雷 佳, 柏明強(qiáng), 周思齊, 廖 婷

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

量子糾纏是量子力學(xué)的核心,并且在量子信息處理中扮演著重要的角色.幾乎所有的量子通信任務(wù)都離不開量子糾纏,如量子隱形傳輸、量子稠密編碼、量子克隆、遠(yuǎn)程態(tài)制備、量子秘密共享等.其中,量子秘密共享指的是發(fā)送者將一個量子秘密通過一定的方式拆分,然后將拆分后的量子秘密發(fā)送給不同的接收者,只有部分或所有接收者共同合作才能恢復(fù)最初的量子秘密信息.1999年,Hillery等[1]提出了基于GHZ態(tài)的量子秘密共享方案.隨后,人們又陸續(xù)提出利用Bell態(tài)、W態(tài)、Cluster態(tài)及多粒子糾纏態(tài)等作為量子信道的量子秘密共享方案[2-9].量子秘密共享又被叫做量子信息分離.

最初的量子信息分離方案對于量子信息分離都是對稱的,即接收者都需要其他所有的接收者協(xié)助才能恢復(fù)量子秘密,那么有沒有只需要一部分接收者協(xié)助就能恢復(fù)發(fā)送者的秘密呢？文獻(xiàn)[10-12]提出了分級量子分離方案.在該方案中,具有多名接收者,不同的接收者對量子信息的恢復(fù)能力不同.根據(jù)接收者對未知態(tài)的恢復(fù)能力,將他們分為2個等級.高級接收者只需要部分接收者協(xié)助就可以恢復(fù)發(fā)送者的未知態(tài),低級接收者需要所有的接收者合作才能重構(gòu)發(fā)送者的未知態(tài).2013年Bai等[13]提出了以8粒子Cluster態(tài)作為量子信道的分級量子信息分離方案,2014年王作棟等[14]提出了二粒子分級量子信息分離方案,Peng等[15]提出了利用4粒子非最大糾纏態(tài)分級量子信息分離方案.

以上的分級量子信息分離方案,都是將接收者分為2個等級,那么能不能將接收者分為3個等級呢？于是本文提出了利用一個4粒子Cluster態(tài)和一個3粒子GHZ態(tài)[16-17]作為量子信道,實現(xiàn)任意單粒子未知態(tài)的三級量子通信方案.發(fā)送者Alice將單粒子未知態(tài)分發(fā)給6個接收者,接收者對未知態(tài)的恢復(fù)能力不同,其中,Bob只需要2個接收者協(xié)助就可以恢復(fù)Alice發(fā)送的未知態(tài),Charlie1(Charlie2)需要3個接收者的協(xié)助才可以恢復(fù)Alice發(fā)送的未知態(tài),David1(David2、David3)需要4個接收者協(xié)助才可以恢復(fù)Alice發(fā)送的未知態(tài).

1 分級量子通信

假設(shè)Alice有一個單粒子未知態(tài),形式為

|φ〉x=α|0〉x+β|1〉x,

(1)

其中,α、β是復(fù)數(shù)并滿足|α|2+|β|2=1.Alice作為分級量子通信中的發(fā)送者,發(fā)布一個秘密態(tài)|φ〉x給6個接收者,他們之間的量子信道由一個4粒子Cluster態(tài)和一個3粒子GHZ態(tài)構(gòu)成.

|1100〉-|1111〉)1234,

(2)

其中，粒子x和1屬于Alice,粒子2屬于Bob,粒子3和4分別屬于Charlie1和Charlie2,粒子5、6、7分別屬于David1、David2、David3.此時系統(tǒng)總態(tài)為

|ψ〉x1234567=|φ〉x?|C4〉1234?|G〉567=

|011000〉+|011111〉)+

α|01〉(|100000〉+|100111〉-

|111000〉-|111111〉)+

β|10〉(|000000〉+|000111〉+

|011000〉+|011111〉)+

β|11〉(|100000〉+|100111〉-

|111000〉-|111111〉)]x1234567.

