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(嘉興市第一中學(xué),浙江 嘉興 334000)

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過(guò)程中逐步形成和發(fā)展的，包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、運(yùn)算能力、直觀想象和數(shù)據(jù)分析[1].在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，應(yīng)如何培養(yǎng)這些核心素養(yǎng)呢？

1 對(duì)高三教學(xué)現(xiàn)狀的思考

當(dāng)下，高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課普遍的做法是“定義+辨析”“題型+方法”，對(duì)學(xué)生進(jìn)行機(jī)械、重復(fù)的訓(xùn)練，教學(xué)變成了“刷題”，失去了它應(yīng)有的本真.到頭來(lái)學(xué)生一遇到情境新穎的問(wèn)題還是一籌莫展，思維品質(zhì)、應(yīng)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力低下.這與《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”)倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是背道而馳的.作為高三數(shù)學(xué)教師的筆者一直在思考：高三究竟要怎么教，才能讓學(xué)生從膚淺的知識(shí)堆積學(xué)習(xí)上升到深層能力與品格的養(yǎng)成，不做或少做“無(wú)用功”？適逢學(xué)校公開展示周，筆者講授了一節(jié)公開課——“線面垂直”復(fù)習(xí)，把自己對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的思考滲透在教學(xué)設(shè)計(jì)之中.磨課的過(guò)程，加深了筆者對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理解，也是筆者對(duì)這個(gè)看似“高大上”的概念所進(jìn)行的“接地氣”的實(shí)踐.

2 聚焦核心素養(yǎng)，提高復(fù)習(xí)課的價(jià)值

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要追求有效，更要追求價(jià)值，這個(gè)價(jià)值就是學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這是數(shù)學(xué)學(xué)科育人的根本.

2.1 做好課題分析，明確核心素養(yǎng)目標(biāo)

教學(xué)是一種有目的、有計(jì)劃的活動(dòng).學(xué)習(xí)目標(biāo)是課堂教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生一切學(xué)習(xí)活動(dòng)的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn).它是教學(xué)的靈魂，是學(xué)習(xí)的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，引領(lǐng)著教學(xué)的全過(guò)程，也決定評(píng)價(jià)任務(wù)的設(shè)計(jì)和教學(xué)方法的選擇[2].因此，設(shè)計(jì)教案的第一步要設(shè)計(jì)好教學(xué)目標(biāo)，并且要充分關(guān)注數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的達(dá)成.由于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是在學(xué)習(xí)過(guò)程中形成的，因此它不能脫離內(nèi)容與過(guò)程.不同的學(xué)習(xí)主題對(duì)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)有所側(cè)重[3].“立體幾何”內(nèi)容側(cè)重發(fā)展學(xué)生的哪些核心素養(yǎng)呢？從圖形角度，它適合發(fā)展直觀想象素養(yǎng)；從幾何證明的角度，它有利于培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；從定理應(yīng)用的角度，它又適合培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).因?yàn)榱Ⅲw幾何的定理，本質(zhì)上講就是一個(gè)空間圖形的模型，定理應(yīng)用就是要從實(shí)際問(wèn)題情境中抽象或分離出符合定理的空間圖形模型，然后用定理去加以解決.因此，筆者就“線面垂直”這節(jié)復(fù)習(xí)課的內(nèi)容確立了以下3個(gè)培養(yǎng)目標(biāo)：

1)樹立數(shù)學(xué)定理即數(shù)學(xué)模型的意識(shí)，能從實(shí)際問(wèn)題情境中找到符合定理模型的基本元素，從而解決問(wèn)題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)；

2)理解定理模型的圖形語(yǔ)言，能夠在實(shí)際問(wèn)題情境中抽象出與定理模型對(duì)應(yīng)的基本圖形，并運(yùn)用定理加以解決，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和直觀想象能力；

3)通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算或邏輯證明的方法，在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，提升邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

2.2 抓住3條主線，達(dá)成核心素養(yǎng)目標(biāo)

“四基”是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的沃土，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的有效載體.教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生理解基礎(chǔ)知識(shí)，掌握基本技能，感悟數(shù)學(xué)基本思想，積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的不斷提升[1].

