謝榮燕

(河海大學(xué)商學(xué)院，江蘇 南京 211100)

0 引 言

股市市場的波動率建模與預(yù)測長期以來是經(jīng)濟學(xué)領(lǐng)域眾多學(xué)者研究的重要課題。1980年以來，在波動率建模與預(yù)測研究中，通常應(yīng)用基于低頻數(shù)據(jù)的SV模型和GARCH模型來處理波動率建模與預(yù)測。1988年，Andersen和Bollerslev[1]使用非參數(shù)建模方法，提出了高頻數(shù)據(jù)的波動率的度量方法。此后，Andersen等人[2-3]利用波動率的市場異質(zhì)性和長記憶性，建立了HAR-RV模型。2010年，在已實現(xiàn)的波動率研究的基礎(chǔ)上，文獻[4]在GARCH模型和SV模型中加入已實現(xiàn)波動率作為其額外的解釋變量，使用SPA檢驗進行評估，極大提高了模型的預(yù)測能力。

隨著人工智能技術(shù)的發(fā)展，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在各領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛。文獻[5]提出了一種基于小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(WNN)預(yù)測模型，能夠在短期內(nèi)準確地預(yù)測風(fēng)力發(fā)電，并適用于一年四季。文獻[6]應(yīng)用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測經(jīng)濟增長趨勢。文獻[7]利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對轉(zhuǎn)型國家的GDP增長進行10年的預(yù)測。文獻[8]使用遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對經(jīng)濟波動率進行了預(yù)測建模。文獻[9]利用具有個體用戶特征參數(shù)的非線性混合效應(yīng)模型預(yù)測每日燃氣需求量。文獻[10]介紹了加拿大居民住宅能耗建模的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(MLP)，并進行了條件需求分析和工程方法的比較。文獻[11]提出一種基于多個經(jīng)濟指標的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對韓國能源需求進行預(yù)測。文獻[12]提出一種利用Cobbe Douglas函數(shù)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動態(tài)計量模型進行孟加拉的天然氣需求的年度預(yù)測。有關(guān)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在金融經(jīng)濟領(lǐng)域的研究可參考文獻[13-17]。

基于前人的研究基礎(chǔ)，本文提出一種新型馬爾可夫交換人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，用于黃金市場的波動率建模和預(yù)測。

1 模型基礎(chǔ)

馬爾可夫交換模型在測試過程有一個特性，可以在資產(chǎn)價格內(nèi)觀察到波動的平穩(wěn)性和轉(zhuǎn)換過程。因此，本文結(jié)合馬爾可夫交換(MS)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型技術(shù)，使傳統(tǒng)的ARMA-GARCH模型的預(yù)測精度得到更進一步的提高。在本文中，非線性的馬爾可夫交換神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)簡稱為MS-ARMA-GARCH-MLP模型，具體定義如下：

(1)

(2)

其中，i=1,…,m是不可觀察的馬爾可夫模型中不同的regimes。

(3)

(4)

(5)

式(3)～式(5)為模型數(shù)據(jù)的過濾概率式。如果轉(zhuǎn)換概率P(st=i|st-1=j)被接受，則有：

(6)

當(dāng)s→max {p,q}，遞歸程序由構(gòu)造P(zs=i|zs-1)開始，其中，ψ(ztλh)是1/(1+exp (-x))形式的邏輯激活函數(shù)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的權(quán)重向量為ξ=w;ψ=g，輸入向量被定義為ztλh=xi。如果轉(zhuǎn)換概率P(zt=i|zt-1=j)被接受，則有：

f(yt|xt,zt=i)

(7)

同理，當(dāng)s→max {p,q}，遞歸程序由構(gòu)造P(zs=i|zs-1)開始。式(2)給定的模型可以改良為馬爾可夫交換APGARCH模型，簡稱MS-ARMA-APGARCH-MLP模型，定義為：

(8)

其中，t=1,…,m是不可觀察的馬爾可夫模型的regimes，式(3)通過式(9)定義改進人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型MS-ARMA-APGARCH-MLP，其激活函數(shù)為ψ(ztλh)。如果δ=2和γk=0，MS-ARMA-APGARCH-MLP模型就變成了MS-ARMA-GARCH-MLP模型。類似地，如果γk=0，模型就變成MS-ARMA-GARCH-MLP模型，而當(dāng)δ=2和0γk1，則變成MSGJRGARCH-MLP模型。當(dāng)δ=1和0γk1，則該模型就變成了MSTAGRCH-MLP模型。MS-ARMA-FIAPGARCH模型是MS-ARMA-FIAPGARCH-MLP的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的增廣模型，該模型的條件方差定義為：

