●

(學(xué)軍中學(xué),浙江 杭州 310012)

2018年浙江省數(shù)學(xué)競(jìng)賽剛落下帷幕就引發(fā)了很多的討論.大多數(shù)人都認(rèn)為此次的試題比較容易，甚至比2017年的還要容易些.筆者有幸參與了此次競(jìng)賽的閱卷工作，在結(jié)算總分的過(guò)程中，高分一個(gè)接一個(gè)地冒出來(lái)，這也從側(cè)面說(shuō)明了此次試題的難度不大.在這15個(gè)試題中，筆者對(duì)第10題情有獨(dú)鐘.

圖1

解因?yàn)?組對(duì)棱都相等，所以考慮將四面體放入到長(zhǎng)方體中(如圖1).假設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為x,y,z，則

由于四面體的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，因此外接球的半徑為

考后筆者詢問(wèn)了幾個(gè)學(xué)生，想法也如出一轍，都將四面體放入了長(zhǎng)方體.此解法用的是補(bǔ)形思想，即把四面體補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體.“補(bǔ)”和“割”都是數(shù)學(xué)中的重要思想，本文主要介紹補(bǔ)形思想在競(jìng)賽、自主招生以及高考中的一些簡(jiǎn)單應(yīng)用.

1 補(bǔ)形法在競(jìng)賽中的應(yīng)用

例2在四面體ABCD中，已知∠ADB=∠CDB=∠ADC=60°，AD=BD=3，CD=2，則四面體ABCD的外接球半徑是______.

(2011年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第6題)

圖2

解得

故外接圓半徑為

這兩個(gè)競(jìng)賽試題的共同點(diǎn)是通過(guò)適當(dāng)?shù)难a(bǔ)形，將四面體放入長(zhǎng)方體中，然后再加以解決.長(zhǎng)方體，這個(gè)在小學(xué)階段就已經(jīng)接觸到并非常熟悉的幾何體，在高中階段的立體幾何中繼續(xù)發(fā)揮著它巨大的作用.眾所周知，在求正四面體(或一些特殊四面體)的體積、外接球半徑時(shí)，我們都可以把該四面體放入長(zhǎng)方體中來(lái)解決.那么哪些幾何體能放入到長(zhǎng)方體中呢？首先正四面體顯然可以放入長(zhǎng)方體中，那么任意一個(gè)3組對(duì)棱兩兩相等的四面體能否放入到長(zhǎng)方體中呢？

圖3

結(jié)論13組對(duì)棱分別相等的四面體能放入長(zhǎng)方體.

證明若四面體ABDE能放入一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是a,b,c的長(zhǎng)方體中，則放入后的位置如圖3所示.不妨設(shè)AC=a,CE=b,CD=c，則

2c2=m2+n2-s2,

2b2=s2+n2-m2,

2a2=m2+s2-n2，

從而只需證明m2+n2>s2，即只需證明∠ADE是銳角.易知∠BED=∠ADE,∠BEA=∠DAE，于是

∠BED+ ∠DEA+∠BEA=π>2∠BED=2∠ADE,

故存在a,b,c滿足條件，即結(jié)論1成立.

此外還有一些比較規(guī)則的四面體也可以放入到長(zhǎng)方體當(dāng)中，如有一個(gè)頂點(diǎn)處是“墻角”的四面體，還有4個(gè)面都是直角三角形的四面體等等.

在這些四面體中，有一些保留了長(zhǎng)方體的部分特點(diǎn)，容易讓人聯(lián)想到它們和長(zhǎng)方體的關(guān)系，從而使問(wèn)題迎刃而解；也有一些幾何體，即使保留了長(zhǎng)方體的部分特點(diǎn)，但是它與長(zhǎng)方體之間的關(guān)系不容易被看出；還有一些幾何體，長(zhǎng)方體的大部分特點(diǎn)都被割去，這給我們解決問(wèn)題帶來(lái)了一定的困難.因此，筆者認(rèn)為，這才是命題者的命題思想和命題背景.筆者順著此命題思路，給出了兩個(gè)變式.

圖4

變式2在正四面體ABCD中，已知∠ADB=∠CDB=∠ADC=60°,AD=3,BD=1,CD=2,則四面體ABCD的外接球半徑是______.

點(diǎn)評(píng)在變式2中△ABC不是正三角形，傳統(tǒng)的方法不能奏效，但是補(bǔ)形的思想仍然可以使用.

相比例1和例2，這兩個(gè)變式更能反映出補(bǔ)形思想的妙處.盡管這一類題目有一些難度，但是卻受到了各大高校自主招生的青睞.

