崔 寧 王 博 毛 寧

1.珠海城市職業(yè)技術(shù)學(xué)院機電工程學(xué)院，珠海 519090 2.吉林大學(xué)珠海學(xué)院機械與汽車工程系，珠海 519041 3. 北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100081

機械臂作為機器人最為重要的執(zhí)行部分，在機器操作終端起著不可忽視的作用，其執(zhí)行性能、反應(yīng)速度等更是研究人員關(guān)注的焦點。

機械臂是一種具有強耦合性的非線性集成式MIMO系統(tǒng)，易受到外界環(huán)境干擾的影響。因此，需要設(shè)計一種具有強穩(wěn)定性的機械臂控制方法。通常，機械臂可簡化為二自由度連桿機構(gòu)。針對這一結(jié)構(gòu)，在已公開的文獻中，有很多控制方法，例如模型預(yù)測控制[1]，離散控制[2]，線性反饋控制[3]，滑?？刂频萚4-13]。早期對于機械臂的控制系統(tǒng)通常采用開環(huán)系統(tǒng)進行設(shè)計，但其效果不盡人意，控制精度低且抗擾動能力差[14]。文獻[15]應(yīng)用PID控制理論，所提出方法在控制器設(shè)計中對模型參數(shù)不作要求，但其魯棒性不夠好。文獻[16]應(yīng)用自適應(yīng)控制理論，所設(shè)計系統(tǒng)能夠有效降低系統(tǒng)的參數(shù)不確定性對機械臂控制的影響。文獻[17]考慮了機械臂控制的全狀態(tài)約束，基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制理論，可保證系統(tǒng)響應(yīng)始終處于全狀態(tài)約束中。文獻[18]應(yīng)用自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制理論，但采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制的方法對參數(shù)的設(shè)計選取有較大難度。文獻[4-13,19]應(yīng)用滑模變結(jié)構(gòu)控制理論，由于滑模控制具有強魯棒性的特點，可有效抵御系統(tǒng)內(nèi)部與外界干擾；通過合理的趨近律設(shè)計，亦可實現(xiàn)有限時間收斂的特性；結(jié)合自適應(yīng)算法，可避免繁瑣的參數(shù)調(diào)試。

考慮到以機械臂作為被控對象的非線性與強耦合性的特點，本文基于終端滑動模態(tài)控制理論，設(shè)計了一種新型機械臂終端滑模控制方法。提出了一種具有有限時間收斂特性的魯棒控制器，對所設(shè)計方法的有限時間收斂性進行了驗證，并采用李雅普諾夫方法證明了其穩(wěn)定性。通過對采用所設(shè)計控制方法的控制器與經(jīng)典線性滑模控制器進行仿真對比，證明了所述方法能夠?qū)崿F(xiàn)在有限時間內(nèi)控制兩桿角速度與角加速度收斂至期望值。

1 機械臂結(jié)構(gòu)模型與控制模型

機械臂結(jié)構(gòu)模型可簡化為圖1所示的平面二自由度連桿模型。該機械臂系統(tǒng)由連根細桿組成，質(zhì)量分別為m1和m2，長度分別為l1和l2。A和B兩點可視為銷釘，桿1可繞A點做圓周運動，桿2可繞B點做圓周運動。

圖1 二連桿機械臂平面模型

根據(jù)拉格朗日方程，可建立如下力學(xué)模型：

(1)

(2)

式中，g表示當?shù)氐闹亓铀俣龋琂1和J2為繞其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量，滿足以下關(guān)系：

(3)

(4)

(5)

其中，

(6)

為系統(tǒng)的總不確定量。由文獻[15]得，

(7)

其中，b0，b1和b2為正實數(shù)。

注1：由式(5)可以看出，該機械臂系統(tǒng)為一二階系統(tǒng)，且桿1與桿2之間存在嚴重的控制耦合，解耦控制方法相當復(fù)雜。設(shè)計一種無需考慮解耦的非線性控制器，不失為一種高效的控制方法。

2 終端滑?？刂破髟O(shè)計

定義期望角度向量為qd=[qd1,qd2]T,控制誤差e1=q-qd, 則有

(8)

對于以上誤差系統(tǒng)，定義終端切換函數(shù)

(9)

其中，α>0，β>0，γ∈(0,1)為切換函數(shù)的設(shè)計參數(shù)。趨近律可選取為

(10)

定理 1：考慮誤差系統(tǒng)式(8), 切換函數(shù)式(9)以趨近律式(10)，式(11)所示滑?？刂破骺墒瓜到y(tǒng)式(8)在有限時間內(nèi)漸進穩(wěn)定且收斂至0。

(11)

式(9)～(11)中，sgn(·)為符號函數(shù)，其定義為

(12)

為進一步消除抖振，實際應(yīng)用過程中，采用飽和函數(shù)代替符號函數(shù)。飽和函數(shù)的定義如下：

(13)

其中，δ>0為設(shè)計參數(shù)。不同的δ對應(yīng)的飽和函數(shù)圖像曲線如圖2所示。

3 有限時間收斂性與穩(wěn)定性分析

定理 2：考慮式(11)所示終端滑動模態(tài)魯棒控制器，式(8)所示誤差系統(tǒng)中狀態(tài)量e1和e2可在有限時間內(nèi)收斂至0；即系統(tǒng)式(4) 可在有限時間內(nèi)收斂至預(yù)期。

圖2 不同設(shè)計參數(shù)條件下的函數(shù)圖像

證明：為分析該系統(tǒng)的有限時間收斂性與穩(wěn)定性，有必要引入以下引理.

