(北京航空航天大學(xué)計算機(jī)學(xué)院 ,北京 100083)

0 引 言

折疊與伸展已成為家具設(shè)計行業(yè)普遍應(yīng)用的一個基本設(shè)計理念，具有折疊結(jié)構(gòu)的家具因其運(yùn)輸、存儲方便，節(jié)約空間，富有個性而滲透到家居行列中[1,2].韓佳成在2012年介紹了由荷蘭設(shè)計師 Robert van Embriqs 設(shè)計的一款折疊桌[3]，使用時可折疊支立在地面(如圖1所示[4])，不用時可展開為一個矩形平板(如圖2所示[4])。

圖1 折疊桌實(shí)物圖

圖2 折疊桌折疊演示圖

這種折疊桌的主體結(jié)構(gòu)是若干條被截斷的可折疊等長木條，每根木條被截斷成三段，截斷處通過合頁連接，以實(shí)現(xiàn)折疊.所有木條通過兩跟鋼筋串連到一起，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上.其余木條必須開有一定長度的空槽以保證折疊時鋼筋滑動的自由度(見圖3).

圖3 桌腿開槽形狀

這種折疊桌雖然結(jié)構(gòu)簡單，但是由于其形成過程是從一個平面結(jié)構(gòu)向一個三維造型的折疊過程，所以其有關(guān)參數(shù)的設(shè)計尤為重要. 文獻(xiàn)[6]和[7]給出了桌面為圓形的折疊桌動態(tài)折疊的數(shù)學(xué)模型，并利用Matlab進(jìn)行了模擬.

研究的重點(diǎn)是建立折疊桌面邊緣為任意凸函數(shù)的折疊桌動態(tài)折疊過程的一般數(shù)學(xué)模型，并利用Maple[8]軟件進(jìn)行折疊過程仿真模擬.通過仿真模擬，分析各個參數(shù)對折疊桌的影響.在此基礎(chǔ)上，建立相關(guān)加工參數(shù)的計算公式.

1 折疊桌折疊過程的數(shù)學(xué)模型

1.1 主要參數(shù)的符號及說明

所涉及的折疊桌參數(shù)包括桌子高度(不包括木板厚度，用H表示)、桌子寬度(用D表示)、桌面形狀(可用一個凸曲線方程y=f(x)表示其一側(cè)邊緣曲線)、最大折疊角度(即最外側(cè)桌腿與水平方向的夾角，用θ表示).材料參數(shù)包括木條長度(用L表示)、木條寬度(用w表示)及木條厚度(用v表示).用n表示木條個數(shù).加工參數(shù)的名稱、符號、意義見表1：

表1 折疊桌加工參數(shù)表

上述的提及的形狀參數(shù)、材料參數(shù)及加工參數(shù)都稱為設(shè)計參數(shù)，這些參數(shù)的意義也可在圖4中體現(xiàn)出來.

圖4 主要設(shè)計參數(shù)示意圖

這類折疊桌的設(shè)計主要是針對以上的設(shè)計參數(shù)進(jìn)行選定和優(yōu)化計算，使得產(chǎn)品輕便美觀、折疊靈活、支立穩(wěn)當(dāng)、加工方便、用材最少.特別是折疊角度θ、鋼筋位置參數(shù)c及槽孔長度參數(shù)ci對折疊桌的整體效果起著至關(guān)重要的作用，而且這些參數(shù)之間互相關(guān)聯(lián)，所以必須建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計和仿真.

1.2 折疊桌的數(shù)學(xué)模型

首先建立坐標(biāo)系：以地面為xOy面，以木條構(gòu)成的平板平放地面時的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以與木條平行的方向為y軸，向上方向為z軸方向建立直角坐標(biāo)系(如圖5所示).

圖5 坐標(biāo)系

木板在提升折疊過程中，著地的木條端點(diǎn)不一定總是第1個和第n個木條的4個端點(diǎn).為建模方便，在折疊過程中我們總設(shè)第1個和第n個木條對應(yīng)的4個桌腳(即木條端點(diǎn))位于地面(即xOy面)，這樣，其它木條的端點(diǎn)就有可能伸到xOy面以下，從而這些點(diǎn)的豎坐標(biāo)就有可能為負(fù)值，當(dāng)折疊角度達(dá)到一定程度時，就只有最外側(cè)(即第1個和第n個木條)的4個桌腳著地，其他木條端點(diǎn)懸空，從而才能使桌子放穩(wěn).

