劉秋洪, 覃夢(mèng)陽(yáng), 毛義軍, 李 波

(1. 西北工業(yè)大學(xué), 陜西 西安 710072; 2. 西安交通大學(xué), 陜西 西安 710049)

0 引 言

氣動(dòng)噪聲是流體運(yùn)動(dòng)以及流體與結(jié)構(gòu)相互作用產(chǎn)生的。聲波的產(chǎn)生與傳播區(qū)域可分為近場(chǎng)、中場(chǎng)和遠(yuǎn)場(chǎng)三個(gè)區(qū)域，如圖1所示。近場(chǎng)為氣動(dòng)噪聲產(chǎn)生和近場(chǎng)傳播區(qū)域，區(qū)域內(nèi)流動(dòng)為非線性湍流，存在大的速度和壓力梯度，介質(zhì)運(yùn)動(dòng)由可壓縮Navier-Stokes(N-S)方程控制，氣動(dòng)聲源產(chǎn)生的聲波在近場(chǎng)區(qū)域內(nèi)非線性傳播。在中場(chǎng)聲傳播區(qū)域內(nèi)，聲波的幅值呈線性變化，但介質(zhì)非均勻運(yùn)動(dòng)，聲波在中場(chǎng)的傳播可用變系數(shù)對(duì)流波動(dòng)方程描述。遠(yuǎn)場(chǎng)聲傳播區(qū)域內(nèi)，介質(zhì)均勻運(yùn)動(dòng)，聲波的傳播過(guò)程可由常系數(shù)對(duì)流波動(dòng)方程描述。

氣動(dòng)噪聲的數(shù)值預(yù)測(cè)的精度與噪聲產(chǎn)生機(jī)理理論、氣動(dòng)聲源數(shù)值模擬技術(shù)和噪聲傳播預(yù)估方法緊密相關(guān)。近20多年來(lái)，基于CFD技術(shù)的湍流數(shù)值模擬方法發(fā)展迅速，人們對(duì)氣動(dòng)噪聲的產(chǎn)生機(jī)理有了較為深入的認(rèn)識(shí)，聲源的模擬精度也有了大幅提高。由于近場(chǎng)和中場(chǎng)聲傳播介質(zhì)及其聲學(xué)邊界條件的復(fù)雜性，氣動(dòng)噪聲傳播的研究進(jìn)展相對(duì)緩慢。大多數(shù)學(xué)者在對(duì)氣動(dòng)噪聲傳播進(jìn)行數(shù)值預(yù)測(cè)時(shí)，僅考慮氣動(dòng)聲源的直接聲輻射。這種處理對(duì)聲學(xué)緊致結(jié)構(gòu)(聲波波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于結(jié)構(gòu)特征尺寸，聲波可繞過(guò)結(jié)構(gòu)傳播)是合適的，而對(duì)非緊致結(jié)構(gòu)，聲波在向空間輻射的同時(shí)，會(huì)被結(jié)構(gòu)邊界散射。而且，氣動(dòng)聲源往往不滿足緊致條件(聲波波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于聲源區(qū)域特征尺寸)，聲波在傳播過(guò)程中會(huì)因介質(zhì)非均勻運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生折射效應(yīng)。這些散射和折射都會(huì)改變氣動(dòng)噪聲的傳播方式，使得聲場(chǎng)呈現(xiàn)明顯的非緊致聲學(xué)特征。采用緊致氣動(dòng)噪聲傳播的計(jì)算方法難以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)復(fù)雜介質(zhì)中非緊致氣動(dòng)噪聲的傳播。

1 非緊致氣動(dòng)噪聲傳播的理論模型

在聲傳播介質(zhì)均勻的條件下，Lighthill[1]提出的聲比擬理論是描述氣動(dòng)噪聲傳播的第一個(gè)理論模型，其波動(dòng)方程為:

(1)

式中Lighthill應(yīng)力張量為:

其中，ρ′=ρ-ρ0，p′=p-p0。假定式(1)中的右端源項(xiàng)預(yù)先知道，就可利用自由空間格林函數(shù)求解式(1)得到遠(yuǎn)場(chǎng)聲場(chǎng)解，從而解決了均勻無(wú)界空間中氣動(dòng)噪聲的傳播問(wèn)題。之后眾多研究者對(duì)聲比擬理論進(jìn)行了研究與發(fā)展，Curle[2]將Lighthill理論推廣到考慮靜止固體邊界的影響，Lowson[3]研究了自由空間里一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)聲源的聲場(chǎng)特性，F(xiàn)fowcs Williams和Hawkings[4]通過(guò)引入Heaviside函數(shù)考慮了運(yùn)動(dòng)固體邊界的影響，所得FW-H方程是對(duì)Curle 方程的進(jìn)一步拓展。Goldstein[5]基于廣義格林函數(shù)公式得到了一個(gè)具有普遍意義的聲輻射積分方程，可以認(rèn)為是另一種形式的FW-H方程。