(3)

Alice向6個接收者發(fā)送一個秘密態(tài)|φ〉x使任何一個接收者在部分或全部接收者的幫助下都能重構(gòu)這個秘密態(tài).為了達(dá)到這個目的,Alice首先對其兩粒子執(zhí)行Bell測量{|Ψ±〉x1,|Φ±〉x1},然后通過經(jīng)典信道將測量結(jié)果發(fā)送給接收者,其中,4種Bell基為

|Ψ±〉

|Φ±〉

(4)

Alice執(zhí)行Bell測量之后,系統(tǒng)的塌縮態(tài)為|ψ±〉234567或|φ±〉234567,其中

|ψ±〉234567=x1〈Ψ±|ψ〉x1234567=

|011000〉+|011111〉)234567±

|111000〉-|111111〉)234567,

|φ±〉234567=x1〈Φ±|ψ〉x1234567=

|111000〉-|111111〉)234567±

|011000〉+|011111〉)234567.

(5)

1.1選擇Bob恢復(fù)秘密假設(shè)Alice選擇讓Bob來恢復(fù)秘密態(tài).首先,Bob和David1聯(lián)合以粒子5為控制粒子,粒子2為目標(biāo)粒子執(zhí)行受控非門,然后系統(tǒng)塌縮態(tài)變成如下形式：

|011000〉+|111111〉)234567±

|111000〉-|011111〉)234567,

|111000〉-|011111〉)234567±

|011000〉+|111111〉)234567.

(6)

β|1〉2)|00000〉234567+

β|0〉2)|00000〉234567+

(7)

為了幫助Bob重建最初的秘密態(tài),其他接收者選取合適的測量基對他們自己的粒子進(jìn)行測量，并公布他們的測量結(jié)果.通過(7)式,很顯然,如果Charlie1和Charlie2選取{|0〉,|1〉}對他們的粒子進(jìn)行測量,他們的測量結(jié)果總是相同的.同樣的,David1、David2和David3也選取{|0〉,|1〉}對自己的粒子進(jìn)行測量,他們的結(jié)果也是相同的.因此只需要Charlie1和Charlie2中的任意一個和David1、David2和David3中的任意一個將測量結(jié)果發(fā)送給Bob,Bob通過相應(yīng)的幺正操作就可以重構(gòu)初始未知態(tài),從而實現(xiàn)秘密恢復(fù),完成本次量子通信.

不失一般性,假設(shè)Alice、Charlie1和David1的測量結(jié)果分別為|ψ+〉x1、|0〉3和|1〉5,則Bob得到的測量結(jié)果為

|ψ〉2=β|0〉2-α|1〉2.

(8)

|ψ1〉2=α|0〉2+β|1〉2.

(9)

對于該方案的所有可能的詳細(xì)測量結(jié)果,測量后的塌縮態(tài),Bob需要做的幺正變換見表1.

表 1 Alice、Bob、Charlie1和David1的測量結(jié)果,Bob手中粒子的塌縮態(tài)及所做的幺正操作

注：表中I為單位算子,σx=|0〉〈1|+|1〉〈0|,σz=|0〉〈0|-|1〉〈1|和σy=i|1〉〈0|-i|0〉〈1|為常見的Pauli算子,下同.

1.2選擇Charlie1恢復(fù)秘密因為|φ〉x1234567在交換粒子3、4的順序時是不會改變的,所以Charlie1和Charlie2在這個協(xié)議中具有相同的地位.不妨考慮讓Charlie1來恢復(fù)Alice的秘密態(tài)|φ〉x,Charlie1首先以粒子5為控制粒子,粒子3為目標(biāo)粒子做受控非門,然后以粒子2為控制粒子,粒子3為目標(biāo)粒子做受控非門,然后對粒子2做Hadamard門變換,則|ψ±〉234567和|φ±〉234567變?yōu)槿缦滦问?/p>

β|1〉3)|ξ1〉24567+

(α|1〉3±β|0〉3)|ξ2〉24567+

(α|0〉3?β|1〉3)|ξ3〉24567+

(α|1〉3?β|0〉3)|ξ4〉]24567,

β|0〉3)|ξ1〉24567+

(α|0〉3±β|1〉3)|ξ2〉24567+

(α|1〉3?β|0〉3)|ξ3〉24567+

(α|0〉3?β|1〉3)|ξ4〉]24567,

(10)

其中

|ξ1〉=(|00000〉+|11111〉)24567,

|ξ2〉=(|00111〉+|11000〉)24567,

|ξ3〉=(|10000〉+|01111〉)24567,

|ξ4〉=(|10111〉+|01000〉)24567.