2 補(bǔ)形法在自主招生中的應(yīng)用

圖5 圖6

(2005年上海交通大學(xué)自主招生試題)

圖7

點(diǎn)評(píng)該試題中的幾何體保留了長(zhǎng)方體的部分特點(diǎn)，但是不容易發(fā)現(xiàn)，可一旦發(fā)現(xiàn)之后，問(wèn)題就很簡(jiǎn)單.此題若采用傳統(tǒng)的方法求解，則要耗費(fèi)不少精力，另外還需要比較強(qiáng)的空間想象能力和計(jì)算能力.但若考慮幾何體與正方體之間的聯(lián)系，則可以簡(jiǎn)化計(jì)算，達(dá)到事半功倍的效果.

3 補(bǔ)形法在高考中的應(yīng)用

除了競(jìng)賽和自主招生外，補(bǔ)形法在高考中也有著一定的地位，例如2014年全國(guó)數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ理科第12題，試題中的四面體割去了正方體的大部分特點(diǎn)，只留下了一些蛛絲馬跡，若不利用正方體，要想象出幾何體，會(huì)有一定的難度.

例4如圖8，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫(huà)出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為

( )

圖8 圖9

解由三視圖可以判斷，該幾何體為四面體，且可以放入長(zhǎng)方體中.設(shè)該四面體為A-BCD，則放入邊長(zhǎng)為4的立方體中的位置如圖9所示.易知答案選B.

類似這樣的補(bǔ)形思想，高考試題中還有很多,如：

例5已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為

( )

(2017年全國(guó)數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷Ⅱ理科試題第10題)

圖10

解對(duì)直三棱柱ABC-A1B1C1進(jìn)行補(bǔ)形,補(bǔ)成一個(gè)直四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖10)，易知答案選C.

例5是將三棱柱補(bǔ)成了一個(gè)平行六面體，再如例6將幾何體補(bǔ)成了一個(gè)三棱錐，從而降低解題的難度.

例6如圖11,在三棱臺(tái)ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.

1)求證：BF⊥平面ACFD；

2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第17題)

圖11 圖12

1)證明延長(zhǎng)AD，BE，CF交于一點(diǎn)R(如圖12).易證△BCR是正三角形，且F為中點(diǎn)，從而B(niǎo)F⊥CR.因?yàn)槠矫鍮CFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，所以BF⊥CA，故BF⊥平面ACFD.

其他可以用補(bǔ)形法解決的高考試題還有很多，如2014年安徽省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題、2017年全國(guó)數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷Ⅱ理科試題第19題.

4 感悟

補(bǔ)形作為一種基本的數(shù)學(xué)思想，無(wú)論是在競(jìng)賽、自主招生還是在高考中都是非常重要的，在平時(shí)的教學(xué)中都應(yīng)有所提及.但是現(xiàn)實(shí)中，筆者發(fā)現(xiàn)很少有教師提到補(bǔ)形的思想，或者只在講解類似的題目時(shí)，才會(huì)提及補(bǔ)形的思想.“割”和“補(bǔ)”是相對(duì)的兩種手段，出題的時(shí)候用了“割”，做題的時(shí)候就用“補(bǔ)”，這就是補(bǔ)形.如果把補(bǔ)形后的幾何體看作是“整體”，那么補(bǔ)形前的幾何體就是“局部”，因此補(bǔ)形是一種站在“整體”的角度用俯視的眼光去解決“局部”問(wèn)題的思想.

筆者認(rèn)為能夠用補(bǔ)形法來(lái)解決的問(wèn)題，大致可以分為3類:1)幾何體較為規(guī)則的且計(jì)算不麻煩，如例4和例5.此類幾何體，不用補(bǔ)形法也可以計(jì)算，用補(bǔ)形法會(huì)更直接.2)幾何體較為規(guī)則，但是不容易計(jì)算，如例1和例6.此類幾何體因外形較規(guī)則，會(huì)讓學(xué)生忘了用補(bǔ)形，是3類情況中相對(duì)比較難的一類，也是需要強(qiáng)調(diào)的一類.3)幾何體不規(guī)則，如例2和例3，想到補(bǔ)形比較自然.

在用補(bǔ)形法解決問(wèn)題時(shí)，大致可分為兩步：首先，要找到合適的“整體”，即要找到被割之前的幾何體，這應(yīng)該是解答過(guò)程中最難的一點(diǎn).有時(shí)候“整體”可以是長(zhǎng)方體本身，也可以是那些可以放入到長(zhǎng)方體中的特殊幾何體，比如正四面體.當(dāng)然還可以是其他的，比如棱臺(tái)的“整體”可以是棱錐，再如四棱錐的“整體”可以是三棱錐.若有多個(gè)“整體”可以選擇時(shí)，只需要選擇一個(gè)方便計(jì)算的“整體”就可以了.在還原“整體”時(shí)，本文前面所闡述的幾種類型的幾何體都可以作為參考.然后，將幾何體放入到“整體”中，根據(jù)幾何體和“整體”的關(guān)系，求出所要求的結(jié)果.

總之，要用好補(bǔ)形思想，就必須清楚特殊幾何體可能出現(xiàn)的各種“局部”問(wèn)題，只有這樣才能發(fā)揮補(bǔ)形思想的最大作用.