在Goldstein、Ffowcs Williams和Hawkings的聲比擬方程中，聲場(chǎng)是由四極子源、偶極子源以及單極子源疊加而成。事實(shí)上，四極子源才是具有物理意義的實(shí)際聲源，偶極子源僅是一種等效聲源[6]，是固體邊界對(duì)四極子源的衍射效應(yīng)。單極子源也是一種等效聲源，表現(xiàn)運(yùn)動(dòng)邊界的速度對(duì)聲散射的影響[7]。在FW-H方程中，體積分項(xiàng)是四極子聲源對(duì)聲場(chǎng)的貢獻(xiàn)，在很多情況下(比如低馬赫數(shù)流動(dòng)產(chǎn)生的噪聲問(wèn)題)這部分貢獻(xiàn)較小且計(jì)算昂貴，因此常常被忽略。Francescantonio[8]和Farassat[9]提出了可滲透邊界FW-H方程，采用虛擬的任意積分面替代實(shí)際的物理邊界，當(dāng)積分邊界完全包括非線性流動(dòng)區(qū)域時(shí)，可以避免對(duì)體積源項(xiàng)進(jìn)行積分處理。這種模型成功應(yīng)用于直升機(jī)轉(zhuǎn)子[10]、槳扇噪聲[11]的預(yù)測(cè)。但湍流經(jīng)過(guò)可滲透積分邊界會(huì)導(dǎo)致非物理的噪聲傳播，因此需要選擇恰當(dāng)?shù)目蓾B透積分面，在提高計(jì)算效率的同時(shí)保證數(shù)值預(yù)測(cè)精度。

FW-H方程在氣動(dòng)噪聲傳播中的應(yīng)用廣泛，但也存在一些不足之處。FW-H方程是基于可壓縮N-S方程的完全恒等變形，理論上要求氣動(dòng)聲源的計(jì)算必須采用低色散、低耗散和各向同性的高階離散格式[12-13]求解N-S方程，以獲得近場(chǎng)和中場(chǎng)流場(chǎng)中微小的聲學(xué)量(包括邊界聲散射量)。在航空領(lǐng)域，流動(dòng)一般采用低階離散精度的有限體積法模擬，難以捕獲近場(chǎng)流場(chǎng)中的聲學(xué)脈動(dòng)。雖然FW-H方程在推導(dǎo)過(guò)程中沒有要求聲學(xué)邊界必須是緊致的，當(dāng)流動(dòng)求解精度不能獲取近場(chǎng)聲學(xué)變量的脈動(dòng)時(shí)，直接應(yīng)用FW-H方程和自由空間格林函數(shù)求解噪聲的傳播會(huì)無(wú)法考慮固體邊界的聲散射。Ffowcs Williams、Hawkings和Goldstein等在采用不同方法推導(dǎo)FW-H方程時(shí)，假設(shè)固體邊界滿足聲學(xué)硬邊界條件(聲波入射到邊界時(shí)發(fā)生全發(fā)射)，不能考慮邊界阻抗對(duì)聲傳播的影響。即便是Farassat等提出的可滲透邊界FW-H方程也僅是采用虛擬邊界求解遠(yuǎn)場(chǎng)噪聲，實(shí)際固體邊界仍然是無(wú)滲透的聲學(xué)硬邊界。對(duì)運(yùn)動(dòng)介質(zhì)中的聲傳播，通常采用均勻運(yùn)動(dòng)介質(zhì)空間的格林函數(shù)求解FW-H方程來(lái)模擬氣動(dòng)噪聲的輻射[14]，而忽略了介質(zhì)非均勻特性對(duì)聲傳播的折射效應(yīng)。

