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(三明學院信息工程學院，福建 三明 365004)

0 引 言

目前，大部分的彩色圖像采用RGB或RGBA的顏色模式，其中R、G、B、A分別表示圖像的紅色、綠色、藍色和不透明度分量。應(yīng)用傳統(tǒng)的數(shù)字圖像處理技術(shù)來處理圖像的時候，如果對原始彩色圖進行處理，需要對R、G、B三個分量逐一處理，計算量較大[1]。于是，通常將彩色圖轉(zhuǎn)換為灰度圖來處理，以減少計算量，并且，灰度圖充分反映了圖像的形態(tài)學特征?；诖耍芯空咴谧錾疃葘W習之前經(jīng)常需要將彩色圖轉(zhuǎn)變?yōu)榛叶葓D，通用的計算公式是Gray=R·0.299 +G·0.587 +B·0.114。該轉(zhuǎn)換公式，適用于所有彩色圖像，與圖像的像素分布無關(guān)，進而沒有反映出圖像的個體特征[2]。

彩色圖像的每個像素有R、G、B三個分量，可以由三維空間中的一個點來描述。這樣，每一幅彩色圖像的所有像素在三維空間中就形成一個像素分布。傳統(tǒng)的轉(zhuǎn)換方法就是將三維空間降維至一維空間，將所有像素點投影到一個固定的向量n上[3]：

n=(0.299,0.587,0.114)

(1)

以投影點在該向量中的相對位置作為最終的灰度值。如果像素本來就近似地分布于該向量的方向上，那么該公式是比較合理的；但是，如果所有像素點近似于分布在同一個平面上，并且該平面近似于垂直于向量n，那么所有投影點都會堆積在一小段區(qū)域內(nèi)。于是該公式得到的結(jié)果就沒有很高的對比度了。文中設(shè)計的方法是找到一個合適的向量，使得所有像素點在該向量上的投影盡可能地分散開，提高灰度圖的對比度，稱該向量為主軸。顯然，不同圖像有著不同的主軸。

1 圖像主成分分析

主成分分析起源于統(tǒng)計學，是為了將高維數(shù)據(jù)映射到低維空間。有時候，圖像的像素點之間具有一定的相關(guān)性，例如，對于一幅彩色圖像，由黑暗過渡到明亮的區(qū)域時，R、G、B三個分量的強度同時遞增?；谶@種統(tǒng)計相關(guān)性，就可以對像素進行降維，灰度圖的所有像素分布在一維空間，于是需要將三維空間中的像素點投影到一維空間中來。那么，目的就是要尋找這個一維空間的方向，即尋找圖像的主軸[4,5]。

為了充分反映出每幅圖像自身的特性，也為了利用灰度圖進行形態(tài)學檢測，及深度學習相關(guān)領(lǐng)域，希望該灰度圖中的所有像素盡可能地分離開來，即有盡可能高的對比度。但是，如果單純地為了提高對比度而直接將圖像進行灰度均衡化，又會丟失每幅圖像特有的灰度分布信息?；诖耍?位圖像為例來說明PCA灰度化方法，每個像素點的每個顏色分量只占八個比特位，取值為0-255[6]。設(shè)投影矩陣為W，它是一個三行一列的矩陣，每一列是一個單位向量。只有一列，是因為只需要投影到一維的灰度空間。每個像素點可以用一個包含三個元素的列向量x表示，N個像素點組成一個三行N列的矩陣X。為了便于計算，將所有像素點進行中心化，即將每一個像素點的三個分量，減去所有像素點三個分量的平均值。假設(shè)中心化以后的像素矩陣依然用X表示，那么，有：

(2)

那么，投影到一維空間中的像素點可以表示為：

圖1 三組彩色圖片轉(zhuǎn)灰度對比組圖

Z=WTX

(3)

其中Z是一個一行N列矩陣。矩陣的每個元素表示一個灰度值，共N個點。如前所述，希望這N個點盡可能地分離，即樣本方差盡可能大。投影后的樣本的協(xié)方差矩陣為ZZT，該優(yōu)化問題的目標函數(shù)可以寫作

fX(W)=tr(WTXXTW)

(4)

需要求目標函數(shù)(4)的極大值，其中約束條件為

WTW=I

(5)

其中I為單位向量。在這里就是數(shù)值1。

利用拉格朗日乘子法，其拉格朗日函數(shù)為：

L(W)=WTXXTW-λ(WTW-I)

(6)

令

(7)

即得到

XXTW=λW

(8)