2.2.1 知識(shí)線：利用概念圖織點(diǎn)為網(wǎng)，構(gòu)建知識(shí)整體框架

幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)的概念圖，形成整體的知識(shí)框架，進(jìn)而促進(jìn)核心素養(yǎng)的形成.本節(jié)課的核心知識(shí)包括線面垂直的定義、判定、性質(zhì)及其應(yīng)用.

所謂溫故而知新，學(xué)生進(jìn)行一輪復(fù)習(xí)，不僅是將原來(lái)學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)溫習(xí)一遍，更重要的是要能夠?qū)⑦@些知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)整理清楚，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，并能在實(shí)際問(wèn)題中自如地加以應(yīng)用.因此，與學(xué)生一起建構(gòu)知識(shí)概念圖(如圖1)是很好的路徑.

圖1

整理概念圖的過(guò)程中，注意自然語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言并舉，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)這3種語(yǔ)言各自的特點(diǎn).一般情況下，在理解題意的階段需要把題目中給出的自然語(yǔ)言或者是符號(hào)語(yǔ)言“翻譯”成圖形語(yǔ)言，然后通過(guò)圖形語(yǔ)言來(lái)分析題目的條件，建立已知與未知的關(guān)聯(lián)，圖形語(yǔ)言更有助于發(fā)現(xiàn)實(shí)際圖形中可作為定理模型使用的基本圖形.當(dāng)頭腦中已經(jīng)建立起了解決問(wèn)題的完整思路時(shí)，就要通過(guò)符號(hào)語(yǔ)言或自然語(yǔ)言來(lái)表達(dá)整個(gè)邏輯推理過(guò)程.以上建構(gòu)知識(shí)概念圖，將數(shù)學(xué)的3種語(yǔ)言融匯成了一體，加深了學(xué)生的理解和記憶，方便學(xué)生應(yīng)用時(shí)進(jìn)行知識(shí)提取.

2.2.2 思想方法線：樹立“模型”意識(shí)，強(qiáng)化“降維”思想

應(yīng)用定理解立體幾何題，首先要樹立“定理”即“模型”的意識(shí)，學(xué)會(huì)從復(fù)雜圖形中分離出定理“模型”.要證明線面、面面垂直，常常需要通過(guò)“降維”處理.

例如，要求學(xué)生在圖形中找出互相垂直的直線和平面，筆者設(shè)計(jì)了以下例題.

例1如圖2，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn).你還能發(fā)現(xiàn)哪些線面垂直關(guān)系?

圖2 圖3

設(shè)計(jì)意圖從較為簡(jiǎn)單的判斷垂直關(guān)系入手，把學(xué)生容易處理的問(wèn)題作為思維切入點(diǎn).例1中的幾何體也是例2圖形的基礎(chǔ)，通過(guò)例1為下面例2中垂直關(guān)系的進(jìn)一步研究作好鋪墊.

例2如圖3，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，E是PC的中點(diǎn)，EF⊥PB，垂足為F，聯(lián)結(jié)DE,DF,BD,BE.

1)求證：PB⊥平面DEF；

2)試判斷：四面體BDEF中有幾個(gè)面是直角三角形，并指出其中的直角；

3)設(shè)M,N分別為AD,PB的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)MN，MC，NC，求證：平面CMN⊥平面PBC.

設(shè)計(jì)意圖例2的3個(gè)小題分別是對(duì)線面垂直、線線垂直、面面垂直的判斷或證明，讓學(xué)生進(jìn)一步掌握線面垂直的判定和性質(zhì)定理模型及其應(yīng)用.

2.2.3 文化線：滲透中華文化，增強(qiáng)民族精神

在例2中有兩個(gè)幾何體我國(guó)很早就有研究，而且它們還擁有自己的名字：一個(gè)是底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，它的名字叫“陽(yáng)馬”；另一個(gè)是四個(gè)面都為直角三角形的四面體叫“鱉臑”.