引理1[8]：對于C1型平滑系統(tǒng)f(x)∈，定義李雅普諾夫函數(shù)V(x)∈，如果該函數(shù)滿足以下條件：

(14)

即式(14)不等號左側(cè)半負定于實域空間，則有

(15)

式(14)和(15)中，β1∈+,β2∈+，η∈(0,1)。

選取如下李雅普諾夫函數(shù)：

(16)

(17)

可知在此控制器作用下，該系統(tǒng)穩(wěn)定。

另外，

(18)

由引理1可知，系統(tǒng)會在有限時間收斂至滑模面。

(19)

式(19)中，Treach=[T1,T2]T∈+為雙桿到達滑模面的之間，s0=[s10,s20]T為雙桿滑模面的初值。

對切換函數(shù)式(9)應(yīng)用引理1，顯而易見的，切換函數(shù)式(9)可使控制誤差e1及其導(dǎo)數(shù)e2在有限時間內(nèi)收斂至0。

4 仿真實驗與結(jié)果分析

為驗證所述控制方法的魯棒性，有限時間收斂性以及抖振抗性，將所述控制器與經(jīng)典線性滑?？刂破髟谙嗤跏紬l件、相同擾動條件下做仿真實驗。仿真試驗中，兩桿的物理特性如表1所示。

表1 兩桿的物理特性

期望的轉(zhuǎn)角軌跡向量如下式所示：

(20)

擾動量選取為

(21)

作為對照，經(jīng)典線性滑?？刂破魅缦率剿荆?/p>

(22)

s=e2+k1e1, sgn(s)=[sgn(s),sgn(s)]T

(23)

各控制器設(shè)計參數(shù)如表2所示

表2 各控制設(shè)計參數(shù)

仿真結(jié)果如圖4～8所示。

圖3 兩桿期望角度與實際角度

圖4 兩桿期望角速率與實際角速率

圖5 兩桿角度控制誤差

圖6 兩桿角速率控制誤差

圖7 兩桿控制指令

由圖3～7可知，在執(zhí)行機構(gòu)可以完全滿足控制指令的條件下，本文所述控制器與線性滑?？刂破骶蓾M足控制需求。由圖3可知，在2種控制器作用下，兩桿角度均可收斂于期望角度，但本文所述控制器的收斂速度明顯優(yōu)于線性滑?？刂破鳌Ｈ鐖D4所示，在兩桿角速率控制層面，本文所述控制器的收斂速度亦優(yōu)于線性滑?？刂破?。圖5和6分別顯示了兩桿角度與角速率層面，實際值與期望值之間的誤差。由此二圖得知，2種控制器均可使控制誤差在一定時間之后收斂至0，但相對于線性滑模控制器，本文所述控制器收斂時間更短。

圖7顯示兩桿的控制指令，在線性滑模控制器作用下，均會出現(xiàn)抖振現(xiàn)象，這對執(zhí)行機構(gòu)的高頻特性要求很高，因而出現(xiàn)誤差與錯誤的概率較高，不利于實際應(yīng)用。相對于線性滑模控制器，本文所述控制器消除了抖振，易于實施。

為進一步探究設(shè)計參數(shù)對本文所述制導(dǎo)律的影響，分3種情況設(shè)計仿真實驗，設(shè)計參數(shù)如表3所示。

表3 設(shè)計參數(shù)表

在兩桿角度初值、擾動、誤差和期望運動軌跡均與前文相同條件下，仿真結(jié)果如圖8～12所示。

圖8 兩桿期望角度與實際角度

圖9 兩桿期望角速率與實際角速率

圖10 兩桿角度控制誤差

圖11 兩桿角速率控制誤差

圖12 兩桿控制指令

由圖8～11可知，在不同的設(shè)計參數(shù)下，兩桿的角速度與角加速度均能迅速收斂至期望角速度與期望角加速度，角度控制誤差與角速率控制誤差均能迅速收斂至0，收斂時間小于1s，且抖振抑制效果良好，證明了所設(shè)計控制器的有限時間收斂性與魯棒性。進一步通過對比可發(fā)現(xiàn)，當設(shè)計參數(shù)增大時，系統(tǒng)收斂速度亦隨之增快。圖12為兩桿控制指令，從中可知，當設(shè)計參數(shù)增大時，控制指令波動幅度亦相對增大，從而產(chǎn)生更強有力的控制力。綜上所述，在3種參數(shù)條件下，所述控制器均可完成控制任務(wù)，充分體現(xiàn)了所述控制器的參數(shù)普遍適應(yīng)性。