流動(dòng)在聲源區(qū)域通常存在速度梯度，氣動(dòng)聲源產(chǎn)生的聲波在近場(chǎng)傳播時(shí)，起決定性影響的是聲源相對(duì)于緊臨它們周圍(大約一個(gè)波長(zhǎng)左右的范圍)的非均勻平均流的運(yùn)動(dòng)，而不是相對(duì)于無(wú)窮遠(yuǎn)處的均勻介質(zhì)運(yùn)動(dòng)。為了將非均勻平均流的作用包括在Lighthill聲比擬理論中，需要建立一個(gè)恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)介質(zhì)波動(dòng)方程來(lái)描述聲波輻射過(guò)程。Phillips[15]研究了非均勻介質(zhì)中的聲傳播，提出了Phillips方程:

(2)

(3)

其中Ψ表示流體黏性和熵脈動(dòng)的影響，

Phillips、Lilley和Goldstein等人的波動(dòng)方程與Lighthill方程作為連續(xù)方程和動(dòng)量方程的精確結(jié)果彼此之間是相互等價(jià)的，差別主要是對(duì)這些方程中各項(xiàng)的解釋不同。Lighthill方程中，聲場(chǎng)和平均流的對(duì)流和聲折射作用必須通過(guò)調(diào)整源項(xiàng)來(lái)考慮。而源項(xiàng)的調(diào)整只有等到該方程被實(shí)際求解之后才能實(shí)現(xiàn)。在Phillips方程、Lilley方程和Goldstein方程中，聲場(chǎng)和平均流的對(duì)流和聲折射作用在某種程度上從源項(xiàng)移到了波動(dòng)算子中，從而可以作為解的一部分來(lái)計(jì)算。平均流速度的變化發(fā)生在由非線性方程控制的聲源區(qū)附近，難以在物理上將平均流與聲場(chǎng)的相互作用從發(fā)聲過(guò)程本身中分離出來(lái)，甚至難以確定該區(qū)域內(nèi)非定常的哪一部分與聲場(chǎng)真的相關(guān)。盡管如此，Phillips方程、Lilley方程和Goldstein方程確實(shí)能夠預(yù)測(cè)Lighthill方程所沒有考慮的某些近場(chǎng)聲學(xué)特性。把對(duì)流與聲折射效應(yīng)包含在波動(dòng)算子中所付出的代價(jià)是方程求解的復(fù)雜度大大增加。

2 非緊致氣動(dòng)噪聲傳播的預(yù)估方法

氣動(dòng)噪聲傳播的定量預(yù)估是眾多學(xué)者關(guān)注但又十分棘手的物理問(wèn)題。工程中的氣動(dòng)噪聲往往是非均勻流動(dòng)與固體相互作用產(chǎn)生，準(zhǔn)確預(yù)測(cè)噪聲的傳播需要考慮非緊致固體邊界的聲散射。20世紀(jì)90年代之前，對(duì)非緊致邊界散射氣動(dòng)噪聲的研究主要集中在理論研究階段。近20年來(lái)CFD技術(shù)飛速發(fā)展，在科研和工程領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用，為氣動(dòng)聲學(xué)數(shù)值方法的發(fā)展提供了有利的條件。依據(jù)對(duì)聲學(xué)近場(chǎng)的不同處理方式，氣動(dòng)噪聲傳播的數(shù)值方法可分為計(jì)算氣動(dòng)聲學(xué)(Computational Aeroacoustics, CAA)和混合計(jì)算氣動(dòng)聲學(xué)(Hybrid Computational Aeroacoustics, HCAA)兩種方法。前者采用數(shù)值方法求解微分方程得到聲學(xué)變量，后者則采用數(shù)值方法求解積分方程得到聲學(xué)變量。