從(10)式可以知道,如果David1、David2和David3選擇{|0〉,|1〉}對自己的粒子進(jìn)行測量,他們的測量結(jié)果是一樣的,因此Charlie1只需要得到Bob、Charlie2和David1(David1或David1)的測量結(jié)果并做相應(yīng)的幺正操作即可恢復(fù)Alice的量子態(tài)信息.換句話說,Charlie2只需要其他5個接收者中的3個就可以恢復(fù)Alice的量子態(tài)秘密.完成本次量子通信.不失一般性,假設(shè)Alice、Bob、Charlie2和David1的測量結(jié)果分別為|φ-〉x1、|0〉2、|1〉4和|1〉5,則Charlie1獲得的測量結(jié)果為

|φ〉3=α|1〉3-β|0〉3.

(11)

|φ1〉3=α|0〉3+β|1〉3.

(12)

對于該方案的所有可能的詳細(xì)的測量結(jié)果,測量后的塌縮態(tài),Charlie1需要做的幺正變換見表2.

1.3選擇David3恢復(fù)秘密因為|φ〉x1234567在交換粒子5、6、7的順序時是不會改變的,所以David1、David2和David3在這個協(xié)議中具有相同的地位.考慮另一種情況,所有接收者都同意讓David3來恢復(fù)Alice的秘密態(tài)|φ〉x,David3首先以粒子2為控制粒子,粒子6和粒子7為目標(biāo)粒子做受控非門,然后對粒子2和6做Hadamard門變換,則|ψ+〉234567和|φ±〉234567變?yōu)槿缦滦问剑?/p>

表 2 Alice、Bob、Charlie2和David1的測量結(jié)果,Charlie1手中粒子的塌縮態(tài)及所做的幺正操作

β|1〉7)|φ1〉23456+

(α|0〉?β|1〉)|φ2〉23456+

(α|1〉7±β|0〉7)|φ3〉23456+

(α|1〉7?β|0〉7)|φ4〉]23456,

β|0〉)7|φ1〉23456+

(α|1〉?β|0〉)|φ2〉23456+

(α|0〉7±β|1〉7)|φ3〉23456+

(α|0〉7?β|1〉7)|φ4〉]23456,

(13)

其中

|φ1〉=|00000〉+|10001〉+|11100〉+|01101〉23456,

|φ2〉=|00001〉+|10000〉+|01100〉+|11101〉23456,

|φ3〉=|00010〉+|10011〉+|01111〉+|11110〉23456,

|φ4〉=|00011〉+|10010〉+|11111〉+|01110〉23456.

通過(13)式,David3重構(gòu)Alice的秘密態(tài)需要其他接收者分別對自己的粒子做單粒子測量,并將測量結(jié)果通過經(jīng)典信道發(fā)送給David3.由(13)式可知,Charlie1和Charlie2選取{|0〉,|1〉}對他們的粒子進(jìn)行測量,他們的測量結(jié)果總是相同的,因此,只需要他們中的一個協(xié)助David3.也就是說,David3需要Bob、Charlie1(Charlie2)、David1和David2共4個接收者的幫助就可以重構(gòu)發(fā)送者的未知態(tài),恢復(fù)量子秘密,完成本次通信.一旦他們的測量基被確定,整個系統(tǒng)塌縮態(tài)為下面4種形式:

α|0〉7±β|1〉7,α|1〉7±β|0〉7,

α|0〉7?β|1〉7,α|1〉7±β|0〉7,

(14)

當(dāng)David3得到形如(14)式的塌縮態(tài)時需要做的合適的幺正操作如表3.