=-(1-φ(st)L)(1-L)d(st)(|εn-1,st|-γk,(st)εn-1,st)δ(st)+

(9)

其中，激活函數(shù)h為sigmoid形式的神經(jīng)元，式(9)定義了MS-ARMA-FIAPGARCH-MLP模型，該模型是MSAGARCH-MLP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的變體，激活函數(shù)定義為ψ(ztλh)。類似地，當(dāng)δ(st)=2和γk,(st)=0，該模型就轉(zhuǎn)化為MSFIGARCH-MLP模型。當(dāng)δ(st)=2和0γk,(st)1，該模型轉(zhuǎn)化為MSFIGJRGARCH-MLP模型。當(dāng)δ(st)=1和0γk,(st)1，該模型即為MSTGARCH-MLP模型。

此外，該模型可以表示分數(shù)階積分參數(shù)限制下的短時記憶的特點。當(dāng)通過把d(st)=0轉(zhuǎn)接到分數(shù)階積分參數(shù)，式(10)則轉(zhuǎn)化為MS-ARMA-APGARCH-MLP模型。一個典型例子，考慮如下MS-ARMA-APGARCH-MLP模型：

= -(1-φ(1)L)(1-L)d(1)(|εn-1|-γk,(1)εn-1)δ(1)+

= -(1-φ(2)L)(1-L)d(2)(|εn-1|-γk,(2)εn-1)δ(2)+

(10)

隨著馬爾科夫回歸空間的分裂，模型允許有2個不同的動力項δ(1)和δ(2)以及2個不同的分數(shù)階積分參數(shù)。因此，在2個不同的制度下，允許有不同的長期記憶和不對稱的動力結(jié)構(gòu)。當(dāng)t=1時，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)NN-FIAPGARCH模型定義為：

= ((1-βL)-(1-φL)(1-L)d)(|εn-1|-γk,(1)εn-1)δ+

(11)

如果t=1和δ(s1)=δ=2，則有：

= ((1-βL)-(1-φL)(1-L)d)(|εn-1|-γk,(1)εn-1)2+

2 經(jīng)濟數(shù)據(jù)仿真

為了驗證上述模型的預(yù)測性能，本文進行了相應(yīng)的仿真實驗。在中國黃金的回報是以收盤價格計算，為了獲得收益數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)計算如下：y=ln (Pt/Pt-1)。其中l(wèi)n (·)是自然對數(shù)，是股票收益的度量標準。在數(shù)據(jù)訓(xùn)練的過程中，樣本分成訓(xùn)練集、測試集和樣本外的數(shù)據(jù)集3個部分，各占比例為80%、10%、10%。

在表1中，對躍遷矩陣和MS模型進行了計算，Regime1和Regime2的標準偏差值分別為0.05287、0.014572。在Regime1中，其持續(xù)了大約75.87個月，在Regime2中，其持續(xù)了大約107.61個月。采用最大似然法，MS-GARCH模型假設(shè)其誤差隨Student-t分布。因此，在MS-GARCH模型估算中，假設(shè)必須符合t分布。該模型的轉(zhuǎn)變概率的計算為P(st=1|st-1=1)=0.5，結(jié)果顯示，該模型的持久性較低。

表1 傳統(tǒng)經(jīng)濟學(xué)預(yù)測方法

1.MS-GARCHarchgarchsigmaconstantlogLRMSERegime10.03351(0.005)***0.563870.966483(0.01307)***0.4361240.000333727(1.916e-006)***0.00043566.23008e-005(1.360e-005)***6.29344e-005Regime2(0.0098)***(0.01307)***(1.231e-005)***(1.161e-005)***385.090.458912.MS-APGARCHarchgarchsigmaconstantlogLRMSERegime10.383241(0.0102)***0.02010.616759(0.0130)***0.7919500.000679791(5.68E-006)***0.00123818.13394e-005(2.007e-005)***8.20782e-005Regime2(0.0201)***(0.01307)***(3.41e-004)***(1.835e-005)***1756.50.421113.MS-FIAPGARCHarchgarchd-figarchAparchlogLRMSERegime10.277721(0.00)***0.3093850.67848(0.00)***0.6806150.2761233(0.0266)***0.1815420.220157(0.0106)***0.21083Regime2(0.002)***(0.0001)***(0.00005)***(0.0299)***1877.90.42220

另一方面，值得關(guān)注的是，通過改進轉(zhuǎn)移概率到regime轉(zhuǎn)換的條件波動性建模，其所期望的結(jié)果并沒有得到。MS-GARCH模型通過MLP、RBF和RNN模型進行結(jié)合擴展使用，下面測試其建模性能。