2.1 理論分析方法

非緊致邊界對(duì)氣動(dòng)噪聲傳播的散射研究最先從理論研究開始。眾多學(xué)者分析了不同幾何尺度的邊界對(duì)氣動(dòng)噪聲傳播的影響。Curle[2]的研究表明當(dāng)固體邊界的特征尺寸小于聲波的波長(zhǎng)時(shí)，邊界散射等效為緊致偶極子源輻射，邊界散射將增強(qiáng)聲波輻射強(qiáng)度，其強(qiáng)度由典型的四極子“I∝U8定律”[1]轉(zhuǎn)變?yōu)镮∝U6。Powell[26]對(duì)無(wú)窮大平板邊界進(jìn)行研究，平板邊界對(duì)聲波的散射表現(xiàn)為純粹的反射作用，等效于四極子聲源的鏡像分布，“I∝U8定律”仍然適用。Ffcows Williams和Hall[27]研究了0厚度的半無(wú)窮大平板聲散射，結(jié)果顯示尾緣散射增強(qiáng)了四極子聲源的輻射，并表現(xiàn)出I∝U5特征。Crighton[28]進(jìn)一步對(duì)尖劈的聲散射進(jìn)行研究，分析表明當(dāng)邊界的幾何尺寸和聲波的波長(zhǎng)相當(dāng)時(shí)，I∝U4+2q/p，其中(p/q)π為尖劈的角度。Davies[29]分析了球體對(duì)不同類型聲源的散射影響，結(jié)果表明聲學(xué)緊致硬球體邊界對(duì)任意類型聲波的散射體現(xiàn)出偶極子特征，當(dāng)球體結(jié)構(gòu)趨近無(wú)窮大時(shí)得到和Powell相同的結(jié)論。理論研究使得邊界散射對(duì)氣動(dòng)噪聲傳播的影響逐漸明晰，但是其局限性是只能針對(duì)簡(jiǎn)單幾何結(jié)構(gòu)的邊界進(jìn)行定性分析。

2.2 CAA方法

噪聲在傳播過(guò)程中產(chǎn)生頻散和耗散都很小，與流動(dòng)引起的參數(shù)波動(dòng)相比，聲學(xué)波動(dòng)量在數(shù)量級(jí)上要小得多，因此計(jì)算過(guò)程中采用的數(shù)值方法本身必須具有非常低的數(shù)值頻散和耗散，從而確保聲波在介質(zhì)中的正確傳播。另一方面，數(shù)值模擬總在一定的區(qū)域范圍內(nèi)進(jìn)行，為保證聲波在計(jì)算區(qū)域的開放邊界上能無(wú)反射的正確傳播，就需要采用恰當(dāng)?shù)臒o(wú)反射邊界條件。因此高精度時(shí)空離散格式[30-31]和無(wú)反射邊界條件[32-33]是CAA方法的核心問(wèn)題。

根據(jù)微分方程性質(zhì)的不同，CAA方法又分為兩種。一是直接采用高精度時(shí)空離散格式和無(wú)反射邊界條件對(duì)N-S方程進(jìn)行數(shù)值求解(Direct Numerical Simulation, DNS)，從而同時(shí)得到近場(chǎng)和中場(chǎng)的流場(chǎng)解和聲場(chǎng)解[34-35]。另一種方法首先采用湍流模型和低精度時(shí)空離散格式求解N-S方程得到平均流信息和聲源數(shù)據(jù)，然后利用線化Euler方程(Linear Euler Equation, LEE)[36,37]求解聲波的傳播。CAA方法的優(yōu)點(diǎn)是能夠同時(shí)考慮非緊致邊界的聲散射和非均勻介質(zhì)的聲折射與對(duì)流效應(yīng)，缺點(diǎn)是需要消耗大量的計(jì)算資源。CAA方法多應(yīng)用于近場(chǎng)和中場(chǎng)的聲學(xué)求解，聲學(xué)遠(yuǎn)場(chǎng)的求解一般采用HCAA方法。

近年來(lái)，高階精度時(shí)空離散格式的流動(dòng)模擬技術(shù)得到了快速發(fā)展，如高精度有限差分方法[38]、間斷有限元方法[39-40]、譜體積方法[41]和譜差分方法[42]等，有效推動(dòng)了CAA的應(yīng)用。文獻(xiàn)[43]主要介紹了hp型譜元方法的最新進(jìn)展及其在流動(dòng)動(dòng)力學(xué)中的應(yīng)用。文獻(xiàn)[44]對(duì)中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心近年來(lái)在高精度流動(dòng)數(shù)值模擬方面的研究工作進(jìn)行了總結(jié)。李曉東等[45]圍繞高精度時(shí)空離散格式和無(wú)反射邊界條件對(duì)CAA早期進(jìn)展及應(yīng)用情況進(jìn)行了綜述，詳細(xì)討論了近年來(lái)CAA技術(shù)的研究熱點(diǎn)，包括非線性無(wú)反射邊界條件、非均勻步長(zhǎng)時(shí)間推進(jìn)方法、適用于復(fù)雜幾何邊界的空間離散方法以及寬頻時(shí)域阻抗邊界條件，認(rèn)為先進(jìn)的湍流模擬技術(shù)、精確的人工邊界條件、基于平均流的CAA預(yù)測(cè)方法和高效的并行計(jì)算方法是未來(lái)CAA需要重點(diǎn)研究的方向。

