，如果線型選擇不當(dāng)，可能給干旱評估帶來較大的誤差[5]。受降水時(shí)空分布不確定性和流域調(diào)蓄的影響，時(shí)段河川徑流的概率分布相較降水往往表現(xiàn)出更為復(fù)雜的特征。VincenteSerrano等（2012）就指出由于分布線型各自的局限性，沒有任何一個(gè)概率分布可以保證對各月份的實(shí)測徑流量均有較好的擬合效果，因此他采用不同的分布擬合不同月份的徑流量，擇優(yōu)確定理論分布，雖然在一定程度上提高了擬合的精度，但計(jì)算過程頗為繁雜[6]。因而，如果能以一個(gè)相對統(tǒng)一的分布形式描述徑流的概率特征，將對快速且穩(wěn)健的水文干旱評估產(chǎn)生有益影響。

Jaynes（1957）提出了著名的最大熵原理（Principle of Maximum Entropy，POME）[7，8]，用于構(gòu)建隨機(jī)變量的概率分布。自其被引入到水文頻率分析研究后[9]，POME近幾十年間在該領(lǐng)域已經(jīng)得到了迅速的發(fā)展[1013]，在干旱頻率分析方面也得到了廣泛的應(yīng)用[1416]，如吳孝情等（2014）[17]和Hong等（2015）[18]就通過POME構(gòu)建了降水量的概率分布，計(jì)算了SPI指標(biāo)，指出其在分布擬合方面具有令人滿意的適用性。過往應(yīng)用研究主要集中在以降水量為對象的氣象干旱上，對表征河流生境及地表與地下水體間轉(zhuǎn)化關(guān)系的地表-地下徑流關(guān)注較少。本文擬以河川徑流為對象，采用POME在不預(yù)先假設(shè)徑流序列概率分布線型的前提下，根據(jù)實(shí)測徑流資料的統(tǒng)計(jì)特征信息，推求其概率分布函數(shù)，用以計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)化水文干旱指標(biāo)。

1研究方法

1.1標(biāo)準(zhǔn)化徑流干旱指數(shù)（SDI）

本研究采用標(biāo)準(zhǔn)化徑流干旱指數(shù)（Streamflow Drought Index，SDI）表征一段時(shí)間內(nèi)的流域水文干旱情況[2]。SDI的計(jì)算公式如下：

SDI=Φ-1[FX（x）][JY]（1）

式中：Φ-1（·）為求高斯分布累積概率的逆函數(shù)。X為某一時(shí)間尺度[WTB1X]k（k[WTBX]=1，3，6，12個(gè)月等）下的累積月徑流量；f（x）和FX（x）=∫x0f（x）dx分別為其概率密度和概率函數(shù)。當(dāng)SDI>0時(shí)，表示流域處于較濕潤的狀態(tài)，反之當(dāng)SDI<0時(shí)，表示流域處于相對干旱狀態(tài)。

1.2基于最大熵原理的月徑流分布計(jì)算方法

熵理論認(rèn)為隨機(jī)變量不確定性的大小可以用概率分布函數(shù)來描述，而信息量的大小則可以用被消除不確定性的多少來表示。Shannon于1948年將玻爾茲曼熵的概念引入到信息論中，作為量度一個(gè)隨機(jī)變量不確定性或信息量的定量指標(biāo)[19]。假設(shè)隨機(jī)變量（本文中指累積月徑流量）X的概率密度函數(shù)為f（x），則其信息熵H（x）的定義如下：

H（x）=-∫baf（x）lnf（x）dx[JY]（2）

式中：a、b分別為隨機(jī)變量的積分上、下界。

Jaynes進(jìn)一步提出了POME的概念，認(rèn)為在所有相容的分布中，如果挑選滿足一定約束條件下能使信息熵達(dá)到極大值的分布作為隨機(jī)變量的分布，就意味著對數(shù)據(jù)不足的人為添加信息最少，從而求得的分布有最小的偏差，最合乎自然。因此，可將尋找最適宜概率分布的過程轉(zhuǎn)化為求解最大熵的過程，使得導(dǎo)出的理論分布與系統(tǒng)的已知信息相一致。在水文頻率分析中，常選用樣本各階矩，作為求解最大熵的約束信息[20]。本文中，不假設(shè)各尺度累積月徑流的頻率分布線型，以保持理論分布與樣本的前三階原點(diǎn)矩的期望一致作為月徑流分布的約束條件，可以將推求統(tǒng)一形式的月徑流概率分布的過程歸結(jié)為求解如下數(shù)學(xué)規(guī)劃問題。

實(shí)際上，作為一種形式靈活的分布構(gòu)建形式，通過設(shè)置不同的約束方程組，許多常用分布線型都可以通過POME導(dǎo)出。一些常用分布參數(shù)的POME估計(jì)可見文獻(xiàn)[23]。

