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(仙居中學(xué),浙江 仙居 317300)

題目如圖1，在三棱錐A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD，△BAC與△BCD均為等腰直角三角形，且∠BAC=∠BCD=90°,BC=2,點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，若線段CD上存在點(diǎn)Q，使得異面直線PQ與AC成30°角，則線段PA長(zhǎng)度的取值范圍是______.

(2017年2月浙江省溫州市數(shù)學(xué)高考模擬試題第8題)

圖1 圖2

視角1從定義出發(fā)，探尋自然的解題方法.

設(shè)AP=x，CQ=y(其中0

從而

由余弦定理得

EQ2=PQ2+PE2-2PE·PQcos 30°，

化簡(jiǎn)得

于是

視角2從坐標(biāo)出發(fā)，探尋動(dòng)點(diǎn)的本質(zhì)聯(lián)系.

圖3

因?yàn)楫惷嬷本€PQ與AC成30°角，所以

化簡(jiǎn)得

由0≤q≤2，知

視角3從向量出發(fā)，突破空間的條件限制.

化簡(jiǎn)得

即

故

聯(lián)結(jié)CP，則在Rt△PCQ中，

又在Rt△PAC中，

得

即

視角4從極限出發(fā)，探尋動(dòng)點(diǎn)的變化趨勢(shì).

圖4

視角5從射影出發(fā)，借助三余弦定理探求角之間的聯(lián)系.

圖5

解法6由題意可知CD⊥面ABC,故轉(zhuǎn)換視角重新作圖(如圖5).聯(lián)結(jié)CP，則∠CPQ即為直線PQ與底面ABC所成的線面角，記作θ.設(shè)異面直線PQ與AC所成的角為θ1，直線PQ在底面的射影PC與直線AC所成的角為θ2，即θ2=∠ACP，則由三余弦定理可得

cosθ1=cosθ·cosθ2，

從而θ1≥θ2.又θ1=30°，則

θ2≤30°，

從而

于是

圖6

評(píng)注本題換個(gè)角度轉(zhuǎn)化成三棱錐D-ABC，容易看出直線PQ在底面的射影為直線CP，由三余弦定理得直線PQ與AC所成的角θ1大于等于其射影CP與直線AC所成的角θ2，從而把條件中的等量關(guān)系θ1=30°轉(zhuǎn)化為不等關(guān)系θ2≤30°，由此得出AP的范圍.空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，通過(guò)它在平面上的射影揭示出它們之間的內(nèi)在規(guī)律，這是一種重要的研究事物的思想方法.在動(dòng)態(tài)立體幾何問(wèn)題中，選擇恰當(dāng)?shù)耐队懊?，很多時(shí)候可以把空間中運(yùn)動(dòng)的量轉(zhuǎn)化為投影面上靜止的量，把空間中混沌的關(guān)系轉(zhuǎn)化為其射影明確的關(guān)系.

視角6從軌跡出發(fā)，探尋解析幾何與立體幾何的交匯.

圖7

評(píng)注雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中固定其中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，讓另一個(gè)點(diǎn)先動(dòng)起來(lái)是常見(jiàn)的一種想法.本題中，固定點(diǎn)P后，把點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為直線PQ繞著軸PE旋轉(zhuǎn)，得到一個(gè)圓錐曲面，由平面BCD去截這個(gè)圓錐，從而得到點(diǎn)Q的一個(gè)運(yùn)動(dòng)軌跡為橢圓，再由直線CD與橢圓相交確定點(diǎn)Q.在動(dòng)態(tài)立體幾何中，很多問(wèn)題往往需要結(jié)合解析幾何中曲線的定義，通過(guò)構(gòu)造圓錐模型來(lái)確定動(dòng)點(diǎn)的位置及運(yùn)動(dòng)軌跡，這樣容易發(fā)現(xiàn)隱含的幾何性質(zhì)，更有利于找到最值點(diǎn)和臨界點(diǎn)，從而使解題過(guò)程得到優(yōu)化[2].

視角7從整體出發(fā)，探尋問(wèn)題的幾何本質(zhì).

解法8在圖5基礎(chǔ)上，將直三棱柱補(bǔ)形成長(zhǎng)方體ABFC-A1B1F1D(如圖7)，過(guò)點(diǎn)P作PG∥AC交BC于點(diǎn)E，交CF于點(diǎn)G，則PG⊥面CFF1D，且∠QPG即為異面直線PQ與AC所成的角.在Rt△PGQ中,

得

在Rt△QCG中,

即

評(píng)注在立體幾何中，一種常見(jiàn)的補(bǔ)形是將錐體補(bǔ)形成柱體，將三棱柱補(bǔ)形成長(zhǎng)方體或正方體，將局部的圖形補(bǔ)形成一個(gè)整體，從整體出發(fā)探究動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)變化中的不變量.本題中，從三棱錐這一局部角度看，PE和QE是兩條變化的線段，∠QPG=30°這一條件得不到一個(gè)明確的結(jié)論，而從長(zhǎng)方體這一整體角度分析，由∠QPG=30°知線段PG,QG的長(zhǎng)度是定值，因此本題的幾何本質(zhì)是PQ在面CFF1D上的投影長(zhǎng)為定值，問(wèn)題馬上得到解決.從整體角度看問(wèn)題，胸有全局，眼界更寬廣一點(diǎn)，思維更開(kāi)闊一點(diǎn)，解法就更簡(jiǎn)單一點(diǎn).

“動(dòng)態(tài)”充滿(mǎn)著神奇，孕育著創(chuàng)造.動(dòng)態(tài)立體幾何問(wèn)題情景新穎、解法靈活、極富有思考性和挑戰(zhàn)性，能更好地考查學(xué)生的空間想象能力和思維能力[3].對(duì)動(dòng)態(tài)立體幾何問(wèn)題要多作解題研究，要善于從各個(gè)不同的視角出發(fā)加以分析，既要從數(shù)的角度來(lái)關(guān)注運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中變量的本質(zhì)變化與變量間的聯(lián)系，也要從形的角度來(lái)關(guān)注運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡與不變的幾何關(guān)系，還要從極限或整體的視角出發(fā)思考，從而使問(wèn)題得到靈活的解決.

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 袁方程，黃俊峰.解決立體幾何中“動(dòng)態(tài)問(wèn)題”的常用策略[J].河北理科教學(xué)研究，2012(6)：6-9.

[2] 吉俊杰.“空間運(yùn)動(dòng)”與“圓錐”的“不解之緣”——由2016年浙江高考談“動(dòng)態(tài)”立體幾何教學(xué)建議[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2016(11)：81-83.

[3] 馬茂年，吳曉明.動(dòng)態(tài)幾何 策略引領(lǐng) 理性探索——例說(shuō)立體幾何“動(dòng)態(tài)”題型解題策略[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2014(2)：1-4.