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        一個新的未知參數(shù)超混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)同步

        2018-06-27 07:53:30于海東岳立娟
        關(guān)鍵詞:初值平衡點(diǎn)時域

        于海東,劉 爽,岳立娟

        (東北師范大學(xué)物理學(xué)院,吉林 長春 130024)

        混沌是非線性動力學(xué)系統(tǒng)所特有的一種復(fù)雜運(yùn)動形式,是自然界普遍存在的復(fù)雜現(xiàn)象.由于混沌的同步與控制在物理、通信、信息科學(xué)、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域的巨大應(yīng)用潛力和發(fā)展前景,得到了廣泛關(guān)注.1990年,L.M.Pecora等[1]提出了混沌同步的方法并在電路中得以實(shí)現(xiàn).自此以后,一些學(xué)者相繼設(shè)計出了各種同步方法,例如耦合同步、反饋同步、驅(qū)動響應(yīng)同步、變結(jié)構(gòu)同步、驅(qū)動參量法等.[2-7]近年來,基于狀態(tài)觀測器的混沌同步法[8]、廣義同步法[9]、基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步法[10]、基于 T-S模糊模型的同步法[11]等廣泛應(yīng)用在各種混沌系統(tǒng)中.然而,這些方法討論的幾乎都是確定的或參數(shù)已知的混沌系統(tǒng),但在實(shí)際應(yīng)用中,混沌系統(tǒng)的參數(shù)常常是未知或不確定的.因此,要在參數(shù)未知的不確定混沌系統(tǒng)下實(shí)現(xiàn)混沌同步對實(shí)際的混沌系統(tǒng)至關(guān)重要.近年來國內(nèi)外一些學(xué)者對此做了深入的研究,如J.H.Park[12]提出了參數(shù)不確定 R?ssler 系統(tǒng)的自適應(yīng)同步法;陳士華等[13]基于參數(shù)辨識方法研究了超混沌R?ssler 系統(tǒng)的自適應(yīng)同步;王燕舞等[14]完成了完全不確定Chen 系統(tǒng)的自適應(yīng)同步;E.M.Elabbasy等[15]分析了參數(shù)不確定 Lǜ 系統(tǒng)的自適應(yīng)同步.當(dāng)系統(tǒng)中某些參數(shù)未知時,混沌系統(tǒng)的敏感性將造成系統(tǒng)狀態(tài)極大的差異.自Hilbert提出隱藏領(lǐng)域以來,研究發(fā)現(xiàn)具有隱藏吸引子的系統(tǒng)對初值及參數(shù)極其敏感,但對其進(jìn)行同步與控制的研究較少.

        本文在Sprott B系統(tǒng)的基礎(chǔ)上通過增加非線性項(xiàng)構(gòu)造了一個新的五維超混沌系統(tǒng),該系統(tǒng)只具有一個參數(shù).對系統(tǒng)進(jìn)行動力學(xué)特性分析,發(fā)現(xiàn)新系統(tǒng)具有隱藏吸引子的特性,基于自適應(yīng)方法對該系統(tǒng)進(jìn)行同步研究,根據(jù) Lyapunov穩(wěn)定性理論,得到同步的充分條件,并設(shè)計出參數(shù)辨識和系統(tǒng)同步的自適應(yīng)控制律.理論分析與數(shù)值模擬證明了該方法的有效性.

        1 一個新的五維超混沌系統(tǒng)

        在Sprott B系統(tǒng)的基礎(chǔ)上通過增加非線性項(xiàng)構(gòu)造出一個新的五維超混沌系統(tǒng):

        (1)

        其中:a是新系統(tǒng)參數(shù);x1,x2,x3,x4,x5是系統(tǒng)的狀態(tài)變量.當(dāng)參數(shù)a=0.2時,初值為(x1(0),x2(0),x3(0),x4(0),x5(0))=(0.05,0.05,0.05,0.05,0.05)時,計算系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù):λ1=0.386 161,λ2=0.040 577,λ3=0,λ4=-0.030 146,λ5=-0.415 503,則Lyapunov指數(shù)為

        (2)

        新的五維系統(tǒng)(1)為超混沌系統(tǒng),其吸引子如圖1所示.

        圖1 新超混沌系統(tǒng)的吸引子

        對于系統(tǒng)(1)有

        (3)

        所以系統(tǒng)(1)是耗散的,并以指數(shù)dV/dt=e-t收斂,即隨著t→∞時,包含系統(tǒng)軌線的每一個體積元都以e-t收縮到0.所有的系統(tǒng)軌線將會被限制在一個體積為零的極限子集上,且它的漸進(jìn)動力學(xué)行為被固定在一個吸引子上,也進(jìn)一步說明了吸引子的存在.