在MS-GARCH-NN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型研究中，模型的計算是利用反向傳播算法和相對于平方損失函數(shù)聚集的參數(shù)更新；反之，則使用權(quán)重與權(quán)重衰減迭代的計算方法來實現(xiàn)最低的預(yù)測錯誤。MS-GARCH-NN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的訓(xùn)練樣本的MSE和RMSE值的比較如表2所示。

表2 MS-GARCH-NN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練樣本結(jié)果

模型組1:MS-GARCH-neural network modelsMSERMSEMS-GARCH-MLP0.0346657160.186187315MS-APGARCH-MLP0.02691934639050.16307033647800MS-FIGARCH-MLP0.021134803751440.167786263651MS-FIAPGARCH-MLP0.031221803751440.176696262682

在表3中，有4種不同模型下訓(xùn)練樣本的MSE和RMSE值，如模型MS-APGARCH-MLP、MS-FIGARCH-MLP、MS-FIAPGARCH-MLP。接下來，4種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型下的測試樣本的結(jié)果如表3所示。

表3 MS-GARCH-NN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)測試樣本結(jié)果

模型組1:MS-GARCH-neural network modelsMSERMSEMS-GARCH-MLP0.0153333780.123828017MS-APGARCH-MLP0.0000000133337910.0001154898313MS-FIGARCH-MLP0.0000000139225650.0001345775142MS-FIAPGARCH-MLP0.00000001389430.00011787886146

表4 樣本外數(shù)據(jù)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測結(jié)果

模型組1:MS-GARCH-neural network modelsMSERMSEMS-GARCH0.2105990.458911(2nd)MS-GARCH-MLP0.0153333780.12382807(1st)模型組2: MS-APGARCH- neural network modelsMS-APGARCH0.17740.421110(2nd)MS-APGARCH-MLP0.000000013337910.00011548986313(1st)模型組3:MS-FIAPGARCH-neural network modelsMS-FIAPGARCH0.178140.4222066(2nd)MS-FIAPGARCH-MLP0.000000013895430.000011787886146(1st)

值得注意的是，從MS-GARCH-NN模型到MS-APGARCH-NN和MS-FIGARCH-MLP模型的分數(shù)階積分整合過程中，MS、GARCH和ANN的混合模型的收益值有相對大的浮動，更不容忽視的一點就是，為了使結(jié)果更加精確，除了對訓(xùn)練樣本進行改進，測試樣本和樣本外的抽樣數(shù)據(jù)的選取也同樣重要。在表3的測試樣本結(jié)果中，第一個模型的測試結(jié)果為RMSE=0.1238，而其值最小的為MS-APGARCH-MLP模型，為RMSE=0.00011548。由此可見，從MS-GARCH-MLP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)到MS-APGARCH-MLP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，其預(yù)測能力得到了極大提高。

樣本外的數(shù)據(jù)預(yù)測結(jié)果如表4所示。在表4中，可以看到，相比傳統(tǒng)經(jīng)濟學(xué)上的MS-GARCH、MS-APGARCH、MS-FIAPGARCH模型的預(yù)測，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測更為精確，預(yù)測性能得到極大的提高。在模型組1中，MS-GARCH-MLP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相對于傳統(tǒng)的MS-GARCH的預(yù)測性能提升不大，但在MS-APGARCH-MLP和MS-FIAPGARCH-MLP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，其MSE和RMSE值的級數(shù)遠遠小于傳統(tǒng)的MS-APGARCH和MS-FIAPGARCH的預(yù)測值，即其預(yù)測誤差遠遠小于傳統(tǒng)經(jīng)濟預(yù)測方法，因此，應(yīng)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來解決黃金市場的波動率建模與收益預(yù)測更具有現(xiàn)實的應(yīng)用價值。

3 結(jié)束語

本文對4類馬爾可夫交換增廣神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的波動率建模和黃金收益預(yù)測進行了討論，并從黃金股市的股票指數(shù)的絕對誤差(MAE)、均方誤差(MSE)和均方根誤差(RMSE)數(shù)據(jù)進行了仿真分析，表明了本文算法的有效性。在經(jīng)濟市場的波動率建模和預(yù)測研究方向，本文從傳統(tǒng)的MS-GARCH預(yù)測模型，推廣到結(jié)合MLP、RBF和ARR的MS-APGARCH-MLP和MS-FIAPGARCH-MLP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，為今后神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在經(jīng)濟方向的研究提供了重要的參考。

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