關(guān)于“陽(yáng)馬”和“鱉臑”，《九章算術(shù)·商功》里是這樣描述的：“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑.陽(yáng)馬居二，鱉臑居一，不易之率也.”

圖4

陽(yáng)馬和鱉臑是我國(guó)古代對(duì)一些特殊幾何體的稱謂，取一個(gè)長(zhǎng)方體，沿它的一個(gè)對(duì)角面一剖為二，如圖4所示，得到兩個(gè)一模一樣的三棱柱，稱為塹堵.

再沿塹堵的一個(gè)頂點(diǎn)與其對(duì)棱所構(gòu)成的平面剖開，如圖5所示，得到一個(gè)四棱錐和一個(gè)三棱錐.以矩形為底，并有一棱與底面垂直的四棱錐，稱為陽(yáng)馬.余下的三棱錐四面都是直角三角形，稱為鱉臑.

圖5

通過(guò)“鱉臑”的引入，了解我國(guó)古代對(duì)立體圖形的研究方向和方法，體會(huì)古代數(shù)學(xué)家對(duì)人類的貢獻(xiàn).下面引入兩道相關(guān)的高考試題，感受幾何體“鱉臑”在現(xiàn)今學(xué)習(xí)垂直關(guān)系時(shí)的意義和價(jià)值.

例3如圖6，在陽(yáng)馬P-ABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，過(guò)棱PC的中點(diǎn)E，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)DE,DF,BD,BE.

1)證明：PB⊥平面DEF.試判斷四面體DBEF是否為鱉臑?若是，寫出其每個(gè)面的直角(只需寫出結(jié)論)；若不是，說(shuō)明理由.

(2015年湖北省數(shù)學(xué)高考理科試題第19題)

圖6 圖7

(2008年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第14題)

分析了解了“鱉臑”的由來(lái)，即可知幾何體“鱉臑”的外接球就是對(duì)應(yīng)長(zhǎng)方體的外接球，外接球O的半徑為長(zhǎng)方體體對(duì)角線長(zhǎng)的一半，體積也就容易求得了.

3 將評(píng)價(jià)作為教學(xué)的一個(gè)環(huán)節(jié)，實(shí)現(xiàn)“教—學(xué)—評(píng)”一致性

3.1 為什么要將評(píng)價(jià)作為教學(xué)決策的依據(jù)

評(píng)價(jià)是一種基于證據(jù)的推理，沒(méi)有評(píng)價(jià)的教學(xué)是一種無(wú)目標(biāo)的教學(xué)[2].泰勒指出：“因?yàn)樵u(píng)價(jià)涉及學(xué)生行為變化的證據(jù)，所以，獲得任何有關(guān)教學(xué)目標(biāo)所期望的行為的有效證據(jù)，都是一種合適的評(píng)價(jià).”[3]因此，如果在課堂中就能夠及時(shí)獲得學(xué)生對(duì)教學(xué)目標(biāo)達(dá)成情況的反饋，教師就不再憑感覺(jué)來(lái)猜測(cè)學(xué)生是否會(huì)了，而是能更準(zhǔn)確地作出判斷，更靈活地調(diào)整自己的教學(xué)行為，保證課堂教學(xué)的有效性.

3.2 依據(jù)目標(biāo)設(shè)置評(píng)價(jià)任務(wù)，實(shí)施目標(biāo)導(dǎo)向的教與學(xué)

所謂評(píng)價(jià)任務(wù)，是指檢測(cè)學(xué)生的學(xué)習(xí)目標(biāo)達(dá)成情況而設(shè)計(jì)的檢測(cè)項(xiàng)目，包括：紙筆測(cè)試、師生問(wèn)答、展示表演、實(shí)驗(yàn)或者調(diào)查報(bào)告、小論文等，可以當(dāng)堂實(shí)施，也可以通過(guò)課后作業(yè)等方式進(jìn)行.根據(jù)本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容和目標(biāo)，筆者設(shè)置了幾個(gè)當(dāng)堂評(píng)價(jià)任務(wù).這樣可以最快得到反饋，課內(nèi)主要的問(wèn)題當(dāng)堂解決，最大程度地保證高三復(fù)習(xí)的效度.