5 結(jié)論

基于終端滑?？刂评碚?，設(shè)計了一種可應(yīng)用于普通機器人機械臂的控制器，該控制器具有以下優(yōu)點：1)有效抑制了經(jīng)典線性滑?？刂浦写嬖诘目刂浦噶疃墩瘳F(xiàn)象；2)適用于強耦合性與非線性系統(tǒng)，具有強魯棒性；3)可控制系統(tǒng)于有限時間內(nèi)收斂至期望狀態(tài)。

參 考 文 獻

[1] Poignet P and Gautier M. Nonlinear Model Predictive Control of a Robot Manipulator[J]. Proceedings of the 6thInternational Workshop on Advanced Motion Control, Nagoya, Japan, 2000:401-406.

[2] Chiacchio P, Pierrot F, Sciavicco L, et al. Robust Design of Independent Joint Controllers with Experimentation on a High-speed Parallel Robot[J]. IEEE Trans Ind Electron，2000， 40: 393-403.

[3] Kreutz K. On Manipulator Control by Exact Linearization[J]. IEEE Tans Autom Control，1989， 34: 763-767.

[4] Ferrara M and Magnani L. Motion Control of Rigid Robot Manipulators via First and Second Order Sliding Modes[J]. J Intell Robot Syst，2007， 48: 23-36.

[5] Wijesoma SW and Richards RJ. Robust Trajectory Following of Robots Using Computed Torque Structure with VSS[J]. Int J Control，1990， 52: 935-962.

[6] Liu M. Decentralized Control of Robot Manipulators: Nonlinear and Adaptive Approaches[J]. IEEE Tans Autom Control，1999， 44: 357-363.

[7] Feng Y, Yu X and Man Z. Non-singular Terminal Sliding Mode Control of Rigid Manipulators[J]. Automatica，2002， 28: 2159-2167.

[8] Yu S, Yu XH, Shirinzadeh B, et al. Continuous Finitetime Control for Robotic Manipulators with Terminal Sliding Mode[J]. Automatica，2005， 41: 1957-1964.

[9] Zhao D, Li C and Zhu Q. Low-pass-filter-based Position Synchronization Sliding Mode Control for Multiple Robotic Manipulator Systems[J]. Proc I Mech E, Part I: J Systems and Control Engineering，2011， 225: 1136-1148.

[10] Baek J, Jin M, Han S. A New Adaptive Sliding-Mode Control Scheme for Application to Robot Manipulators[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2016, 63(6):3628-3637.

[11] Lee J, Chang P H, Jin M. Adaptive Integral Sliding Mode Control with Time-delay Estimation for Robot Manipulators[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2017, (99):1-1.

[12] Gorji S, Yazdanpanah M J. A Robust Adaptive Sliding Mode Controller for Robot Manipulators[C]// Artificial Intelligence and Robotics. IEEE, 2017:170-176.

[13] Zhang F. High-speed Nonsingular Terminal Switched Sliding Mode Control of Robot Manipulators[J]. IEEE/CAA Journal of Automatica Sinica, 2017, PP(99):1-7.

[14] Youcef-Toumi K and Asada H. The Design of Open-loop Manipulator Arms With Decoupled and Configuration- invariant Inertia Tensors[C]// Proceedings of IEEE Conference on Robotics and Automation, 1986:2018-2026.

[15] Y. Su, D. Sun, L. Ren, et al. Integration of Saturated PI Synchronous Control and PD Feedback for Control of Parallel Manipulators[J]. IEEE Transactions on Robotics,2006，22(1): 202-207.

[16] Tomizuka M, Horowitz R, Model Reference Adaptive Control of Mechanical Manipulators[C]//Proceedings of the IFAC Symposium on Adaptive Systems in Control and Signal, 2014: 27-32.

[17] W. He, Y. Chen and Z. Yin, Adaptive Neural Network Control of an Uncertain Robot with Full-state Constraints[J]. IEEE Transactions on Cybernetics, 2016,46(3): 620-629.

[18] Sun C, He W, Hong J. Neural Network Control of a Flexible Robotic Manipulator Using the Lumped Spring-Mass Model[J]. IEEE Transactions on Systems Man & Cybernetics Systems, 2017, 47(8): 1863-1874.

[19] Islam S, P. X. Liu, Robust Sliding Mode Control for Robot Manipulators[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2011,58(6): 2444-2453.

[20] He S, Lin D and Wang J. Chattering-free Adaptive Fast Convergent Terminal Sliding Mode Controllers for Position Tracking of Robotic Manipulators[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: J Mechanical Engineering Science, 2016; 230(4): 1-13.