(北京航空航天大學(xué)計算機學(xué)院 ,北京 100083)
折疊與伸展已成為家具設(shè)計行業(yè)普遍應(yīng)用的一個基本設(shè)計理念,具有折疊結(jié)構(gòu)的家具因其運輸、存儲方便,節(jié)約空間,富有個性而滲透到家居行列中[1,2].韓佳成在2012年介紹了由荷蘭設(shè)計師 Robert van Embriqs 設(shè)計的一款折疊桌[3],使用時可折疊支立在地面(如圖1所示[4]),不用時可展開為一個矩形平板(如圖2所示[4])。
圖1 折疊桌實物圖
圖2 折疊桌折疊演示圖
這種折疊桌的主體結(jié)構(gòu)是若干條被截斷的可折疊等長木條,每根木條被截斷成三段,截斷處通過合頁連接,以實現(xiàn)折疊.所有木條通過兩跟鋼筋串連到一起,鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上.其余木條必須開有一定長度的空槽以保證折疊時鋼筋滑動的自由度(見圖3).
圖3 桌腿開槽形狀
這種折疊桌雖然結(jié)構(gòu)簡單,但是由于其形成過程是從一個平面結(jié)構(gòu)向一個三維造型的折疊過程,所以其有關(guān)參數(shù)的設(shè)計尤為重要. 文獻[6]和[7]給出了桌面為圓形的折疊桌動態(tài)折疊的數(shù)學(xué)模型,并利用Matlab進行了模擬.
研究的重點是建立折疊桌面邊緣為任意凸函數(shù)的折疊桌動態(tài)折疊過程的一般數(shù)學(xué)模型,并利用Maple[8]軟件進行折疊過程仿真模擬.通過仿真模擬,分析各個參數(shù)對折疊桌的影響.在此基礎(chǔ)上,建立相關(guān)加工參數(shù)的計算公式.
所涉及的折疊桌參數(shù)包括桌子高度(不包括木板厚度,用H表示)、桌子寬度(用D表示)、桌面形狀(可用一個凸曲線方程y=f(x)表示其一側(cè)邊緣曲線)、最大折疊角度(即最外側(cè)桌腿與水平方向的夾角,用θ表示).材料參數(shù)包括木條長度(用L表示)、木條寬度(用w表示)及木條厚度(用v表示).用n表示木條個數(shù).加工參數(shù)的名稱、符號、意義見表1:
表1 折疊桌加工參數(shù)表
上述的提及的形狀參數(shù)、材料參數(shù)及加工參數(shù)都稱為設(shè)計參數(shù),這些參數(shù)的意義也可在圖4中體現(xiàn)出來.
圖4 主要設(shè)計參數(shù)示意圖
這類折疊桌的設(shè)計主要是針對以上的設(shè)計參數(shù)進行選定和優(yōu)化計算,使得產(chǎn)品輕便美觀、折疊靈活、支立穩(wěn)當(dāng)、加工方便、用材最少.特別是折疊角度θ、鋼筋位置參數(shù)c及槽孔長度參數(shù)ci對折疊桌的整體效果起著至關(guān)重要的作用,而且這些參數(shù)之間互相關(guān)聯(lián),所以必須建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,進行優(yōu)化設(shè)計和仿真.
首先建立坐標(biāo)系:以地面為xOy面,以木條構(gòu)成的平板平放地面時的中心為坐標(biāo)原點,以與木條平行的方向為y軸,向上方向為z軸方向建立直角坐標(biāo)系(如圖5所示).
圖5 坐標(biāo)系
木板在提升折疊過程中,著地的木條端點不一定總是第1個和第n個木條的4個端點.為建模方便,在折疊過程中我們總設(shè)第1個和第n個木條對應(yīng)的4個桌腳(即木條端點)位于地面(即xOy面),這樣,其它木條的端點就有可能伸到xOy面以下,從而這些點的豎坐標(biāo)就有可能為負(fù)值,當(dāng)折疊角度達到一定程度時,就只有最外側(cè)(即第1個和第n個木條)的4個桌腳著地,其他木條端點懸空,從而才能使桌子放穩(wěn).
不失一般性,假設(shè)桌面的形狀是由凸曲線y=f(x)(f(x)≥0),y=-f(x)及木板最外側(cè)兩根木條所在直線圍成的對稱圖形.由前述符號可知桌面寬度為nw,記
(1)
即a等于桌面寬度的二分之一.令li表示第i根木條對應(yīng)的桌腿長度,則
(2)
這里,木條的序號是從x軸負(fù)半軸距離原點最遠處的木條開始算起.從而所需木條的長度L為
L=2r1+2l1.