2.3 HCAA方法

HCAA是迄今為止工程應(yīng)用中最受歡迎的氣動(dòng)噪聲分析方法[46]。該方法先采用湍流模型和低精度時(shí)空離散格式求解N-S方程獲得氣動(dòng)聲源信息，然后利用Kirchhoff方法[47]、聲比擬理論[1-5]或渦聲理論[20,21]求解聲傳播。Kirchhoff方法由線性波動(dòng)方程推導(dǎo)得到，對(duì)積分面位置十分敏感，嚴(yán)格要求積分面完全包括非線性流動(dòng)區(qū)域。渦聲理論能從物理上清晰地解釋流體運(yùn)動(dòng)誘發(fā)氣動(dòng)噪聲的機(jī)理，認(rèn)為渦是流動(dòng)發(fā)聲的根本原因。為了準(zhǔn)確地捕捉渦結(jié)構(gòu)需要較為精細(xì)的網(wǎng)格，而且渦聲理論多應(yīng)用于低馬赫數(shù)流動(dòng)產(chǎn)生的氣動(dòng)噪聲問(wèn)題。聲比擬理論對(duì)網(wǎng)格尺度和積分面的選擇沒有太多限制，在預(yù)測(cè)低馬赫數(shù)流動(dòng)的噪聲時(shí)可忽略體積分，僅需計(jì)算物面積分即可獲得遠(yuǎn)場(chǎng)噪聲，因而成為目前工程上應(yīng)用最廣泛的聲傳播預(yù)估方法[48]。

直接應(yīng)用FW-H方程和自由空間格林函數(shù)預(yù)測(cè)非緊致邊界與流動(dòng)相互作用誘發(fā)的氣動(dòng)噪聲，需要采用高階時(shí)空離散格式求解N-S方程，以獲得流場(chǎng)中微小的聲學(xué)脈動(dòng)量，比如Gloerfelt[49]等對(duì)亞聲速方腔流動(dòng)噪聲的數(shù)值預(yù)測(cè)。采用有限體積法模擬流場(chǎng)難以捕獲準(zhǔn)確流場(chǎng)中微小的聲學(xué)脈動(dòng)，需要在聲傳播計(jì)算的過(guò)程中進(jìn)一步考慮非緊致結(jié)構(gòu)對(duì)聲波的散射作用。近十年來(lái)，眾多學(xué)者對(duì)此開展了多種計(jì)算方法研究，主要包括有限元法、邊界元法、和精確格林函數(shù)法。

2.3.1 有限元法

基于Lighthill波動(dòng)方程變分形式的有限元法能模擬聲波從近場(chǎng)到遠(yuǎn)場(chǎng)的傳播過(guò)程，能考慮非緊致結(jié)構(gòu)的聲散射和非均勻介質(zhì)的聲折射。Oberai[50-51]在給定物理空間內(nèi)構(gòu)造了以聲壓為未知變量的變分表達(dá)式，結(jié)合有限元方法研究了低馬赫數(shù)流動(dòng)的翼型尾緣噪聲。Ali等[52]采用有限元方法求解Lighthill聲比擬方程并研究方形柱體的時(shí)域噪聲。Link等[53]采用有限元方法研究了二維流體、固體和聲波相互接觸系統(tǒng)中的噪聲傳播問(wèn)題。但有限元法也面臨一些CAA方法中遇到的難題，比如：對(duì)外部聲學(xué)問(wèn)題的開放邊界，需要采用無(wú)反射邊界條件以滿足遠(yuǎn)場(chǎng)聲輻射的Sommerfeld聲學(xué)邊界條件；需要離散整個(gè)求解域，從而限制了遠(yuǎn)場(chǎng)噪聲的求解。

