王 超，張小輝，孫長青

(沈陽工程學(xué)院 a.工程實(shí)訓(xùn)中心；b.機(jī)械學(xué)院，遼寧 沈陽 110136)

隨著高、精、尖機(jī)器的飛速發(fā)展，對傳動系統(tǒng)的要求越來越高。齒輪傳動是機(jī)器傳統(tǒng)系統(tǒng)的主要形式，其嚙合的動態(tài)性能對機(jī)器性能起著關(guān)鍵作用。為降低齒輪的失效形式，研究齒輪接觸的動力學(xué)分析就顯得非常重要。齒輪嚙合工作中，在外界因素和自身性能的激勵下將發(fā)生振動現(xiàn)象。振動系統(tǒng)的固有頻率和固有振型是其動態(tài)特性的關(guān)鍵因素，通過模態(tài)分析得出齒輪嚙合的固有頻率和振型變化是研究機(jī)器避免發(fā)生共振的基礎(chǔ)，從而提高機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)的工作效率和壽命。齒輪嚙合過程中，輪齒會受到載荷沖擊，在不同載荷激勵下，輪齒的受損程度不同。輪齒結(jié)構(gòu)在受到不同頻率沿正弦變化載荷作用下，得到應(yīng)力、應(yīng)變的頻率響應(yīng)曲線，為進(jìn)一步研究齒輪特性提供參考。

齒輪嚙合是一種復(fù)雜的接觸過程,因?yàn)樽饔昧Φ母淖兌蔀橐粋€非線性問題。傳統(tǒng)的理論分析是建立在彈性力學(xué)的基礎(chǔ)上,利用赫茲公式求解齒輪嚙合過程的應(yīng)力和應(yīng)變值，求解過程是建立在很多假設(shè)的理想情況下，結(jié)果不夠準(zhǔn)確。齒輪工作過程中會產(chǎn)生應(yīng)力、應(yīng)變和變形，為保證其正常工作需要對齒輪的輪齒和整體受力進(jìn)行分析，保證其強(qiáng)度和剛度的要求。因此，采用ANSYS軟件對齒輪進(jìn)行模態(tài)分析和諧響應(yīng)分析，并與理論分析進(jìn)行對比，ANSYS分析則具有直觀、準(zhǔn)確、快速方便等優(yōu)點(diǎn)。

1 建立分析模型

對于齒輪嚙合運(yùn)動的分析較為復(fù)雜，可以轉(zhuǎn)化為振動學(xué)模型。齒輪傳動是較為簡單扭轉(zhuǎn)振動模型，可等效轉(zhuǎn)化為單自由度系統(tǒng)的振動，如圖1所示。

圖1 齒輪嚙合單自由度模型

單自由度無阻尼系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程：

(1)

wn是自由振動系統(tǒng)的自然頻率：

(2)

Tn是自由振動的固有周期：

(3)

fn振動頻率：

(4)

由運(yùn)動模型分析可知，綜合剛度kv是隨時間變化的函數(shù)，也是齒輪嚙合所受到的剛度激勵，齒輪嚙合系統(tǒng)的固有頻率公式：

(5)

以X6132銑床為例，機(jī)床電機(jī)額定功率為P=7.5 kW ，輸出轉(zhuǎn)速為n=1 440 r/min，主動齒輪材料為20 Cr，從動齒輪材料為40 Cr，如表1所示。

P=T×n/9 550

(6)

圓周力：

Ft=2T/d

(7)

徑向力：

Fr=Ft×tanα

(8)

法向力：

Fn=Ft/cosα

(9)

由公式求得：Ft=1 275.37 N，F(xiàn)r=464.24 N

表1 直齒輪的幾何參數(shù)

2 基于 Proe/E的參數(shù)化建模及模態(tài)仿真

2.1 建立有限元模型

根據(jù)Proe/E軟件的參數(shù)化曲線方程準(zhǔn)確建立齒輪三維模型，對其進(jìn)行嚙合裝配及仿真，保存副本IGES格式，然后導(dǎo)入到Workbench環(huán)境中。

2.2 定義材料屬性

主動齒輪材料為20 Cr，從動齒輪材料為40 Cr，彈性模量為E=2.06×1011Pa，泊松比為μ=0.3，ρ=7.8×103kg/m3。

2.3 導(dǎo)入模型及網(wǎng)格劃分

對于三維實(shí)體來說，Meshing網(wǎng)格劃分方法分為Automatic、Tetrahedrons、Hex Dominant、Sweep、MultiZone和Inflation。Automatic是最簡單的劃分方法，但不夠精確；Tetrahedrons劃分網(wǎng)格可以快速自動生成，對于較復(fù)雜的實(shí)體，在關(guān)鍵區(qū)域可使用曲度和近似尺寸功能自動細(xì)化網(wǎng)格，比較精確，單元和節(jié)點(diǎn)合適，計(jì)算時間合理；Hex Dominant劃分網(wǎng)格比較精確，但計(jì)算時間較長；Sweep、MultiZone和Inflation網(wǎng)格劃分方法比較復(fù)雜。結(jié)合實(shí)際，采用Tetrahedrons劃分方法。

通過Geometry命令導(dǎo)入模型，生成實(shí)體模型，根據(jù)網(wǎng)格劃分方法選擇Tetrahedrons四面體網(wǎng)格劃分，共生成17 047個單元，31 988個節(jié)點(diǎn)，如圖2所示。

2.4 施加載荷及約束

對兩個齒輪施加Fixed Support，選取內(nèi)孔的4個半圓面，為節(jié)約計(jì)算時間，選取齒輪嚙合部分施加載荷Ft、Fr，從動齒輪受到反向的載荷。

