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(蚌埠學院理學院，安徽 蚌埠 233000)

0 引 言

經(jīng)典Ornstein-Uhlenbeck 過程(以下簡稱O-U過程)的特點是經(jīng)一段時間的演化后會回歸到長期均衡水平，這個特點被人們稱為均值回復.正因為這個特點使得O-U過程在物理、金融等領域有著廣泛的應用[1-2]. 近些年來，關于O-U過程漂移項未知參數(shù)的統(tǒng)計推斷問題已被很多學者深入研究[3-8]. 這些文獻大多假定O-U過程帶有常數(shù)回歸水平且過程是遍歷的。然而，實際問題中有些數(shù)據(jù)含有季節(jié)因素或長期趨勢，此時僅帶有常數(shù)均值水平的O-U過程就不能用來擬合這些數(shù)據(jù)了. 因此，Bishwal[9]，Dehling等人[10]， Franke和Kott[11]考慮一類推廣的O-U過程，其漂移項帶有時間函數(shù).本文要研究的正是這類均值回復過程，還進一步假定漂移項中的時間函數(shù)是周期函數(shù)，并稱此類均值回復過程為周期均值回復過程. 到目前為止，國內(nèi)外關于周期均值回復過程的統(tǒng)計推斷的研究文獻非常少，Dehling等人在文獻[10]中構造了一個周期均值回復過程未知參數(shù)的極大似然估計量，并證明了該極大似然估計量具有強相合性和漸近正態(tài)性.基于連續(xù)樣本軌道，本文構造了一類周期均值回復過程未知參數(shù)的最小二乘估計量，該估計量與文[10]中極大似然估計量相比，構造時無需附加一些條件.還論證了此最小二乘估計量具有強相合性；估計誤差的漸近分布研究是隨機微分方程參數(shù)估計問題的一大難點，借助一個中心極限定理[14-15]證明了估計誤差的漸近正態(tài)性，該證明比文獻[10]中的證明簡單.

1 最小二乘估計量構造

假設(Ω,F,Ρ)是一個完備的概率空間，B是定義在該空間上的標準布朗運動.主要考慮一類周期均值回復過程{Xt,t≥0}滿足如下的隨機微分方程：

dXt=(F(t)-βXt)dt+dBt,t≥0

(1)

為了估計方程(1)中的未知參數(shù)，需對方程(1)作如下假設：

(A1)設L(θ,t,Xt)=F(t)-βXt，L(θ,t,Xt)滿足全局Lipschitz條件和線性增長條件.

(A2)設θ0=(α1,α2,…,αm,β)*，α1,α2,…,αm,β是參數(shù)的真實值.

(A3)設f1(t),f2(t),…fm(t)在實數(shù)集R的緊區(qū)間上是有界的.

(A4)設f1(t),f2(t),…fm(t)具有同周期l的周期函數(shù)，即fi(t+l)=fi(t).

其中假設(A2)中的(·)*表示一個向量的轉(zhuǎn)置.

為了計算的方便，假定樣本數(shù)據(jù)的觀測時間長度T是周期l的整數(shù)倍即T=Nl,N是整數(shù).而且不失一般性，令周期l等于1. 接下來，在上述假設基礎上來構造方程(1)中未知參數(shù)的最小二乘估計量并討論其相關的統(tǒng)計性質(zhì).

設隨機過程{Xt,t≥0}在[0,T]上能被連續(xù)觀測，引入下面的比較函數(shù)：

(2)

(3)

其中

上面的線性方程組可簡寫成：

因條件(A4)和(A5)成立，則GT=TIm. 再由線性方程組求解知

命題1.1得證.

注1.1 一般情況下，矩陣PT不一定是可逆的，但當觀測時間T足夠大時PT是可逆的.并且矩陣PT的逆可通過分塊矩陣求逆的方法得到，詳細求逆過程可參見文獻[10].矩陣PT的逆可表達為:

2 最小二乘估計量的強相合性及漸近正態(tài)性證明

Xt=e-βtx0+g(t)+Z(t)

(4)

其中

(5)

引理2.1[10]定義在C[0,1]上的隨機變量序列

(6)

是平穩(wěn)的、遍歷的.

引理2.2[10]當t→∞，則有

(7)

現(xiàn)應用方程(1),可將式(3)重寫可得到命題2.1.

命題2.1 如果{Xt,0≤t≤T}的樣本軌道能被連續(xù)觀測，且條件(A4)和(A5)成立，則有

(8)

證明： 事實上，根據(jù)方程(1)知

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則有

和

那么矩陣QT可寫成：

其中

命題2.1得證.

命題2.2 如果{Xt,0≤t≤T}的樣本軌道能被連續(xù)觀測且條件(A4)和(A5)成立，則當T→∞.

對于,命題2.2的證明，需應用一個多重隨機積分中心定理即引理2.3，這個引理的詳細證明參見文獻[14]或[15].

引理2.3 設Ip(fT),T≥0是一列p(p≥2)階重積分，滿足

則下面兩個斷言等價：

(ⅰ)當T→∞時，Ip(fT)依分布收斂于N(0,σ2).

命題2.2的證明：因為

由式(4)知，

(9)

式 (9)等號的右邊第一項將依概率收斂于0，因為當T趨向于無窮大時，

式(9)等號的右邊第二項是一個正態(tài)隨機變量，其均值為0，方差等于

根據(jù)文獻[12]的定理9.2.8，得到

另外，由注2.2知

至此，命題2.2得證.

定理1.2的證明：根據(jù)命題2.1知

3 結 論

針對一類周期均值回復過程的參數(shù)估計問題，假定樣本軌道是連續(xù)觀測的，構造了漂移項中未知參數(shù)的最小二乘估計量并討論了該估計量的統(tǒng)計性質(zhì)，研究表明該最小二乘估計量具有強相合性和漸近正態(tài)性.

參考文獻:

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