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(隴南師范高等專科學(xué)校數(shù)信學(xué)院，甘肅 成縣 742500)

0 引 言

Lifting模和Extending模是對偶概念,在環(huán)模理論中起著非常重要的作用,近年來引起了許多作者的研究([1][2][3]),文獻(xiàn)[4]證明了如下結(jié)論:環(huán)R是右noetherian環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每Extending模的局部直和因子是直和因子.文中得到了與之相對偶的結(jié)論, 證明了左完全(半完全)環(huán)上的任意(有限生成)左R-模的局部直和因子是余閉的.進(jìn)而,得到了左(或右)artinian環(huán)上Lifting模的局部直和因子是直和因子.

1 本文引理

引理1[1]環(huán)R是左完全(半完全)環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)任意(有限生成)投射左R-模是Lifting模.

引理3[3]任意投射Lifting模的直和因子是直和因子.

圖1

2 主要結(jié)論

f(Pi+∑j∈FPj)=Mi⊕(∑j∈F⊕Mj)<⊕M

故存在M的直和因子Y,使得M=Mi⊕(∑j∈F⊕Mj)⊕Y.而由P是Lifting模知,存在P的直和因子Q,使得Q≤cf-1(Y),于是f(Q)=Y.從而

P=Pi+∑j∈FPj+Q+kerf=Pi+∑j∈FPj+Q

又因?yàn)閒(Pi∩(∑j∈FPj+Q))=0,所以Pi∩(∑j∈FPj+Q)?kerf<

同理可證Q∩(Pi+∑j∈FPj)<

P=Pi⊕∑j∈FPj⊕Q.從而∑⊕IPi是P的局部直和因子.所以f-1(∑⊕IMi)=∑⊕IPi是P的局部直和因子.

定理5 設(shè)R是左完全(半完全)環(huán), 則任意(有限生成)左R-模的局部直和因子是余閉的.

∑⊕IMi=f(∑⊕IPi)≤cM

于是有P=h(N)+kerf=h(N)，即h是滿同態(tài),從而可證P是有限生成的.

由定理5,易得出下面結(jié)論.

推論6 設(shè)R是左完全(半完全)環(huán), 則任意(有限生成) Lifting左R-模的局部直和因子是直和因子.

推論7 設(shè)R是左或右artinian環(huán), 則任意提升左R-模的局部直和因子是直和因子.

推論8 設(shè)R是半素環(huán),則任意左R-模的局部直和因子是余閉的.

參考文獻(xiàn):

[1] Mohamed Yousif,Ismail Amin,Yasser Ibrahim. D3-Modules[J]. Comm. Algebra, 2014,(42):578-592.

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[4] Okado，M. On the decomposition of extending modules[J]. Math.Japonica,1984,(29):939-941.

[5] Yosuke Kuratomi,Chaehoon Chang.Lifting modules over right perfect rings[J]. Comm.Algebra, 2007,(35):3103-3109.

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