羅磊，王培俊，黃琳秦

(西南交通大學(xué) 機械工程學(xué)院，四川 成都 610031)

0 引言

多自由度運動平臺在模擬駕駛、工業(yè)機器人、數(shù)控機床等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，實用性較高[1]。串聯(lián)機構(gòu)工作空間大、結(jié)構(gòu)簡單，但累積誤差大、剛度低；并聯(lián)機構(gòu)剛度大、精度高，但控制難度大、成本高[2]。本文結(jié)合串并聯(lián)機構(gòu)的優(yōu)缺點與實際使用需求情況，設(shè)計了一種新型混聯(lián)運動平臺，具有4個自由度，以實現(xiàn)剛度大、響應(yīng)快和應(yīng)用范圍廣的目標(biāo)。

新型混聯(lián)運動平臺的結(jié)構(gòu)主要由兩部分組成：串聯(lián)部分和并聯(lián)部分，設(shè)計的主視圖如圖1所示。串聯(lián)部分由具有回轉(zhuǎn)機構(gòu)的轉(zhuǎn)臺組成，實現(xiàn)動平臺繞Z軸的轉(zhuǎn)動；并聯(lián)部分由3-RPS并聯(lián)機構(gòu)組成，實現(xiàn)動平臺繞X軸、繞Y軸轉(zhuǎn)動和沿著Z軸的移動，并聯(lián)部分的結(jié)構(gòu)簡圖如圖2所示。

根據(jù)運動平臺的串聯(lián)部分的特點，計算運動平臺在串聯(lián)部分的姿態(tài)變換矩陣；運用歐拉法計算出并聯(lián)部分的姿態(tài)變換矩陣，從而計算混聯(lián)運動平臺末端執(zhí)行器的坐標(biāo)系坐標(biāo)；運用空間幾何法，建立末端執(zhí)行器位置與電動缸總長度關(guān)系。在MATLAB中，根據(jù)機構(gòu)的逆解，求解運動平臺末端執(zhí)行器所能夠達(dá)到的最大空間位置，將其與3-RPS并聯(lián)機構(gòu)的工作空間進(jìn)行對比；在ADAMS中，建立該機構(gòu)的簡易模型，然后進(jìn)行各個自由度的動力學(xué)分析；采集ADAMS動力學(xué)分析的多項數(shù)據(jù)，在MATLAB中進(jìn)行誤差分析。

圖1 混聯(lián)運動平臺的主視圖

圖2 并聯(lián)部分結(jié)構(gòu)簡圖

1 運動學(xué)分析

1.1 平臺描述

由于運動平臺的工作環(huán)境較為惡劣，需要較大的剛度，運動平臺的工作空間影響著平臺的動力學(xué)性能，也決定著運動平臺的使用范圍。運動平臺末端執(zhí)行器的精度越高，平臺的控制就越精細(xì)，累計誤差越小。綜合以上需求，研究設(shè)計了一種新型混聯(lián)運動平臺，具有結(jié)構(gòu)新穎性和功能新穎性。

結(jié)構(gòu)的新穎性：轉(zhuǎn)臺的回轉(zhuǎn)機構(gòu)由回轉(zhuǎn)支撐機構(gòu)和回轉(zhuǎn)驅(qū)動裝置組成。運動平臺工作環(huán)境惡劣，對支撐結(jié)構(gòu)的沖擊較大，所以支撐機構(gòu)的強度必須滿足需求。滾子夾套式機構(gòu)具有重心低、穩(wěn)定性高、制造和安裝簡單等優(yōu)點[3]。設(shè)計的回轉(zhuǎn)支撐機構(gòu)采用滾子夾套式機構(gòu)。齒輪機構(gòu)具有效率高、傳動比穩(wěn)定和結(jié)構(gòu)緊湊的特點，所以采用齒輪傳動機構(gòu)作為回轉(zhuǎn)驅(qū)動裝置。在回轉(zhuǎn)機構(gòu)的基礎(chǔ)上，在轉(zhuǎn)臺上安裝3-RPS機構(gòu)，為整個平臺提供更多的自由度且結(jié)構(gòu)緊湊。