2研究區(qū)域與資料

漢江是長江中游最大的支流，位于東經(jīng)106°15′-114°20′E，北緯30°10′-34°20′N，發(fā)源于秦嶺南麓，干流流經(jīng)陜西、湖北兩省，于武漢市注入長江，干流全長1 577 km，流域面積約159 000 km2（見圖1）。漢江流域地處北亞熱帶季風(fēng)區(qū)，幅員遼闊，光、熱和水資源空間差異大。加上區(qū)內(nèi)垂直地帶性十分顯著，是我國降水變率較大、旱澇災(zāi)害多發(fā)的地區(qū)之一[24]。漢江流域在國家水資源安全戰(zhàn)略布局中的地位舉足輕重，其上游丹江口水庫是南水北調(diào)中線工程的水源地，中下游的江漢平原則是湖北省重要的經(jīng)濟(jì)走廊，因而，研究漢江流域水文干旱演變特征，對于保障長江流域水安全具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

本文選取文獻(xiàn)[25]所采用的漢江流域內(nèi)30個(gè)子流域的長系列徑流作為研究對象。我國自20世紀(jì)90年代以來進(jìn)行了大規(guī)模的流域開發(fā)，可能在一定程度上破壞了天然水文序列的一致性[26]，為保證資料一致性，本文徑流資料序列基本上僅覆蓋20世紀(jì)50年代至20世紀(jì)80年代，各子流域位置見圖1。徑流量數(shù)據(jù)資料由出口斷面逐日流量資料經(jīng)時(shí)段累積和單位換算而來。分別采用MannKendall[27，28]和Pettitt[29]方法對各子流域不同尺度逐月實(shí)測徑流進(jìn)行趨勢和變點(diǎn)檢驗(yàn)，采用自相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)月徑流序列的獨(dú)立性，置信水平均取95%。經(jīng)檢驗(yàn)，所采用各月徑流量數(shù)據(jù)均滿足一致性假設(shè)。

3研究結(jié)果與分析

3.1月徑流分布擬合效果

采用前述的POME方法，對漢江30個(gè)子流域不同時(shí)間尺度逐月累積徑流量進(jìn)行頻率分析，擬合月徑流分布。為對比所提POME分布的適用性，選取若干常用的統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)，包括兩參數(shù)Normal（NO）、Gamma（GM）、Weibull（WB）和三參數(shù)Pearson Type Ⅲ（PⅢ）[HJ1.91mm]分布，對漢江各子流域不同時(shí)間尺度月徑流進(jìn)行擬合，參數(shù)估計(jì)方法也采用文獻(xiàn)[22]中的基于最大熵原理的拉格朗日乘子法，并與基于三階矩POME分布計(jì)算的月徑流分布進(jìn)行比較，選用的尺度包括[WTB1X]k[WTBZ]=1，3，6，12個(gè)月。采用AndersonDarling（AD）檢驗(yàn)方法[30]判斷所選用分布是否可以作為不同尺度累積月徑流的理論分布，置信度水平為95%。不同時(shí)間尺度下各分布通過AD檢驗(yàn)的次數(shù)見表1。不同分布下每一個(gè)時(shí)間尺度最佳的擬合次數(shù)為：30個(gè)流域×12個(gè)月=360次，由表可知，在四個(gè)時(shí)間尺度中，POME分布通過檢驗(yàn)的次數(shù)均為最高，與另一常用的三參數(shù)PⅢ分布效果相當(dāng)。其它分布中，NO分布在較小時(shí)間尺度上擬合效果欠佳，而指數(shù)分布族的GM分布和極值分布族的WB分布效果尚可。

采用各流域由不同備選分布擬合的月徑流量理論分位數(shù)與實(shí)測徑流數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)分位數(shù)的確定性系數(shù)R2QQQ衡量擬合效果，統(tǒng)計(jì)箱形圖見圖2。從圖中可以看出，POME分布和PⅢ分布對于不同尺度的月徑流量均能取得較好的擬合效果，確定性系數(shù)基本都在0.97以上。由其是POME分布（即紅色的“箱子”），有最高的平均表現(xiàn)和最小的分布范圍，表現(xiàn)穩(wěn)定。正態(tài)分布（NO）對于偏態(tài)的小尺度累積徑流量擬合效果欠佳，隨著時(shí)間尺度的延長，正態(tài)分布的適線效果逐步增強(qiáng)。而同為兩參數(shù)的兩個(gè)偏態(tài)分布效果[CM（22]居中。綜上，對于各個(gè)累積時(shí)段，所提出的POME[CM）]

方法構(gòu)建的理論分布均能較好地?cái)M合相應(yīng)時(shí)段的徑流量。

為進(jìn)一步在微觀序列層面上展示所提分布對實(shí)測徑流量樣本的擬合能力，以漢江流域的挽魚溝子流域?yàn)槔L制各時(shí)間尺度代表月份累積徑流量理論與經(jīng)驗(yàn)分布擬合效果圖如圖3所示。由圖3可以看出，各時(shí)間尺度月累積徑流量的經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)與理論曲線擬合良好，令人滿意。