可見，只需要對像素點的協(xié)方差矩陣XXT進行相似對角化，求得三個特征值，取最大的特征值即為(8)中的λ，最大特征值所對應(yīng)的特征向量即為主軸。

2 具體算法

從前一節(jié)可以很容易寫出基于主成分分析對彩色圖像進行灰度化的算法流程：

輸入：一幅RGB三色圖，其中寬為m高為n。

輸出：PCA灰度圖。

1)變形：將輸入圖像以行為主序排列成一個3×mn矩陣X，每一列為一個像素。

2)中心化：分別計算矩陣X的每一行的平均值，然后用X的每個元素減去對應(yīng)行所在的平均值，結(jié)果依然用X表示。此時其每行的元素和為零。

3)計算協(xié)方差矩陣：計算像素點的協(xié)方差矩陣XXT。

4)對角化：對XXT進行相似對角化，取最大的特征值λ，以及其對應(yīng)的特征向量，特征向量組成一個三行一列矩陣W。

5)剔除：若W的所有元素同號，則將其歸一化為元素之和為1的三行一列的矩陣W，執(zhí)行6；若W的元素有正有負，則該圖片不適合與主軸灰度化，退出。

6)灰度化：計算每個像素點對應(yīng)的灰度值Z=WTX。

7)變形：將Z轉(zhuǎn)換為寬為m高為n的矩陣，即得到PCA灰度圖。

3 對比與分析

由前述推導可知，XXT是一個對稱的半正定矩陣，一定可以相似對角化，其所有的特征值都是0或者正值，所有的特征向量相互正交[7-9]。但是，線性代數(shù)理論并不能保證主軸一定指向三維直角坐標系的第一掛線，因此在具體的算法中，強調(diào)了對于求出來的主軸要分情況討論。無論如何，在所有特征值大于零所對應(yīng)的特征向量的低維空間來看，各個像素的三色分量的相關(guān)度為零。

下面給出幾張圖片的對比見圖1，該對比圖中，所有的主軸均能歸一化到元素和為1，且各元素均為正數(shù)。第一行是彩色圖像原圖，第二行是傳統(tǒng)方法將彩色圖轉(zhuǎn)換成灰度圖，第三行是傳統(tǒng)灰度圖的直方圖，第四行是主軸灰度圖，第五行是主軸灰度圖的直方圖。

最上面一層為三張原始彩色圖片，第二層為使用傳統(tǒng)方法轉(zhuǎn)變的灰度圖，第三層為傳統(tǒng)灰度圖的直方圖，第四層為使用PCA得到的主軸灰度圖，第五層為主軸灰度圖的直方圖?？梢钥吹?，主軸灰度圖的直方圖更加均衡化。進一步，可以計算每幅圖的主軸與如式(1)所示的傳統(tǒng)的投影軸之間的夾角。對于上面三張圖，其夾角分別為58.9，27.6，35.2。可見，對于同一張圖片，主軸與傳統(tǒng)投影軸的夾角越大，它們之間的灰度直方圖的差距也越大，通常，主軸灰度圖的直方圖的的像素分布比傳統(tǒng)的直方圖更均衡化。

必須強調(diào)的是，主軸灰度化并不適用于所有情況。上面列舉的三張圖片，它們的主軸向量的各個分量都是同號的。若以三維空間坐標系的第一卦限的遠方為正，那么它們的主軸元素都是正數(shù)。這時候便可以對R、G、B的各個分量求加權(quán)平均。但是，有時候，會求得主軸的三個分量元素有正有負，這時候若依然把像素向主軸投影，會產(chǎn)生有違生理學與物理學意義的情況，因為系數(shù)為負的像素分量，它的像素分量值越大，物理上表示它的能量越大，但是投影到主軸以后，對最后的灰度強度的貢獻卻越小。這顯然是不能接受的。

4 結(jié) 語

文中給出了將彩色圖像轉(zhuǎn)換為灰度圖的一種方法，即把每個彩色圖像像素看作RGB三維彩色空間中的一個點，求得所有像素點分布的一個主軸，若該主軸能歸一化為元素和為1，且各元素均為正，則可以將各個像素點投影到該主軸；若主軸的各個元素有正有負，彩色圖轉(zhuǎn)灰度圖的效果就不能達到最佳效果。

事實上，單純從統(tǒng)計學角度說，主成分分析的目標就是對高維數(shù)據(jù)進行降維，尋找最能反映數(shù)據(jù)本身的特征，找出各個數(shù)據(jù)點之間的本質(zhì)差異，同時消除數(shù)據(jù)各個維度之間的相關(guān)關(guān)系。如果拋開物理學和生理學對彩色圖像的視覺要求，而僅僅從圖像的邊緣特征、形態(tài)學角度去分析圖像，那么不管主軸的方向如何，都可以朝這個主軸上投影。這樣投影得到的像素點的坐標有正有負，且相對于傳統(tǒng)圖片灰度化而言，像素已經(jīng)盡可能地分開了。這時候用數(shù)字圖像處理的方法對圖像進行形態(tài)學分析和邊緣檢測，將會大大提升準確率。

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