功能的新穎性：相比3-RPS機構(gòu)，增加回轉(zhuǎn)機構(gòu)后，新型混聯(lián)運動平臺末端執(zhí)行器能夠執(zhí)行更復(fù)雜的空間曲線、能夠更真實的反應(yīng)運動情況。根據(jù)運用場合的不同，在轉(zhuǎn)臺上安裝不同的設(shè)備，可構(gòu)成不同的運動平臺，如汽車駕駛仿真平臺?；剞D(zhuǎn)機構(gòu)實現(xiàn)平臺的自轉(zhuǎn)，如實現(xiàn)汽車駕駛仿真平臺的甩尾運動；并聯(lián)機構(gòu)實現(xiàn)平臺的z向移動和繞x、y軸的轉(zhuǎn)動，如實現(xiàn)汽車駕駛仿真平臺的豎直運動、俯仰運動和側(cè)翻運動[4]。

1.2 位置反解

新型混聯(lián)運動平臺的運動學(xué)逆解求解分兩步，首先求解串聯(lián)部分的姿態(tài)變換矩陣，再求解并聯(lián)部分的姿態(tài)變換矩陣。

末端執(zhí)行器的空間位置可以分解為：o-x0y0z0到o-x1y1z1的旋轉(zhuǎn)變換、o-x1y1z1到p-x2y2z2的旋轉(zhuǎn)變換和平移變換[5-7]。整個變換過程，坐標(biāo)系的位置變化如圖3所示。坐標(biāo)系o-x0y0z0到o-x1y1z1的姿態(tài)變換矩陣為T01，如式(1)所示。

(1)

圖3 運動平臺的坐標(biāo)變換

圖4 歐拉角z-y-x坐標(biāo)系變化

r和R分別為并聯(lián)部分的上下平臺的外接圓半徑。根據(jù)圖2中鉸鏈和球鉸與對應(yīng)坐標(biāo)系的關(guān)系，解出A1、A2、A3在o-xyz中的坐標(biāo)Ai和B1、B2、B3在p-xyz中的坐標(biāo)bi分別如下：

o-x1y1z1到p-x2y2z2的旋轉(zhuǎn)變換可用z-y-x歐拉角(α,β,γ)表示，如圖4所示。用z-y-x歐拉角表示的姿態(tài)變換矩陣為T12，如式(2)所示。

(2)

其中：sα=sinα，cβ=cosβ,以此類推。

根據(jù)歐拉角姿態(tài)變換矩陣即可求得Bi的世界坐標(biāo)系坐標(biāo)：

(3)

電動缸與轉(zhuǎn)臺之間以鉸鏈連接。由于鉸鏈結(jié)構(gòu)特性，電動缸只能繞著定軸轉(zhuǎn)動，那么電動缸所掃過的空間為一個扇形平面。同理，3個球鉸只在3個固定扇形平面內(nèi)運動，3個平面方程如式(4)所示。

(4)

根據(jù)式(2)-式(4)，解得并聯(lián)部分的位姿約束方程，如式(5)所示。

(5)

由式(5)可以看出：進(jìn)動角α是自轉(zhuǎn)角β和章動角γ的函數(shù)，也證明了并聯(lián)部分只有2個轉(zhuǎn)動自由度。

根據(jù)式(1)和式(2)，計算出整個運動平臺的姿態(tài)變換矩陣為T02，如式(6)所示。

(6)

其中：

為校驗所得到的T02正確性，將平臺的初始位置：θ=0,α=0,β=0,γ=0,xp=0,yp=0,zp=H,帶入矩陣T02計算，計算結(jié)果為：

與新型混聯(lián)運動平臺的初始位置完全一致，計算結(jié)果正確。

在實際使用中，針對不同用途，可以在動平臺上方安裝不同的設(shè)備，如汽車駕駛仿真平臺，這將導(dǎo)致動平臺的質(zhì)心不在動平臺下表面中心處。假設(shè)：動平臺的質(zhì)心在動平臺以上的M點處，將M點設(shè)為動平臺參考點。那么，M點的世界坐標(biāo)系坐標(biāo)的表示方法，如式(7)所示。

(7)

其中，m為參考點M在p-xyz中的坐標(biāo)。

1.3 位置正解

根據(jù)電動缸的總長度Li、各電動缸軸線與轉(zhuǎn)臺的夾角φi和轉(zhuǎn)臺自轉(zhuǎn)的角度θ，采用立體幾何法，可解出動平臺參考點的世界坐標(biāo)系坐標(biāo)。根據(jù)已知條件，求解出動平臺B1、B2和B3的世界坐標(biāo)系坐標(biāo)，如式(8)所示。

(8)

則，上平臺中心點P的坐標(biāo)如式(9)所示。

P=B1+B2+B3

(9)

上平臺所在平面的法向量：

(10)

