于海東，劉 爽，岳立娟

(東北師范大學(xué)物理學(xué)院，吉林 長春 130024)

混沌是非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)所特有的一種復(fù)雜運(yùn)動(dòng)形式，是自然界普遍存在的復(fù)雜現(xiàn)象.由于混沌的同步與控制在物理、通信、信息科學(xué)、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域的巨大應(yīng)用潛力和發(fā)展前景，得到了廣泛關(guān)注.1990年，L.M.Pecora等[1]提出了混沌同步的方法并在電路中得以實(shí)現(xiàn).自此以后，一些學(xué)者相繼設(shè)計(jì)出了各種同步方法，例如耦合同步、反饋同步、驅(qū)動(dòng)響應(yīng)同步、變結(jié)構(gòu)同步、驅(qū)動(dòng)參量法等.[2-7]近年來，基于狀態(tài)觀測器的混沌同步法[8]、廣義同步法[9]、基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步法[10]、基于 T-S模糊模型的同步法[11]等廣泛應(yīng)用在各種混沌系統(tǒng)中.然而，這些方法討論的幾乎都是確定的或參數(shù)已知的混沌系統(tǒng)，但在實(shí)際應(yīng)用中，混沌系統(tǒng)的參數(shù)常常是未知或不確定的.因此，要在參數(shù)未知的不確定混沌系統(tǒng)下實(shí)現(xiàn)混沌同步對實(shí)際的混沌系統(tǒng)至關(guān)重要.近年來國內(nèi)外一些學(xué)者對此做了深入的研究，如J.H.Park[12]提出了參數(shù)不確定 R?ssler 系統(tǒng)的自適應(yīng)同步法；陳士華等[13]基于參數(shù)辨識方法研究了超混沌R?ssler 系統(tǒng)的自適應(yīng)同步；王燕舞等[14]完成了完全不確定Chen 系統(tǒng)的自適應(yīng)同步；E.M.Elabbasy等[15]分析了參數(shù)不確定 Lǜ 系統(tǒng)的自適應(yīng)同步.當(dāng)系統(tǒng)中某些參數(shù)未知時(shí)，混沌系統(tǒng)的敏感性將造成系統(tǒng)狀態(tài)極大的差異.自Hilbert提出隱藏領(lǐng)域以來，研究發(fā)現(xiàn)具有隱藏吸引子的系統(tǒng)對初值及參數(shù)極其敏感，但對其進(jìn)行同步與控制的研究較少.

本文在Sprott B系統(tǒng)的基礎(chǔ)上通過增加非線性項(xiàng)構(gòu)造了一個(gè)新的五維超混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)只具有一個(gè)參數(shù).對系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)特性分析，發(fā)現(xiàn)新系統(tǒng)具有隱藏吸引子的特性，基于自適應(yīng)方法對該系統(tǒng)進(jìn)行同步研究，根據(jù) Lyapunov穩(wěn)定性理論，得到同步的充分條件，并設(shè)計(jì)出參數(shù)辨識和系統(tǒng)同步的自適應(yīng)控制律.理論分析與數(shù)值模擬證明了該方法的有效性.

1 一個(gè)新的五維超混沌系統(tǒng)

在Sprott B系統(tǒng)的基礎(chǔ)上通過增加非線性項(xiàng)構(gòu)造出一個(gè)新的五維超混沌系統(tǒng)：

(1)

其中：a是新系統(tǒng)參數(shù)；x1，x2，x3，x4，x5是系統(tǒng)的狀態(tài)變量.當(dāng)參數(shù)a=0.2時(shí)，初值為(x1(0)，x2(0)，x3(0)，x4(0)，x5(0))=(0.05，0.05，0.05，0.05，0.05)時(shí)，計(jì)算系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)：λ1=0.386 161，λ2=0.040 577，λ3=0，λ4=-0.030 146，λ5=-0.415 503，則Lyapunov指數(shù)為

(2)

新的五維系統(tǒng)(1)為超混沌系統(tǒng)，其吸引子如圖1所示.

圖1 新超混沌系統(tǒng)的吸引子

對于系統(tǒng)(1)有

(3)

所以系統(tǒng)(1)是耗散的，并以指數(shù)dV/dt=e-t收斂，即隨著t→∞時(shí)，包含系統(tǒng)軌線的每一個(gè)體積元都以e-t收縮到0.所有的系統(tǒng)軌線將會(huì)被限制在一個(gè)體積為零的極限子集上，且它的漸進(jìn)動(dòng)力學(xué)行為被固定在一個(gè)吸引子上，也進(jìn)一步說明了吸引子的存在.