表 3 Alice、Bob、Charlie2、David1和David2的測量結(jié)果,David3手中粒子的塌縮態(tài)及所做的幺正操作

2 安全性分析

下面從外部攻擊和內(nèi)部攻擊2個方面對本方案進(jìn)行安全性分析.假設(shè)有一個偷竊者叫Eva,其在粒子的分配過程中通過糾纏一個輔助粒子來盜取Alice準(zhǔn)備發(fā)送的量子態(tài)信息.如果Alice和接收者們都沒有發(fā)現(xiàn)偷竊者Eva,那么在Alice對自己的粒子進(jìn)行Bell測量后,接收者們和偷竊者Eva構(gòu)成的量子系統(tǒng)將塌縮為7粒子糾纏態(tài),然而,在協(xié)助接收者對自己的粒子進(jìn)行單粒子測量后,恢復(fù)秘密的接收者和Eva所構(gòu)成的系統(tǒng)將塌縮為一個直積態(tài),因此Eva不會獲取到任何信息.為了更清楚地闡述,假設(shè)Eva試圖利用輔助粒子|0〉8糾纏Alice和接收者們的糾纏信道.如果Alice的測量結(jié)果為|ψ+〉x1,接收者和Eva所構(gòu)成的糾纏態(tài)為

|0110000〉+|0011110〉)2345678±

|1010000〉-|1111110〉)2345678.

(15)

當(dāng)Charlie1和David1分別選取基|0〉3和|1〉5對自己的粒子進(jìn)行測量,Bob和Eva的混合態(tài)將塌縮為β|00〉28-α|10〉28.很顯然,Eva的態(tài)并沒有改變,由糾纏的對應(yīng)特性,在這次攻擊中Eva并沒有竊取到任何的量子態(tài)信息.

考慮另一種攻擊情況,假設(shè)接收者中有一方是不誠實的,即Bob是不誠實的.他想安全獨立的恢復(fù)Alice的秘密.為了達(dá)到這個目的,Bob通過攔截Alice發(fā)送給其他接收者的信道粒子,然后將自己事先準(zhǔn)備好的輔助粒子發(fā)送給其他接收者.在這種情況下,只有當(dāng)Alice選擇Bob恢復(fù)量子態(tài)信息,Bob可以成功地重構(gòu)未知態(tài)并避免安全檢測.但如果Alice選擇除了Bob以外的其他接收者恢復(fù)量子態(tài)信息,那么其他接收者重構(gòu)的未知態(tài)將不同于Alice發(fā)送的.當(dāng)他們進(jìn)行公開比較時,竊取行為將會被發(fā)現(xiàn).因此,在整個共享過程中Bob成功的概率只有16.67%.如果檢查態(tài)的量足夠大,那么非法用戶Bob將會被發(fā)現(xiàn).

綜上所述,對于某些竊取者的攻擊本分級量子信息分離是安全的.

3 結(jié)論

本文探討了利用一個4粒子Cluster態(tài)和一個3粒子GHZ態(tài)作為量子信道實現(xiàn)單粒子未知態(tài)的分級量子通信方案.在該方案中,Bob只需要2個接收者協(xié)助就可以重構(gòu)發(fā)送者的未知態(tài),而Charlie1和Charlie2都需要3個接收者的幫助就能恢復(fù)發(fā)送者的未知態(tài),David1、David2和David3需要4個接收者協(xié)助才能恢復(fù)未知態(tài),也就是說,Bob比其他的接收者更容易恢復(fù)發(fā)送者的秘密,David1、David2和David3比其他接收者更難恢復(fù)發(fā)送者的秘密.換句話說,6個接收者的權(quán)限被分為3個等級,Bob作為高級接收者,Charlie1、Charlie2為中級接收者,David1、David2和David3為低級接收者.也可以修改方案實現(xiàn)(2,3)閾值的受控分級量子信息分離.

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