點M位于通過P且與動平臺垂直的空間直線上，直線方程如式(11)所示。

(11)

|PM|=h，即可求出動平臺參考點M繞z軸旋轉(zhuǎn)之前的世界坐標(biāo)系坐標(biāo)。轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動的角度θ，將其帶入式(1)，解得末端執(zhí)行器參考點在世界坐標(biāo)系的坐標(biāo)如式(12)所示。

(12)

2 工作空間

工作空間是指末端執(zhí)行器所能夠達(dá)到的空間目標(biāo)的集 合[8]。研究工作空間有利于避免末端執(zhí)行器與其他部件發(fā)生干涉，還能夠為平臺的控制提供數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。

混聯(lián)運動平臺的幾個重要設(shè)計參數(shù)：R=500mm,r=300mm,Lmin=654mm,Lmax=1 152mm,h=300mm。采用數(shù)值搜索法，在MATLAB中編寫相應(yīng)的程序，計算出動平臺參考點M的工作空間，如圖5所示。將其與3-RPS機構(gòu)的工作空間進(jìn)行對比。當(dāng)y=0時，將兩種機構(gòu)工作空間的xz截面對比，如圖6所示。

圖5 混聯(lián)機構(gòu)的工作空間

圖6 兩種機構(gòu)的xz截面對比

在MATLAB中，混聯(lián)機構(gòu)的工作空間呈現(xiàn)兩頭尖的錐形分布。根據(jù)工作空間截面對比圖，表明混聯(lián)運動平臺的工作空間比單一的并聯(lián)機構(gòu)的工作空間大，混聯(lián)運動平臺的工作空間在各個方向上都達(dá)到了3-RPS的徑向極限位置。

3 動力學(xué)分析

在ADAMS中，使用“一般點驅(qū)動”和“樣條函數(shù)驅(qū)動”功能，實現(xiàn)運動平臺的運動。并聯(lián)部分的移動副采用樣條函數(shù)驅(qū)動，串聯(lián)部分的轉(zhuǎn)動副采用STEP函數(shù)驅(qū)動。

在ADAMS動力學(xué)仿真中，整個過程持續(xù)10s，分作300步。每個電動缸的鉸鏈中心到球鉸中心的距離為電動缸總長Li，Li的變化曲線如圖7所示。

圖7 3個電動缸總長變化

根據(jù)ADAMS后處理，獲得電動缸總長、自轉(zhuǎn)角、球鉸和鉸鏈的夾角變化。利用1.3節(jié)中的位置正解方法，在MATLAB中編寫位置正解程序，計算新型混聯(lián)運動平臺的參考點坐標(biāo)。將計算值與仿真值進(jìn)行比較，得出參考點誤差分析圖，如圖8所示。

圖8 參考點誤差分析圖

由圖8可以看出，xyz向誤差呈現(xiàn)一定的波動。當(dāng)3個電動缸總長度在接近相等時，參考點的誤差較大，且z向的誤差最小。在xyz方向上，參考點的誤差在4×10-5mm以內(nèi)，誤差均在允許的范圍內(nèi)，精度較高，表明運動學(xué)方程準(zhǔn)確無誤。

4 結(jié)語

在MATLAB中，根據(jù)位置反解算法，分別對3-RPS機構(gòu)和新型混聯(lián)運動平臺末端執(zhí)行器的工作空間進(jìn)行求解。3-RPS的工作空間關(guān)于3個鉸鏈約束平面對稱，混聯(lián)機構(gòu)的工作空間關(guān)于中心軸對稱。當(dāng)新型混聯(lián)運動平臺的并聯(lián)部分與3-RPS機構(gòu)完全相同時，3-RPS機構(gòu)的工作空間體積為：V3-RPS=8.313 3×106mm3，運動平臺的工作空間體積為：V混聯(lián)=11.687×106mm3，運動平臺的工作空間增加了40.58%?？梢?，當(dāng)增加回轉(zhuǎn)機構(gòu)后，新型混聯(lián)運動平臺末端執(zhí)行器的工作空間大大增加，體現(xiàn)串聯(lián)部分的優(yōu)勢。

分析新型混聯(lián)運動平臺的ADAMS動力學(xué)仿真數(shù)據(jù)，結(jié)果表明電動缸的長度、鉸鏈夾角和球鉸夾角變化都在設(shè)定的范圍內(nèi)，末端執(zhí)行器參考點的空間位置均在工作空間內(nèi)，表明工作空間求解準(zhǔn)確。通過誤差分析，表明新型混聯(lián)運動平臺參考點的精度較高，體現(xiàn)并聯(lián)部分的優(yōu)勢。通過動力學(xué)分析，為混聯(lián)運動平臺的優(yōu)化和控制提供了動力學(xué)依據(jù)。

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