新系統(tǒng)(1)只具有一個(gè)參數(shù)a，隨a變化的Lyapunov指數(shù)譜及分岔圖見圖2，從圖2可以看出a∈(-0.2，0.6)，系統(tǒng)(1)處于超混沌狀態(tài).

(a)Lyapunov指數(shù)譜

(b)分岔圖

圖2隨a變化的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖

由系統(tǒng)(1)得到平衡點(diǎn)方程為：

(4)

可見系統(tǒng)(4)沒有平衡點(diǎn).通過D.David等[16]提出一個(gè)系統(tǒng)如果沒有平衡點(diǎn)或者有且只有一個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，則具有隱藏吸引子，這樣的系統(tǒng)對初值及參數(shù)的改變極為敏感.系統(tǒng)(1)將初值x1(0)及參數(shù)a只改變1%得到x1時(shí)域圖如圖3所示，可見系統(tǒng)(1)具有較好的初值敏感性和參數(shù)敏感性.

(a)不同初值下x1的時(shí)域圖

2 自適應(yīng)同步控制器的設(shè)計(jì)方案

驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為

(5)

響應(yīng)系統(tǒng)為

(6)

控制器誤差系統(tǒng)為

(7)

控制器參數(shù)誤差為：

eh=h′-h；
Ahx=F(x)h；
Ah′y=F(y)h′.

(8)

則Ah′y-Ahx=F(y)h′-F(x)h=Ah′e+F(x)eh，則F(x)和F(y)是關(guān)于系統(tǒng)狀態(tài)變量x，y的l×m矩陣.

定理如果選取控制器

u=f(x)-f(y)-ke，

(9)

其中k=diag(k1，k2，…，kn).

參數(shù)自適應(yīng)律為：

(10)

則驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)全局漸進(jìn)同步.

證明誤差系統(tǒng)為

(11)

選取Lyapunov函數(shù)為

(12)

對V求導(dǎo)并利用(10)式可得

其中λmin(P)為正定矩陣P的最小特征值，所以有e∈L，根據(jù)Barbalat引理可得

即系統(tǒng)(5)和系統(tǒng)(6)全局漸進(jìn)同步.

3 參數(shù)未知新超混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)同步

設(shè)系統(tǒng)(1)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，響應(yīng)系統(tǒng)為：

(13)

定義誤差為e=y-x，則誤差系統(tǒng)為：

(14)

根據(jù)自適應(yīng)控制方法，我們可以設(shè)計(jì)控制器為：

(15)

參數(shù)自適應(yīng)為：

(16)

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)為

對V進(jìn)行求導(dǎo)，可得

由于混沌系統(tǒng)具有初值敏感性，所以在開始時(shí)混沌吸引子在不同的軌道運(yùn)動(dòng)，但由于混沌系統(tǒng)具有有界性，所有的狀態(tài)變量經(jīng)過一段時(shí)間后都會(huì)到達(dá)吸引子集，即一定存在一個(gè)正實(shí)數(shù)L使得

|xi|≤L<∞(i=1，2，3，4，5).

因此

需選取適當(dāng)k′值，使

通過數(shù)值仿真得到如下結(jié)果：ei(i=1，2，3，4，5)隨時(shí)間t變化圖像見圖4，參數(shù)a的辨識曲線見圖5，參數(shù)自適應(yīng)律ki(i=1，2，3，4，5)收斂曲線見圖6，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明ki隨著時(shí)間演化趨向一個(gè)常數(shù)，兩系統(tǒng)很快實(shí)現(xiàn)同步.

圖4 ei(i=1，2，3，4，5)隨時(shí)間t變化圖像

圖5 參數(shù)a辨識曲線

圖6 參數(shù)自適應(yīng)律ki(i=1，2，3，4)收斂曲線

4 總結(jié)

本文在Sprott B系統(tǒng)的基礎(chǔ)上構(gòu)造了新的五維超混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)只具有一個(gè)參數(shù).經(jīng)過對其動(dòng)力學(xué)特性分析，發(fā)現(xiàn)其具有隱藏吸引子這一特性，通過對初值及參數(shù)進(jìn)行微小的改變，觀察時(shí)域圖具有較明顯的變化，證明了具有隱藏吸引子的系統(tǒng)對初值及參數(shù)極其敏感.基于 Lyapunov 穩(wěn)定性理論，利用自適應(yīng)同步方法，對參數(shù)不確定的具有隱藏特性新的五維超混沌系統(tǒng)進(jìn)行同步研究，設(shè)計(jì)和構(gòu)造自適應(yīng)同步控制器及自適應(yīng)律.仿真結(jié)果表明，同步時(shí)間較短，同步效果較好.設(shè)計(jì)的控制器簡單且易于選取，適用范圍廣.

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