張卜文

(中煤科工集團(tuán)西安研究院有限公司，西安 710077)

0 引言

在雷達(dá)探測(cè)技術(shù)中，利用目標(biāo)對(duì)電磁波的散射特性實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的識(shí)別問(wèn)題，通常采用時(shí)域有限差分(finite-difference time- domain，F(xiàn)DTD)方法、矩量法、有限元等方法進(jìn)行數(shù)值模擬。

在電磁散射問(wèn)題數(shù)值計(jì)算時(shí)，目標(biāo)的復(fù)雜性直接決定著數(shù)值計(jì)算方法的難易程度。目標(biāo)的復(fù)雜性主要體現(xiàn)在目標(biāo)的外形及結(jié)構(gòu)復(fù)雜、目標(biāo)的材質(zhì)復(fù)雜和目標(biāo)所處的背景復(fù)雜等方面。FDTD方法在處理這些復(fù)雜目標(biāo)的電磁散射時(shí)具有一定的優(yōu)勢(shì)，①對(duì)于外形及結(jié)構(gòu)復(fù)雜的目標(biāo)，F(xiàn)DTD計(jì)算需要變化的僅僅是建模部分，而迭代計(jì)算模塊沒(méi)有任何差異；②對(duì)于材質(zhì)復(fù)雜的目標(biāo)，僅需要對(duì)迭代計(jì)算部分進(jìn)行特殊處理，而吸收邊界、總場(chǎng)-散射場(chǎng)(TF/SF)邊界和外推邊界依然保持不變。在這幾類復(fù)雜目標(biāo)電磁散射特性計(jì)算中，背景復(fù)雜的散射問(wèn)題數(shù)值處理難度則急劇增大。

散射目標(biāo)所處的背景以自由空間最為基礎(chǔ)：吸收邊界截?cái)嗟氖蔷鶆虻淖杂煽臻g，總場(chǎng)-散射場(chǎng)邊界上需要引入的僅僅是沿著單一方向入射的均勻平面波，外推邊界處理的也僅僅是自由空間遠(yuǎn)區(qū)格林(Green)函數(shù)，因此自由空間問(wèn)題FDTD計(jì)算的處理難度相對(duì)最低，目前技術(shù)已經(jīng)十分成熟[1-2]。除此之外，任何復(fù)雜空間內(nèi)電磁散射問(wèn)題的計(jì)算都要涉及三大邊界的特殊處理。相對(duì)較復(fù)雜的背景是半空間，目前采用間接的頻率域三波法已基本解決[3]：要對(duì)兩種介質(zhì)組成的空間進(jìn)行截?cái)嗵幚恚€要考慮均勻平面波在介質(zhì)分界面處的反射和透射，更要特殊處理分界面對(duì)近區(qū)等效電磁流源的輻射場(chǎng)產(chǎn)生的影響。更復(fù)雜的是層狀空間[4-10]，在各層內(nèi)可能存在入射、反射、透射以及多次諧振現(xiàn)象，使得均勻平面波的設(shè)置和遠(yuǎn)區(qū)散射場(chǎng)的計(jì)算更為困難。

因此，筆者對(duì)層狀背景中目標(biāo)電磁散射的FDTD計(jì)算方法進(jìn)行研究，并將該方法用于計(jì)算層狀空間模型的電磁散射場(chǎng)。

1 基本理論

FDTD計(jì)算遠(yuǎn)場(chǎng)散射的基本理論主要是三大邊界的處理。筆者從均勻平面波引入和遠(yuǎn)區(qū)散射場(chǎng)計(jì)算兩方面來(lái)分析，而截?cái)噙吔绮捎镁哂匈Y源消耗少、適用范圍廣、吸收效果好、數(shù)值實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)的卷積完全匹配層(Convolutional perfectly matched layers, CPML)吸收邊界[11]。