不失一般性，假設(shè)桌面的形狀是由凸曲線y=f(x)(f(x)≥0)，y=-f(x)及木板最外側(cè)兩根木條所在直線圍成的對稱圖形.由前述符號可知桌面寬度為nw，記

(1)

即a等于桌面寬度的二分之一.令li表示第i根木條對應(yīng)的桌腿長度，則

(2)

這里，木條的序號是從x軸負(fù)半軸距離原點(diǎn)最遠(yuǎn)處的木條開始算起.從而所需木條的長度L為

L=2r1+2l1.

(3)

b=r1+l1

(4)

顯然應(yīng)有r1

為便于動態(tài)仿真模擬，引入一個動態(tài)控制變量h來表示折疊過程中桌面離開地面的高度，顯然0≤h≤H.

下面針對任意h∈[0,H]，建立每個木條對應(yīng)的桌面線段和桌腿線段的方程.

對于第i個木條，其折疊后形成的折線記為AiBiCiDi，其中Ai、Di為該木條的底面中線端點(diǎn)，Bi、Ci為兩個截斷面底線中點(diǎn)，位于桌面底面邊緣.鋼筋穿過桌腿AiBi和CiDi的兩個點(diǎn)分別記為Ni和Mi. 由于AiBiCiDi所在的平面平行于yOz坐標(biāo)面，故Ai、Bi、Ci、Di4個點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為

xi=-a+(i-0.5)w

(5)

從而Bi,Ci兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

Bixi，-f(xi)，h，Cixi，f(xi),h

(6)

因此BiCi的參數(shù)方程為

(7)

其中，xi由式(5)確定.

由于鋼筋垂直yOz面，故對所有i(1≤i≤n)，Mi都具有相同的縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)，設(shè)這兩個數(shù)分別為y0和z0，由對稱性，所有Ni的縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)分別為-y0和z0.

由前述假設(shè)，A1、D1、An、Dn總是在地面上，故它們的豎坐標(biāo)總是為0.

這時，點(diǎn)Ni與N1的投影點(diǎn)重合，記為N，點(diǎn)Mi與M1的投影點(diǎn)重合，記為M，則N和M的坐標(biāo)分別為N(0,-y0,z0)和M(0,y0,z0).

因此，M點(diǎn)的縱坐標(biāo)y0和豎坐標(biāo)z0的表達(dá)式為

注意到點(diǎn)M與Mi具有相同的縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)，所以Mi的坐標(biāo)為

從而結(jié)合式式(6)，可得DiCi所在直線的方向向量為

(8)

又注意到Di點(diǎn)到Ci點(diǎn)的距離即為第i個木條對應(yīng)的一條桌腿長，從而有

故得

代入(8)式，便得Di的坐標(biāo)為

(9)

其中

根據(jù)對稱性，Ai的坐標(biāo)為

(10)

從而可得桌腿AiBi和CiDi的方程分別為

(11)

(12)

至此，式(7)，(11)和(12)就是當(dāng)折疊高度為h時，每個木條折疊后的所形成的空間造型的數(shù)學(xué)模型.

圖6 第i個木條與第1個木條在yOz面上的投影

2 折疊桌的動態(tài)仿真模擬及關(guān)鍵參數(shù)分析

2.1 設(shè)計參數(shù)的初步分析

模型中，參數(shù)r1，l1，a及b都是間接參數(shù)，通過式(1)，(2)，(3)和(4)獲得，而這些表達(dá)式中，需要給定形狀參數(shù)H，θ，材料參數(shù)w，n，其中H是想要折疊桌的高度，可根據(jù)不同的需要確定，一般在40 cm到70 cm之間選取.θ反應(yīng)折疊程度，若θ太小，則桌腳容易在地面打滑，使桌面平攤到地面，而且由式(1)和(3)可知，需要的木條長度L也變大，造成材料浪費(fèi)；但θ太大(比如接近90度)，則桌子腳距太小，使得桌子頭重腳輕，容易翻倒.一般選取θ時，最好使桌面邊緣在地面的投影剛好落在四個桌腳上.另外，若地面很光滑，則盡可能取接近90度的值，若地面較粗糙，則可適當(dāng)減小，一般選取70-80度為宜.木條寬度w可根據(jù)需要的桌面寬度選取，但不宜太寬，因為太寬會使開槽難度增加，而且影響美觀，一般以2 cm到5 cm為宜.木條個數(shù)n由桌子寬度決定.y=f(x)反映了桌面的形狀，要求為光滑的凸曲線，比如半圓，橢圓等.鋼筋位置參數(shù)c是影響桌子折疊效果和其它加工參數(shù)最主要的因素，在以下的仿真模擬中將進(jìn)一步討論.