2.3.2 邊界元法

邊界元方法適用于均勻介質(zhì)中的聲傳播，該方法僅需離散非緊致邊界，相比于有限元方法具有更高的計(jì)算精度和效率，因而被廣泛地用于氣動(dòng)噪聲的數(shù)值預(yù)測(cè)。Monoha等[54]采用Lighthill聲比擬方程和邊界元方法對(duì)鈍體繞流的氣動(dòng)噪聲數(shù)值進(jìn)行計(jì)算。Ostertag[55]采用RANS方法計(jì)算機(jī)翼的流動(dòng)，后結(jié)合邊界元數(shù)值計(jì)算機(jī)翼尾緣噪聲。Khalighi[56]基于邊界積分方法發(fā)展了一種可以考慮任意結(jié)構(gòu)氣動(dòng)噪聲的積分計(jì)算方法，并對(duì)低馬赫數(shù)鈍體繞流氣動(dòng)噪聲進(jìn)行了數(shù)值預(yù)測(cè)。Schram[57]將流場(chǎng)壓力脈動(dòng)分解為流體運(yùn)動(dòng)脈動(dòng)分量和聲學(xué)擾動(dòng)脈動(dòng)分量，并利用邊界積分方法計(jì)算非緊致結(jié)構(gòu)氣動(dòng)噪聲，但邊界積分方程的推導(dǎo)過(guò)程存在錯(cuò)誤之處；毛義軍[7]改進(jìn)了Schram的邊界積分方法。遺憾的是，Schram、毛義軍及Khalighi的研究工作都是基于流體不可壓縮的前提開展的，忽略了流體的可壓縮性對(duì)聲場(chǎng)的影響。王芳[58]等進(jìn)一步將密度的脈動(dòng)分解為流體運(yùn)動(dòng)脈動(dòng)分量和聲學(xué)擾動(dòng)脈動(dòng)分量，建立了一種能應(yīng)用于可壓縮流動(dòng)的氣動(dòng)噪聲積分方法。

復(fù)雜結(jié)構(gòu)表面往往存在尖角或者凹形區(qū)域，采用邊界元方法計(jì)算聲散射存在固體角函數(shù)計(jì)算不準(zhǔn)確、邊界積分具有奇異性等數(shù)值問(wèn)題。采用加密網(wǎng)格單元的方法可以避免這些數(shù)值誤差而提高聲散射的計(jì)算精度，卻導(dǎo)致計(jì)算效率的下降。提高計(jì)算效率的一種辦法就是采用光滑的可滲透積分邊界代替物面邊界，比如：Pilon等[59]基于Kirchhoff積分方法和FW-H方程對(duì)氣動(dòng)噪聲進(jìn)行計(jì)算，Orselli[60]采用可滲透邊界FW-H方程數(shù)值模擬圓柱繞流氣動(dòng)噪聲，Gloerfert等[49]利用可滲透邊界開展了二維方腔流動(dòng)噪聲數(shù)值預(yù)測(cè)。這些研究工作表明可滲透邊界可以簡(jiǎn)化氣動(dòng)噪聲數(shù)值計(jì)算的復(fù)雜度，但對(duì)流場(chǎng)的計(jì)算精度提出了更高的要求。另一種提高計(jì)算效率的方法是快速多極邊界元方法?？焖俣鄻O方法[61]對(duì)積分核函數(shù)引入多極擴(kuò)展，將源點(diǎn)和場(chǎng)點(diǎn)分離，用節(jié)點(diǎn)集之間相互作用取代節(jié)點(diǎn)之間一對(duì)一計(jì)算，使計(jì)算量和存儲(chǔ)量大幅減少。Wolf[62-64]結(jié)合快速多極邊界元方法和FW-H方程，數(shù)值計(jì)算了圓柱、翼型和機(jī)翼繞流的氣動(dòng)噪聲。

由于非緊致邊界對(duì)不同頻率聲波的散射效果不同，頻域下氣動(dòng)噪聲傳播的預(yù)測(cè)一般采用單頻計(jì)算，需要消耗大量計(jì)算時(shí)間。對(duì)多頻計(jì)算問(wèn)題，Kirkup[65]提出了一種級(jí)數(shù)展開方法，Li[66]和Wang[67]等利用這種級(jí)數(shù)展開方法進(jìn)行了噪聲計(jì)算，毛義軍等[68]改進(jìn)了級(jí)數(shù)展開方法，進(jìn)一步提高了計(jì)算效率。

2.3.3 精確格林函數(shù)法

如果將非緊致邊界的聲散射和非均勻運(yùn)動(dòng)介質(zhì)的聲折射計(jì)入格林函數(shù)，那么就可以直接采用該格林函數(shù)求解聲比擬方程。這種滿足聲學(xué)邊界條件的格林函數(shù)稱為精確格林函數(shù)。規(guī)則空間的精確格林函數(shù)可通過(guò)理論解析法獲得，F(xiàn)fcows Williams和Hall[27]、Crighton[28]、Davies[29]等對(duì)半無(wú)窮大平板、尖劈和球的聲散射等問(wèn)題推導(dǎo)了精確格林函數(shù)的解析解。此外，Howe[69]采格林函數(shù)研究了翼型聲散射的解析解，Gloerfelt等[6]基于自由空間格林函數(shù)級(jí)數(shù)解[70-71]推導(dǎo)了剛性邊界條件下的圓柱散射格林函數(shù)精確解，Moreau[72-73]對(duì)簡(jiǎn)化機(jī)翼的平板模型等規(guī)則結(jié)構(gòu)構(gòu)造了格林函數(shù)的理論解等。