1.1 近場(chǎng)區(qū)引入均勻平面波

應(yīng)用如圖 1所示的二維層狀半空間FDTD計(jì)算系統(tǒng)，分以下幾個(gè)步驟引入均勻平面波[7-8]：①用自由空間中沿入射方向(kinc方向)上采用常規(guī)的1D-FDTD計(jì)算模擬初始激勵(lì)源；②用該激勵(lì)源投影到一維修正時(shí)域有限差分(1D-MFDTD)在最上層中的TF/SF邊界處，從而生成垂直向下的單向行波，其中的1D-MFDTD是后面用來(lái)產(chǎn)生二維TF/SF縱向側(cè)邊界上的時(shí)域波形的；③用該單向行波在二維TF/SF橫向邊界的時(shí)間軸上投影并插值，從而確定出二維TF/SF邊界上的時(shí)域波形，并實(shí)現(xiàn)均勻平面波源的引入。

圖1 層狀半空間二維FDTD計(jì)算模型Fig.1 Layered half space two-dimensional FDTD computing model

在方案的實(shí)施中，技術(shù)的關(guān)鍵是在總場(chǎng)-散射場(chǎng)側(cè)邊界上用1D-MFDTD模擬均勻平面波在各層中的反射、透射以及多次諧振的波形。

1D-MFDTD是在離散化一維修正Maxwell方程組后得到的FDTD算法，而帶有入射角度參量(θ)的一維Maxwell方程組就稱為一維修正Maxwell方程組[6]。它在二維Maxwell方程組基礎(chǔ)上的推導(dǎo)過(guò)程如下。

(1)

通過(guò)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)關(guān)系可得式(2)。

(2)

基于該關(guān)系，直角坐標(biāo)系中垂直極化波(TM波)模式的Maxwell方程組可寫為式(3)。

(3)

基于式(3)推導(dǎo)可得到式(4)。

(4)

離散(4)中前兩項(xiàng)即一維修正Maxwell方程組得到1D-MFDTD迭代式，進(jìn)而模擬二維TF/SF側(cè)邊界上各層中的場(chǎng)分量Ez和Hx，并通過(guò)第三項(xiàng)輔助得到Hy，然后在時(shí)間軸上投影并插值得到TF/SF橫邊界上的場(chǎng)[7]，這樣就生成了在二維FDTD計(jì)算中引入均勻平面波所需的所有場(chǎng)分量。

1.2 遠(yuǎn)區(qū)散射場(chǎng)分析

在得到近場(chǎng)數(shù)據(jù)后，為避免出現(xiàn)復(fù)雜的Sommerfeld積分，這里用互易原理得到簡(jiǎn)化的近-遠(yuǎn)場(chǎng)外推計(jì)算過(guò)程[5]。對(duì)于TM波情況，遠(yuǎn)區(qū)散射場(chǎng)可表示為式(5)。

(5)

(6)

為簡(jiǎn)單起見，通常設(shè)置Iφ=1。對(duì)于層狀半空間，最上層媒質(zhì)(編號(hào)“0”)中用式(6)計(jì)算得到遠(yuǎn)區(qū)無(wú)限長(zhǎng)試電流Iφ激發(fā)的入射電場(chǎng)的幅值為Ei，入射方向與y軸夾角(即入射角)θ的余角為φi，則各層中的電磁場(chǎng)分量依次表示為[4]：

(7)

其中：Am和Bm分別為入射和反射波復(fù)振幅；um和vm分別為各層中沿y和x方向的傳播常數(shù)，它們表示為：

vm=γmcosφm=γ0cosφi=v0

(8)

(9)

(10)

在確定不同角度φ時(shí)的Am和Bm[4]后，應(yīng)用式(7)就可得到試電流在層狀空間任意位置處的場(chǎng)，結(jié)合外推邊界上等效電磁流和式(5)，可求得復(fù)雜層狀空間目標(biāo)在遠(yuǎn)區(qū)的雙站電磁散射場(chǎng)。TE模式的分析過(guò)程類似。

2 算例驗(yàn)證及分析

2.1 算例1

計(jì)算半空間目標(biāo)的散射場(chǎng)，來(lái)驗(yàn)證近場(chǎng)區(qū)引入均勻平面波的算法和遠(yuǎn)區(qū)散射場(chǎng)的計(jì)算理論。