        新系統(tǒng)(1)只具有一個參數(shù)a,隨a變化的Lyapunov指數(shù)譜及分岔圖見圖2,從圖2可以看出a∈(-0.2,0.6),系統(tǒng)(1)處于超混沌狀態(tài).

        (a)Lyapunov指數(shù)譜

        (b)分岔圖

        圖2隨a變化的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖

        由系統(tǒng)(1)得到平衡點(diǎn)方程為:

        (4)

        可見系統(tǒng)(4)沒有平衡點(diǎn).通過D.David等[16]提出一個系統(tǒng)如果沒有平衡點(diǎn)或者有且只有一個穩(wěn)定的平衡點(diǎn),則具有隱藏吸引子,這樣的系統(tǒng)對初值及參數(shù)的改變極為敏感.系統(tǒng)(1)將初值x1(0)及參數(shù)a只改變1%得到x1時域圖如圖3所示,可見系統(tǒng)(1)具有較好的初值敏感性和參數(shù)敏感性.

        (a)不同初值下x1的時域圖

        2 自適應(yīng)同步控制器的設(shè)計方案

        驅(qū)動系統(tǒng)為

        (5)

        響應(yīng)系統(tǒng)為

        (6)

        控制器誤差系統(tǒng)為

        (7)

        控制器參數(shù)誤差為:

        eh=h′-h;
        Ahx=F(x)h;
        Ah′y=F(y)h′.

        (8)

        則Ah′y-Ahx=F(y)h′-F(x)h=Ah′e+F(x)eh,則F(x)和F(y)是關(guān)于系統(tǒng)狀態(tài)變量x,y的l×m矩陣.

        定理如果選取控制器

        u=f(x)-f(y)-ke,

        (9)

        其中k=diag(k1,k2,…,kn).

        參數(shù)自適應(yīng)律為:

        (10)

        則驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)全局漸進(jìn)同步.

        證明誤差系統(tǒng)為

        (11)

        選取Lyapunov函數(shù)為

        (12)

        對V求導(dǎo)并利用(10)式可得

        其中λmin(P)為正定矩陣P的最小特征值,所以有e∈L,根據(jù)Barbalat引理可得

        即系統(tǒng)(5)和系統(tǒng)(6)全局漸進(jìn)同步.

        3 參數(shù)未知新超混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)同步

        設(shè)系統(tǒng)(1)為驅(qū)動系統(tǒng),響應(yīng)系統(tǒng)為:

        (13)

        定義誤差為e=y-x,則誤差系統(tǒng)為:

        (14)

        根據(jù)自適應(yīng)控制方法,我們可以設(shè)計控制器為:

        (15)

        參數(shù)自適應(yīng)為:

        (16)

        構(gòu)造Lyapunov函數(shù)為

        對V進(jìn)行求導(dǎo),可得

        由于混沌系統(tǒng)具有初值敏感性,所以在開始時混沌吸引子在不同的軌道運(yùn)動,但由于混沌系統(tǒng)具有有界性,所有的狀態(tài)變量經(jīng)過一段時間后都會到達(dá)吸引子集,即一定存在一個正實(shí)數(shù)L使得

        |xi|≤L<∞(i=1,2,3,4,5).

        因此

        需選取適當(dāng)k′值,使

        通過數(shù)值仿真得到如下結(jié)果:ei(i=1,2,3,4,5)隨時間t變化圖像見圖4,參數(shù)a的辨識曲線見圖5,參數(shù)自適應(yīng)律ki(i=1,2,3,4,5)收斂曲線見圖6,實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明ki隨著時間演化趨向一個常數(shù),兩系統(tǒng)很快實(shí)現(xiàn)同步.

        圖4 ei(i=1,2,3,4,5)隨時間t變化圖像

        圖5 參數(shù)a辨識曲線

        圖6 參數(shù)自適應(yīng)律ki(i=1,2,3,4)收斂曲線

        4 總結(jié)

        本文在Sprott B系統(tǒng)的基礎(chǔ)上構(gòu)造了新的五維超混沌系統(tǒng),該系統(tǒng)只具有一個參數(shù).經(jīng)過對其動力學(xué)特性分析,發(fā)現(xiàn)其具有隱藏吸引子這一特性,通過對初值及參數(shù)進(jìn)行微小的改變,觀察時域圖具有較明顯的變化,證明了具有隱藏吸引子的系統(tǒng)對初值及參數(shù)極其敏感.基于 Lyapunov 穩(wěn)定性理論,利用自適應(yīng)同步方法,對參數(shù)不確定的具有隱藏特性新的五維超混沌系統(tǒng)進(jìn)行同步研究,設(shè)計和構(gòu)造自適應(yīng)同步控制器及自適應(yīng)律.仿真結(jié)果表明,同步時間較短,同步效果較好.設(shè)計的控制器簡單且易于選取,適用范圍廣.

        [參 考 文 獻(xiàn)]

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