任意空間的精確格林函數(shù)則需采用數(shù)值方法求解。Hu和Jones[74-76]采用譜邊界元方法計(jì)算精確格林函數(shù)；然后基于函數(shù)逼近理論，采用切比雪夫多項(xiàng)式和時(shí)域基函數(shù)分別構(gòu)造了頻域和時(shí)域格林函數(shù)的積分解，并將其應(yīng)用于氣動(dòng)噪聲的數(shù)值預(yù)測(cè)。Venditti等[77]采用譜邊界元方法計(jì)算精確格林函數(shù)數(shù)值解，并結(jié)合Kirchhoff方程對(duì)風(fēng)扇噪聲進(jìn)行了研究。Takaishi等[78]則基于聲學(xué)互易定理采用邊界元方法計(jì)算精確格林函數(shù)，結(jié)合渦聲理論對(duì)圓柱繞流噪聲進(jìn)行計(jì)算。Bonamy[79]借助于光學(xué)中的Huygens原理計(jì)算精確格林函數(shù)，以此對(duì)固體與流動(dòng)相互作用的氣動(dòng)噪聲進(jìn)行研究。在國(guó)內(nèi)，劉秋洪等[80]和李曉東[14]等對(duì)精確格林函數(shù)的數(shù)值計(jì)算方法均有研究。采用精確格林函數(shù)研究非均勻運(yùn)動(dòng)介質(zhì)中的聲傳播相對(duì)較少，Karabasov等[81-82]采用伴隨格林函數(shù)對(duì)射流噪聲在非均勻介質(zhì)中的傳播進(jìn)行過(guò)研究，但沒有考慮固體邊界的聲散射。

在采用邊界元法計(jì)算精確格林函數(shù)時(shí)，對(duì)位于邊界層內(nèi)的聲源需要特殊處理。對(duì)如圖3所示的聲散射問(wèn)題，假定介質(zhì)均勻靜止，固體邊界為聲學(xué)硬邊界。傳統(tǒng)邊界元方法的計(jì)算頻域精確格林函數(shù)G(x,y,ω)的公式為:

G(x,y,ω)=Gk(x,y,ω)+

(4)

式中Gk(x,y,ω)為頻域自由空間格林函數(shù)，ω為圓頻率。如果聲源點(diǎn)y與某網(wǎng)格單元z的距離遠(yuǎn)小于該網(wǎng)格單元的尺度時(shí)，Gk(z,y,ω)不能做常數(shù)處理，即網(wǎng)格單元不再是常單元，此時(shí)需要加密網(wǎng)格以提高計(jì)算精度。

根據(jù)互易定理，精確格林函數(shù)還可以采用下式計(jì)算:

G(x,y,ω)=Gk(x,y,ω)+

(5)

但當(dāng)y→z時(shí)Gk(z,y,ω)仍不能做常數(shù)處理，使得積分存在強(qiáng)近似奇異性。利用Laplace方程的頻域基本解G0(z,y)可將上式改寫為:

G(x,y,ω)=Gk(x,y,ω)+

(6)

其中Gk-0(z,y,ω)=Gk(z,y,ω)-G0(z,y)。式(6)中右端第一個(gè)積分項(xiàng)將變?yōu)槿踅破娈愋?，可直接采用Gauss積分方法計(jì)算，而右端第二個(gè)積分項(xiàng)可借助于解析的方法進(jìn)行積分，從而避免網(wǎng)格加密問(wèn)題。

2.3.4 半空間邊界的聲散射

飛行器在起飛、降落或者低空飛行階段，產(chǎn)生聲波到達(dá)地面時(shí)會(huì)被地面散射?？蓪⒌孛婧?jiǎn)化為半空間邊界，與直接聲輻射相比，半空間邊界的散射不容忽視。如果直接采用基于自由空間格林函數(shù)的邊界元方法求解半空間硬邊界的聲散射，為保證計(jì)算精度，半空間邊界的離散需要大量的網(wǎng)格[83]，導(dǎo)致計(jì)算效率低下。采用基于鏡像源方法的半空間格林函數(shù)可有效降低計(jì)算量[84]。Mille[85]和劉秋洪等[86]采用半空間格林函數(shù)和FW-H方程分別研究半空間射流噪聲和圓柱繞流噪聲，但沒有考慮非均勻介質(zhì)的聲折射和半空間邊界的阻抗特性。