圖2 模型劃分網(wǎng)格

2.5 模型求解及后處理

研究對齒輪施加預(yù)應(yīng)力的模態(tài)分析，圖3為前8階模態(tài)總變形分析云圖。

2.6 模態(tài)結(jié)果及分析

通過分析得到前8階固有頻率和固有振型。對于低頻響應(yīng)來說，高階模態(tài)影響不大，可以忽略。為了減小工作量，得到真實(shí)的結(jié)果，只求解前8階低頻模態(tài)結(jié)果。對前8階模態(tài)總變形分析云圖進(jìn)行分析，可得出齒輪在固有頻率激勵下振型的變化情況，如表2所示。

圖3 前8階模態(tài)總變形分析

在固有頻率為0～2 468.5 Hz和4 646.4 Hz的激勵下，齒輪嚙合過程穩(wěn)定，不會發(fā)生共振現(xiàn)象。在2 809.4～4 487.2 Hz的激勵下，齒輪嚙合發(fā)生彎曲和扭轉(zhuǎn)變形；在6 392.4～7 063.1 Hz的激勵下，齒輪發(fā)生復(fù)雜變形。因此，輪齒發(fā)生共振可能性最大的振型是彎曲變形。

表2 齒輪模態(tài)分析前8階固有頻率和振型特征

3 諧響應(yīng)分析

諧響應(yīng)分析是計(jì)算在齒輪嚙合過程中幾種不同頻率下的響應(yīng)，得出位移對頻率的曲線圖，從圖中找到峰值，進(jìn)一步分析在此頻率下的應(yīng)力值。為設(shè)計(jì)人員提供齒輪結(jié)構(gòu)的動力特性，通過增加阻尼防止發(fā)生共振現(xiàn)象的發(fā)生。

在諧響應(yīng)分析中，齒輪嚙合的所有節(jié)點(diǎn)都在相同頻率、不同相位下運(yùn)動；結(jié)構(gòu)中，阻尼值的差異導(dǎo)致了相位不同。

3.1 諧響應(yīng)基本方程

ANSYS 計(jì)算動力學(xué)的基本方程為

(10)

在諧響應(yīng)分析中，結(jié)構(gòu)中所有節(jié)點(diǎn)以同頻率、不同相位運(yùn)動，位移表達(dá)式為

{u}={umaxeiΦ}eiΩt

(11)

式(11)中，umax是最大位移;Ω是強(qiáng)迫頻率;φ是位移相位偏量，力矢量表達(dá)式為

{F}={Fmaxeix}eiΩt

(12)

將式(11)和式(12)帶入式(10)中，得諧響應(yīng)求解方程如下：

(-Ω[M]+iΩ[C]+[K])({u1}+
i{u2})={F1+F2}

(13)

3.2 后處理及分析

單擊Frequency Response，得到節(jié)點(diǎn)隨頻率變化的位移和相角曲線，如圖4所示。修改Damping Controls值為0.05，得到節(jié)點(diǎn)隨頻率變化位移和相角曲線，如圖5所示。

在4 500 Hz的載荷下，主動齒輪內(nèi)圈處的(Von-Mises)Stress最大，最大應(yīng)力值為13.441 MPa。機(jī)床齒輪箱內(nèi)的齒輪材質(zhì)差異性較大，修改Damping Controls 值為0.05后，在4 500 Hz激勵下，齒輪內(nèi)圈處的(Von-Mises)Stress還是最大且激勵頻率也沒有發(fā)生變化，最大應(yīng)力為5.950 2 MPa。因?yàn)樽枘嵯禂?shù)的變化，最大應(yīng)力值差異性很大。所以，通過諧響應(yīng)分析，可以采用增加阻尼的方式來改變在相同激勵載荷作用下的最大應(yīng)力值，從而避免發(fā)生共振，提高齒輪制造性能，延長使用壽命。

圖4 節(jié)點(diǎn)隨頻率變化得位移和相角曲線

圖5 帶阻尼節(jié)點(diǎn)隨頻率變化得位移和相角曲線

4 結(jié) 論

1)通過齒輪仿真模型的模態(tài)分析，得到齒輪嚙合前8階的固有頻率和固有振型，在2 809.4～4 487.2 Hz激勵下，齒輪可能發(fā)生共振現(xiàn)象，設(shè)計(jì)齒輪過程中盡可能避開齒輪的固有頻率。

2)通過諧響應(yīng)分析，可以采用增加阻尼的方法，減小輪齒處的接觸應(yīng)力，從而提高齒輪的制造性能。

3)在4 500 Hz激勵下，齒輪內(nèi)圈處(Von-Mises)Stress最大，最大應(yīng)力值為13.441 MPa，遠(yuǎn)小于制造材料20 Cr的彎曲強(qiáng)度，符合強(qiáng)度要求。

通過模態(tài)分析得到不同振型所對應(yīng)的固有頻率,為齒輪設(shè)計(jì)、生產(chǎn)和安裝提供理論依據(jù),從而通過加強(qiáng)或減弱振動改變頻率,防止共振發(fā)生。分析圖3可知,低頻振動首先發(fā)生彎曲變形,就表示這個方向的剛度是最弱的,需要加強(qiáng)。

分析圖4和圖5可知,諧響應(yīng)分析不僅可以直觀反映輪齒嚙合節(jié)點(diǎn)隨頻率變化的位移響應(yīng),進(jìn)一步驗(yàn)證模態(tài)分析的正確性,還可以反映出模態(tài)分析里不明顯的頻響特性。

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