學(xué)生本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)有4個(gè)：

1)理解線面垂直的定義，總結(jié)線面垂直的判定方法和性質(zhì)，形成系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)；

2)樹立數(shù)學(xué)定理即數(shù)學(xué)模型的意識(shí)，能從實(shí)際問(wèn)題情境中找到符合定理模型的基本元素，從而解決問(wèn)題，提高數(shù)學(xué)建模和直觀想象素養(yǎng)；

3)通過(guò)應(yīng)用定理解決實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)等價(jià)轉(zhuǎn)換和“降維”思想，體會(huì)數(shù)學(xué)定理作為一種基本模型的應(yīng)用價(jià)值，提高邏輯推理素養(yǎng)；

4)通過(guò)“鱉臑”的引入，了解我國(guó)古代對(duì)立體圖形的研究方向和方式，體會(huì)古代數(shù)學(xué)家對(duì)人類的貢獻(xiàn).

針對(duì)目標(biāo)1)和目標(biāo)2)，在整理完概念圖后，筆者設(shè)計(jì)了一個(gè)評(píng)價(jià)任務(wù)“在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn).你還能發(fā)現(xiàn)哪些線面垂直關(guān)系”，以此來(lái)檢測(cè)學(xué)生對(duì)線面垂直的判定方法的掌握情況，以及對(duì)定理模型的識(shí)別能力和對(duì)定理的應(yīng)用能力.

針對(duì)目標(biāo)2)，筆者在例2第2)小題之后設(shè)計(jì)了一個(gè)評(píng)價(jià)任務(wù)“我們要如何畫出一個(gè)四面皆為直角三角形的四面體”，此題需要構(gòu)造，相比識(shí)別、證明來(lái)講，對(duì)學(xué)生要求更高，通過(guò)學(xué)生的回答判斷學(xué)生對(duì)幾個(gè)定理模型的掌握情況、直觀想象能力.

針對(duì)目標(biāo)3)，筆者設(shè)計(jì)了例2的第3)小題，這是一個(gè)紙筆測(cè)試任務(wù)，由學(xué)生獨(dú)立完成，以此可以評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)定理模型要素的把握、“降維”思想的運(yùn)用以及邏輯推理能力.

針對(duì)目標(biāo)4)，筆者展示了浙江省數(shù)學(xué)高考試題，并設(shè)置問(wèn)答任務(wù)“由《九章算術(shù)》中幾何體‘鱉臑’的來(lái)歷，你能解決這道高考題嗎”.通過(guò)此題的解決，使學(xué)生感受“鱉臑”幾何體在現(xiàn)今學(xué)習(xí)垂直關(guān)系時(shí)仍時(shí)常作為考查的載體，體會(huì)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值.

這堂課，筆者從數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)出發(fā)，將知識(shí)線、思想方法線、文化線并舉，貫徹“教—學(xué)—評(píng)”一致性，嘗試對(duì)基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育的教學(xué)實(shí)踐.誠(chéng)然，筆者的嘗試還很膚淺，只求拋磚引玉，但我們不懼改變，且思且行……

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)[S].北京：人民教育出版社，2017.

[2] 盧明，崔允漷.教案的革命：基于課程標(biāo)準(zhǔn)的學(xué)歷案[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2016.

[3] 盧明.數(shù)學(xué)教學(xué)要既見“樹木”又見“森林”[N].中國(guó)教育報(bào)，2018-03-07(10).

[4] 泰勒.課程與教學(xué)的基本原理[M].施良方,譯.北京：人民教育出版社，1994.