對(duì)具有阻抗特性的半空間邊界聲散射，工程中常用Weyl-van der Pol公式[87]分析聲傳播，但是該公式僅僅是一個(gè)近似的處理方法。Ochmann[88]借助Sommerfeld的復(fù)等效源方法,采用構(gòu)造了半空間阻抗邊界條件下的格林函數(shù)積分解，Wu等[89]將其方法應(yīng)用到快速多級(jí)邊界元方法中。但Ochmann的方法針對(duì)的仍然是均勻靜止介質(zhì)中的聲傳播問(wèn)題，且尚未見其應(yīng)用于氣動(dòng)噪聲的研究。到目前為止，同時(shí)考慮阻抗地面聲散射、半空間中非緊致阻抗邊界聲散射和非均勻介質(zhì)聲折射的氣動(dòng)噪聲傳播計(jì)算方法還亟待進(jìn)一步研究。

3 總結(jié)與展望

HCAA方法在氣動(dòng)噪聲預(yù)測(cè)中應(yīng)用廣泛，國(guó)內(nèi)外對(duì)氣動(dòng)噪聲產(chǎn)生機(jī)理和氣動(dòng)聲源數(shù)值模擬的研究取得了巨大進(jìn)步，但對(duì)噪聲在復(fù)雜介質(zhì)中的傳播機(jī)制研究不夠深入，現(xiàn)有理論模型和數(shù)值方法不能實(shí)現(xiàn)氣動(dòng)噪聲傳播的定量預(yù)測(cè)，嚴(yán)重阻礙了HCAA方法在工程中的應(yīng)用。問(wèn)題主要體現(xiàn)在：聲學(xué)阻抗邊界在氣動(dòng)噪聲問(wèn)題中廣泛存在，F(xiàn)W-H方程在推導(dǎo)過(guò)程中假設(shè)固體邊界滿足聲學(xué)無(wú)滲透邊界條件，不能考慮阻抗邊界對(duì)聲傳播的散射作用；工程領(lǐng)域的氣動(dòng)噪聲問(wèn)題具有相對(duì)較寬的頻率范圍，盡管快速多極邊界元方法計(jì)算效率高，但仍不滿足多頻氣動(dòng)噪聲的計(jì)算需求；對(duì)非均勻介質(zhì)中的聲傳播，一般難以獲得用于求解對(duì)流波動(dòng)方程的格林函數(shù)的解析解，Tam的伴隨格林函數(shù)模型盡管具有計(jì)算量小的優(yōu)點(diǎn)，但目前僅應(yīng)用于固體邊界不起主要作用的氣動(dòng)噪聲傳播問(wèn)題；對(duì)半空間中的氣動(dòng)噪聲傳播，一般假設(shè)半空間邊界為聲學(xué)硬邊界，忽略了半空間邊界阻抗特性的影響，更沒有考慮非均勻阻抗特性對(duì)聲傳播的作用。

為提高氣動(dòng)噪聲傳播的數(shù)值預(yù)測(cè)精度，就必須對(duì)氣動(dòng)噪聲在復(fù)雜介質(zhì)中的傳播問(wèn)題進(jìn)行深入研究。可從以下幾個(gè)方面入手開展研究工作：對(duì)可滲透固體邊界施加阻抗邊界條件，重新推導(dǎo)類似FW-H方程的積分方程；將多頻級(jí)數(shù)展開方法引入快速多極邊界元，建立更高效的快速多極邊界元方法；采用高階時(shí)空離散格式和無(wú)反射邊界條件求解滿足線化N-S方程的格林函數(shù)波動(dòng)方程，研究非均勻運(yùn)動(dòng)介質(zhì)空間的聲傳播；利用Ochmann提出的半空間格林函數(shù)構(gòu)造方法，重新構(gòu)建邊界積分方程，研究半空間邊界非均勻阻抗特性對(duì)聲傳播的影響；從湍流模型、無(wú)反射邊界條件和高精度離散格式等各方面入手大力發(fā)展CAA方法。

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