圖2 半空間直角劈錐模型Fig.2 Half space rectangular Pizhui model

模型如圖 2所示，其背景是最簡(jiǎn)單的層狀空間，上層為自由空間，下層空間的相對(duì)介電系數(shù)為εr=2.56。在介質(zhì)交界面上放置一無(wú)限長(zhǎng)介質(zhì)劈錐，其相對(duì)介電系數(shù)為εw，劈錐斜面仰角為60°，直角短邊長(zhǎng)為4 m。垂直極化的均勻平面波沿135o角斜入射于介質(zhì)交界面。

此外，還計(jì)算了半空間中存在劈錐(取εw= 2.56)時(shí)近區(qū)場(chǎng)的情況。在相同時(shí)間步時(shí)，近區(qū)入射場(chǎng)與散射場(chǎng)疊加的混合場(chǎng)分布及其在監(jiān)測(cè)點(diǎn)(0,+7.5m)與(0,-7.5m)處的時(shí)域波形分別如圖 5和圖 6所示。我們發(fā)現(xiàn)，由于劈錐的散射作用，使得入射、反射和透射的均勻平面波發(fā)生了畸變，這在監(jiān)測(cè)到的電場(chǎng)時(shí)域波形中也得到體現(xiàn)。從圖 5可以看出，存在劈錐的半空間場(chǎng)值的大小超出了純半空間電場(chǎng)的取值范圍，最小值超出圖 4取值范圍是由于均勻平面波從光疏媒質(zhì)(自由空間)進(jìn)入光密媒質(zhì)(下半空間和劈錐)時(shí)，半空間分界面和劈錐斜面兩次反射疊加造成的；最大取值超出范圍是電磁波從光密媒質(zhì)(劈錐)進(jìn)入光疏媒質(zhì)(自由空間)時(shí)與入射波疊加產(chǎn)生。

圖3 不存在劈錐的半空間近區(qū)電場(chǎng)分布圖Fig.2 There is no Pizhui area near half space electric field distribution

圖4 純半空間中監(jiān)測(cè)點(diǎn)處的電場(chǎng)時(shí)域波形Fig.4 In pure monitoring points in the half space of a time domain waveform

考察遠(yuǎn)場(chǎng)算法，為了與文獻(xiàn)[3]的結(jié)果比較，在TM模式時(shí)定義如下遠(yuǎn)區(qū)散射場(chǎng)：

(11)

圖5 2模型的近區(qū)電場(chǎng)分布圖Fig.5 Near district electric field distribution of the model 2

圖6 2模型中監(jiān)測(cè)點(diǎn)處的電場(chǎng)時(shí)域波形Fig.6 In monitoring points in the model 2 of a time domain waveform

在εw=2.56和εw=5兩種情況下，300 MHz時(shí)的遠(yuǎn)區(qū)散射場(chǎng)計(jì)算結(jié)果如圖7所示。由圖7可以看出，本文結(jié)果與文獻(xiàn)[3]結(jié)果有很好地吻合，這表明筆者計(jì)算遠(yuǎn)區(qū)散射場(chǎng)算法是正確的。

圖7 劈尖遠(yuǎn)區(qū)散射場(chǎng)Fig.7 Split pointed far zone scattering field(a) εw=2.56時(shí)遠(yuǎn)區(qū)散射場(chǎng)；(b) εw=5時(shí)遠(yuǎn)區(qū)散射場(chǎng)

2.2 算例2

計(jì)算并分析有耗多層狀空間中線電流的遠(yuǎn)區(qū)輻射場(chǎng)和目標(biāo)的遠(yuǎn)區(qū)散射場(chǎng)。

在如圖 1所示的模型中，y>0的區(qū)域?yàn)樽杂煽臻g，y<0的區(qū)域包含46層有耗介質(zhì)，其中最下層無(wú)限深，其余每層厚度為0.1 m；中間45層從上至下介質(zhì)的相對(duì)介電系數(shù)在2.0到4.0之間呈線性變化，電導(dǎo)率均為0.001 S/m，最下層的媒質(zhì)參數(shù)與其上面一層媒質(zhì)相同。