(3)
b=r1+l1
(4)
顯然應(yīng)有r1 為便于動態(tài)仿真模擬,引入一個動態(tài)控制變量h來表示折疊過程中桌面離開地面的高度,顯然0≤h≤H. 下面針對任意h∈[0,H],建立每個木條對應(yīng)的桌面線段和桌腿線段的方程. 對于第i個木條,其折疊后形成的折線記為AiBiCiDi,其中Ai、Di為該木條的底面中線端點,Bi、Ci為兩個截斷面底線中點,位于桌面底面邊緣.鋼筋穿過桌腿AiBi和CiDi的兩個點分別記為Ni和Mi. 由于AiBiCiDi所在的平面平行于yOz坐標(biāo)面,故Ai、Bi、Ci、Di4個點的橫坐標(biāo)均為 xi=-a+(i-0.5)w (5) 從而Bi,Ci兩點的坐標(biāo)分別為 Bixi,-f(xi),h,Cixi,f(xi),h (6) 因此BiCi的參數(shù)方程為 (7) 其中,xi由式(5)確定. 由于鋼筋垂直yOz面,故對所有i(1≤i≤n),Mi都具有相同的縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo),設(shè)這兩個數(shù)分別為y0和z0,由對稱性,所有Ni的縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)分別為-y0和z0. 由前述假設(shè),A1、D1、An、Dn總是在地面上,故它們的豎坐標(biāo)總是為0. 這時,點Ni與N1的投影點重合,記為N,點Mi與M1的投影點重合,記為M,則N和M的坐標(biāo)分別為N(0,-y0,z0)和M(0,y0,z0). 因此,M點的縱坐標(biāo)y0和豎坐標(biāo)z0的表達式為 注意到點M與Mi具有相同的縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo),所以Mi的坐標(biāo)為 從而結(jié)合式式(6),可得DiCi所在直線的方向向量為 (8) 又注意到Di點到Ci點的距離即為第i個木條對應(yīng)的一條桌腿長,從而有 故得 代入(8)式,便得Di的坐標(biāo)為 (9) 其中 根據(jù)對稱性,Ai的坐標(biāo)為 (10) 從而可得桌腿AiBi和CiDi的方程分別為 (11) (12) 至此,式(7),(11)和(12)就是當(dāng)折疊高度為h時,每個木條折疊后的所形成的空間造型的數(shù)學(xué)模型. 圖6 第i個木條與第1個木條在yOz面上的投影 模型中,參數(shù)r1,l1,a及b都是間接參數(shù),通過式(1),(2),(3)和(4)獲得,而這些表達式中,需要給定形狀參數(shù)H,θ,材料參數(shù)w,n,其中H是想要折疊桌的高度,可根據(jù)不同的需要確定,一般在40 cm到70 cm之間選取.θ反應(yīng)折疊程度,若θ太小,則桌腳容易在地面打滑,使桌面平攤到地面,而且由式(1)和(3)可知,需要的木條長度L也變大,造成材料浪費;但θ太大(比如接近90度),則桌子腳距太小,使得桌子頭重腳輕,容易翻倒.一般選取θ時,最好使桌面邊緣在地面的投影剛好落在四個桌腳上.另外,若地面很光滑,則盡可能取接近90度的值,若地面較粗糙,則可適當(dāng)減小,一般選取70-80度為宜.木條寬度w可根據(jù)需要的桌面寬度選取,但不宜太寬,因為太寬會使開槽難度增加,而且影響美觀,一般以2 cm到5 cm為宜.木條個數(shù)n由桌子寬度決定.y=f(x)反映了桌面的形狀,要求為光滑的凸曲線,比如半圓,橢圓等.鋼筋位置參數(shù)c是影響桌子折疊效果和其它加工參數(shù)最主要的因素,在以下的仿真模擬中將進一步討論. 采用Maple 軟件編程,得到針對以上參數(shù)的折疊桌動態(tài)折疊過程三維效果圖(如圖7所示). 再次,在圖7中,對位置參數(shù)k分別取0.3、 0.4、0.5、0.6、0.7和0.8,而讓其它參數(shù)保持不變,通過編程得到如圖9所示的仿真模擬效果圖. 由圖9可以看出,當(dāng)k太小(k<0.3)時,折疊的部分桌腿會碰到一起,在實際中無法實現(xiàn)充分折疊,同時美觀性也較差;而當(dāng)k太大(k>0.7)時,鋼筋會露在有些桌腳下面,這意味著這些桌腿開槽時桌腳一端也要開槽,在實際中這些桌腿將移出鋼筋,從而整個木條將無法固定,這是不允許的.同時,k越大,開槽長度也越大,增加了加工難度.