3.2干旱指標(biāo)計(jì)算及干旱特征分析

由上一小節(jié)的分析結(jié)果，基于POME良好的擬合效果，可將它作為各尺度累積月徑流量的理論分

布，計(jì)算相應(yīng)的SDI指標(biāo)。挽魚溝流域各累積尺度SDI長序列見圖4。由圖可以看出，在各個(gè)時(shí)間尺度下，挽魚溝流域在研究期內(nèi)旱澇事件交替發(fā)生。從1個(gè)月尺度的SDI序列可以看出，該流域各月徑流的年際變化較大，旱、澇等極端水文事件頻發(fā)。隨著累積時(shí)間尺度的增大，干旱事件數(shù)量減少。這主要是由于隨著納入累積的回溯月份增加，一些夾雜在連續(xù)干旱時(shí)期內(nèi)略高于零值的SDI（可能由于突然的一場降雨）被抹去，而長期水量豐沛時(shí)期中間略小于零值的SDI則被剔除，使得原本被割裂的并不獨(dú)立的兩場干旱事件得以連續(xù)。

進(jìn)一步地，按照通用的游程理論[31]，以SDI=0為閾值，識別流域歷史水文干旱事件，統(tǒng)計(jì)干旱特征如表2所示。從表中可以看出，隨著累積尺度的增大，可以觀測到的旱澇事件呈現(xiàn)頻次（數(shù)量）、最大單[CM（22]月徑流虧缺量（即最小SDI值的絕對值）減小，但平

3.3不同分布線型下水文干旱指標(biāo)計(jì)算對比分析

從以上分析可以注意到，隨著時(shí)間尺度的增大，累積月徑流量的分布有逐漸趨于正態(tài)化的趨勢。為驗(yàn)證這一假設(shè)，將各流域基于正態(tài)分布與其他備選分布擬合計(jì)算的各尺度SDI序列的確定性系數(shù)R2，SDIQQ的統(tǒng)計(jì)箱形圖繪于圖5中?？梢钥闯觯瑢τ谒欣碚摲植?，隨著徑流量累積時(shí)段的增加，由不同理論分布計(jì)算得到的SDI指標(biāo)之間的確定性系數(shù)逐漸增大，差異逐漸減小。這表明累積徑流量的分布線型隨著累積時(shí)段的增加，逐漸趨于正態(tài)化。

同樣，以漢江流域挽魚溝子流域出口斷面1，3，6與12個(gè)月尺度POME、GM、WB與PⅢ分布與NO分布的SDI為例，繪制相關(guān)關(guān)系見圖6。從圖中不難看出，在時(shí)間尺度選得較小的情況下，基于不同分布計(jì)算得到的干旱指標(biāo)相關(guān)點(diǎn)據(jù)較為分散，特別是在尾部兩端，這表明此時(shí)由不同分布計(jì)算得到的SDI值差異較大，這對于穩(wěn)健的干旱評估顯然是不利的。隨著徑流累積時(shí)間尺度的增大，不同分布擬合結(jié)果的差異逐步縮小，基本上可以互相替代，這也表明徑流量的理論分布趨于正態(tài)化。這與Angelidis等[32]的研究結(jié)果一致。這一性質(zhì)可在隨機(jī)變量的獨(dú)立同分布假設(shè)適當(dāng)放寬的條件下，由大數(shù)定律解釋。

4結(jié)論與展望

為計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)化徑流干旱指數(shù)SDI，需要首先確定各時(shí)間尺度累積月徑流量的理論概率分布。為使待求的理論分布在充分利用樣本信息，反映變量統(tǒng)計(jì)特征的同時(shí)，人為假定最小，提出了基于最大熵原理（POME）的累積月徑流量分布，并采用漢江流域30個(gè)子流域的歷史資料進(jìn)行驗(yàn)證，得到以下結(jié)論。

（1）基于三階矩約束的最大熵原理求得的理論分布，可以有效擬合漢江各個(gè)子流域不同時(shí)間尺度的累積月徑流量，表現(xiàn)出良好的時(shí)空適應(yīng)性，為水文隨機(jī)變量的頻率分析提供了新的工具。

（2）隨著時(shí)間尺度增大，采用不同分布擬合同一尺度的月徑流量的差距有所減少，月徑流量概率分布特征趨于正態(tài)化。這一性質(zhì)在選用累積尺度較大的徑流計(jì)算相應(yīng)的SDI值時(shí)具有一定的應(yīng)用前景，直接采用正態(tài)分布，能夠大大簡化計(jì)算過程。

（3）作為一種通用的概率分布參數(shù)估計(jì)方法，POME可以為推求干旱指標(biāo)和干旱特征的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，進(jìn)行干旱頻率分析提供擬合手段。[HJ2.2mm]

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