2.2 折疊過程仿真模擬及關(guān)鍵參數(shù)分析

采用Maple 軟件編程,得到針對以上參數(shù)的折疊桌動態(tài)折疊過程三維效果圖(如圖7所示).

再次，在圖7中，對位置參數(shù)k分別取0.3、 0.4、0.5、0.6、0.7和0.8，而讓其它參數(shù)保持不變，通過編程得到如圖9所示的仿真模擬效果圖.

由圖9可以看出，當(dāng)k太小(k<0.3)時，折疊的部分桌腿會碰到一起，在實(shí)際中無法實(shí)現(xiàn)充分折疊，同時美觀性也較差；而當(dāng)k太大(k>0.7)時，鋼筋會露在有些桌腳下面，這意味著這些桌腿開槽時桌腳一端也要開槽，在實(shí)際中這些桌腿將移出鋼筋，從而整個木條將無法固定，這是不允許的.同時，k越大，開槽長度也越大，增加了加工難度.因此，k的選取應(yīng)該使鋼筋位置在外側(cè)桌腿的中部為宜，即最好取k=0.5.

圖7 折疊桌折疊過程三維效果圖

a 橢圓型 b 操場型

3 折疊桌的加工參數(shù)計算

在折疊桌的所有參數(shù)中，有些是根據(jù)實(shí)際需要事先選定的，諸如桌子高度H、寬度D、木條寬度w、厚度v等，有些要根據(jù)實(shí)際情況和經(jīng)驗取定值，比如折疊角度θ和鋼筋位置參數(shù)k(如前所述).當(dāng)這些參數(shù)的值取定后，其它參數(shù)就要通過模型進(jìn)行計算.

其次，需確定每根木條的截斷位置.對于第i個木條，其截斷點(diǎn)Bi和Ci距離木條中心的距離實(shí)際就是ri，即該木條位于桌面部分長度的2倍，從而計算式為

(13)

再次，需確定鋼筋位置參數(shù)c.如前所述，c=kl1，l1由式(2)計算，一般取k=0.5.

最后，需確定每根木條的開槽長度.對于第i個木條，鋼筋的初始位置(即整個木板平鋪時鋼筋穿過該木條的位置)距離該木條中心的距離為c，折疊后鋼筋位于Mi和Ni點(diǎn)，對應(yīng)于投影點(diǎn)M和N(如圖4所示)，所以可得在第i個木條上的開槽長度為

注意到

故有

(14)

特別的，當(dāng)i=1時，由于r1=f(x1)，故由上式易得c1=0；當(dāng)i=n時，由于r1=rn=f(xn)，也可得cn=0.

圖9 不同鋼筋位置參數(shù)的折疊桌模擬圖

木條序號12345678910ri7.80613.17016.53618.99820.87922.32623.41924.20624.71724.969ci0.0004.3587.66510.37012.59514.39715.80816.84917.53617.878

圖10是根據(jù)上述數(shù)據(jù)繪制的加工參數(shù)示意圖，其中，Bi和Ci是截斷點(diǎn)，開槽的地方用陰影表示，不同木條開槽長度不同.

圖10 截斷位置和開槽長度示意圖

4 結(jié) 論

建立了一種折疊桌折疊過程的一般性數(shù)學(xué)模型，通過編程仿真模擬驗證模型的正確性，同時也說明仿真模擬程序的正確性和可行性.同時通過仿真模擬的直觀性來討論各個設(shè)計參數(shù)的可行性，可為進(jìn)一步產(chǎn)品設(shè)計提供較好的理論參考.

在研究中，重點(diǎn)考慮了模型建立的仿真模擬，對關(guān)鍵參數(shù)之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系和最優(yōu)設(shè)計未做深入討論，特別是折疊角度對穩(wěn)定性的影響以及鋼筋位置參數(shù)的最優(yōu)設(shè)計還需做進(jìn)一步理論分析.

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