因此,k的選取應(yīng)該使鋼筋位置在外側(cè)桌腿的中部為宜,即最好取k=0.5. 圖7 折疊桌折疊過程三維效果圖 a 橢圓型 b 操場型 在折疊桌的所有參數(shù)中,有些是根據(jù)實際需要事先選定的,諸如桌子高度H、寬度D、木條寬度w、厚度v等,有些要根據(jù)實際情況和經(jīng)驗取定值,比如折疊角度θ和鋼筋位置參數(shù)k(如前所述).當(dāng)這些參數(shù)的值取定后,其它參數(shù)就要通過模型進行計算. 其次,需確定每根木條的截斷位置.對于第i個木條,其截斷點Bi和Ci距離木條中心的距離實際就是ri,即該木條位于桌面部分長度的2倍,從而計算式為 (13) 再次,需確定鋼筋位置參數(shù)c.如前所述,c=kl1,l1由式(2)計算,一般取k=0.5. 最后,需確定每根木條的開槽長度.對于第i個木條,鋼筋的初始位置(即整個木板平鋪時鋼筋穿過該木條的位置)距離該木條中心的距離為c,折疊后鋼筋位于Mi和Ni點,對應(yīng)于投影點M和N(如圖4所示),所以可得在第i個木條上的開槽長度為 注意到 故有 (14) 特別的,當(dāng)i=1時,由于r1=f(x1),故由上式易得c1=0;當(dāng)i=n時,由于r1=rn=f(xn),也可得cn=0. 圖9 不同鋼筋位置參數(shù)的折疊桌模擬圖 木條序號12345678910ri7.80613.17016.53618.99820.87922.32623.41924.20624.71724.969ci0.0004.3587.66510.37012.59514.39715.80816.84917.53617.878 圖10是根據(jù)上述數(shù)據(jù)繪制的加工參數(shù)示意圖,其中,Bi和Ci是截斷點,開槽的地方用陰影表示,不同木條開槽長度不同. 圖10 截斷位置和開槽長度示意圖 建立了一種折疊桌折疊過程的一般性數(shù)學(xué)模型,通過編程仿真模擬驗證模型的正確性,同時也說明仿真模擬程序的正確性和可行性.同時通過仿真模擬的直觀性來討論各個設(shè)計參數(shù)的可行性,可為進一步產(chǎn)品設(shè)計提供較好的理論參考. 在研究中,重點考慮了模型建立的仿真模擬,對關(guān)鍵參數(shù)之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系和最優(yōu)設(shè)計未做深入討論,特別是折疊角度對穩(wěn)定性的影響以及鋼筋位置參數(shù)的最優(yōu)設(shè)計還需做進一步理論分析. 參考文獻: [1] 雷忠興.折疊結(jié)構(gòu)在家具設(shè)計中的應(yīng)用[J].現(xiàn)代裝飾(理論),2014(5):10-12. [2] 林佳欣,聶桂平.基于TRIZ理論的折疊家具設(shè)計研究[J].東華大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2011,37(4): 518-521. [3] 韓佳成.平板折疊邊桌[J].設(shè)計,2012(8):25-25. [4] Smoyu. Robert van Embriqs 創(chuàng)意組合折疊餐桌.中國設(shè)計之窗, http://www.333cn.com/ industrial/sjxs/133003.html. [5] 2014年高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽賽. http://www.mcm.edu.cn/problem/2014/cumcm 2014problems.rar. [6] 蔡志杰. 創(chuàng)意折疊桌的設(shè)計[J]. 數(shù)學(xué)建模及其應(yīng)用, 2015, 4(1): 66-74. [7] 王秋森,黨展鵬,莊文華,等. 平板折疊桌的設(shè)計模型[J]. 數(shù)學(xué)建模及其應(yīng)用, 2015,4(1): 23-32. [8] 何青,王麗芬. Maple教程[M].北京:科學(xué)出版社,2006.2 折疊桌的動態(tài)仿真模擬及關(guān)鍵參數(shù)分析
2.1 設(shè)計參數(shù)的初步分析
2.2 折疊過程仿真模擬及關(guān)鍵參數(shù)分析
3 折疊桌的加工參數(shù)計算
4 結(jié) 論