在距地面深1.5 m位置處設(shè)置一無(wú)限長(zhǎng)線電流，分別采用本文的FDTD方法和如式(5)所示的解析方法計(jì)算它在上半空間的遠(yuǎn)區(qū)輻射場(chǎng)。在300 MHz時(shí)計(jì)算的遠(yuǎn)區(qū)輻射縱向電場(chǎng)與方位角關(guān)系如圖 8所示，圓圈和實(shí)線分別表示本文FDTD和解析方法結(jié)果，兩者吻合很好，再次證明了遠(yuǎn)場(chǎng)計(jì)算方法的正確性。

圖8 有耗多層空間中線天線遠(yuǎn)區(qū)輻射場(chǎng)Fig.8 Lossy multi-layered space center line antenna far area radiation field

圖9 隧道內(nèi)通有金屬車體的介質(zhì)層模型Fig.9 Tunnel on metal medium layer model of car body

圖10 隧道及有金屬車體時(shí)的遠(yuǎn)區(qū)散射場(chǎng)Fig.10 Tunnel and far zone scattering field of the metal body

如圖 9所示的模型為遠(yuǎn)區(qū)散射場(chǎng)。在介質(zhì)層內(nèi)有一條隧道，上部分幾何形狀為半圓的拱形結(jié)構(gòu)，下部分為矩形，在隧道內(nèi)通有金屬車體。隧道頂部與地面間距為h1=1.0 m，矩形結(jié)構(gòu)的尺寸滿足h2=2.0 m和w=3.0 m；金屬車體尺寸為a=2.2 m，b=2.0 m，輪高h(yuǎn)3=0.3 m，輪距c=1.4 m，輪寬d=0.1 m。垂直極化的均勻平面波沿著-y方向入射。

在300 MHz時(shí)，考慮僅存在隧道、或隧道內(nèi)又存在金屬車體、以及隧道和金屬車體位于無(wú)耗層狀半空間這三種情況，采用式(11)計(jì)算它們的遠(yuǎn)區(qū)散射場(chǎng)，結(jié)果分別如圖 10中實(shí)線、空心圓和實(shí)心方框所示。

由圖9可以看出，由于模型的結(jié)構(gòu)和平面波入射方向的對(duì)稱性，遠(yuǎn)區(qū)散射場(chǎng)沿90°方向上呈對(duì)稱狀態(tài)；由于金屬車體的存在，使得遠(yuǎn)區(qū)散射場(chǎng)快速地增大，說(shuō)明金屬車體對(duì)遠(yuǎn)區(qū)散射場(chǎng)有很大貢獻(xiàn)；在后向方向上的有耗層相對(duì)最薄，導(dǎo)致后向遠(yuǎn)區(qū)散射場(chǎng)最強(qiáng)；并且由于包圍隧道的層狀空間介質(zhì)導(dǎo)電性的差異，使得有耗背景中目標(biāo)相比無(wú)耗中目標(biāo)的散射場(chǎng)要小很多。

3 結(jié)束語(yǔ)

筆者從均勻平面波的添加機(jī)制及用于近-遠(yuǎn)場(chǎng)外推的輸出邊界兩方面入手，分析了層狀背景中目標(biāo)電磁散射特性的FDTD計(jì)算方法。

從近場(chǎng)和遠(yuǎn)場(chǎng)兩方面對(duì)本算法和計(jì)算程序的可靠性進(jìn)行驗(yàn)證。從算例1可以看出，采用本方法得到了很好的近區(qū)均勻平面波分布。此外，用本方法計(jì)算算例1的遠(yuǎn)區(qū)散射場(chǎng)與文獻(xiàn)結(jié)果具有很好的一致性，并且在算例2中用本方法計(jì)算線電流的遠(yuǎn)區(qū)輻射場(chǎng)與用式(5)計(jì)算的解析解結(jié)果也完全吻合。由此可以看出，本算法和程序是正確和有效的。

研究了多層空間中的隧道和隧道內(nèi)通有車體的電磁散射特性。研究得出，隧道內(nèi)的金屬車體對(duì)遠(yuǎn)區(qū)散射場(chǎng)有著很大貢獻(xiàn)，并且有耗的介質(zhì)層對(duì)地下目標(biāo)具有很強(qiáng)的屏蔽能力。

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