劉 晨，池 濤，李丙春，張宗虎

(1.喀什大學(xué)計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，新疆 喀什 844006； 2.上海海洋大學(xué)信息學(xué)院，上海 200030)

0 引言

圖像分割是圖像處理和計算機(jī)視覺領(lǐng)域的基礎(chǔ)性工作.近年來，具有良好理論基礎(chǔ)和較好分割結(jié)果的水平集方法[1]得到研究學(xué)者的廣泛關(guān)注.

水平集方法在能量泛函極小化理論框架下可以引入圖像信息，使其具有很強(qiáng)的適應(yīng)性.水平集方法一般分為基于邊緣和基于區(qū)域的2種類型.它們分別利用邊緣信息和區(qū)域的統(tǒng)計特性驅(qū)動活動輪廓向目標(biāo)邊界靠近.本文研究模型屬于后一種類型.文獻(xiàn)[2]提出CV模型，利用圖像的全局區(qū)域信息，使用全局二值分段常數(shù)驅(qū)動活動輪廓向目標(biāo)邊緣逼近；文獻(xiàn)[3]利用圖像局部鄰域信息擬合局部能量，提出局部二值擬合LBF模型；文獻(xiàn)[4]提出LIF模型，利用局部圖像擬合能量提取局部圖像信息達(dá)到分割圖像的目的；文獻(xiàn)[5]結(jié)合CV和LBF模型，提出一種融合圖像局部和全局信息的線性擬合模型；文獻(xiàn)[6]先利用退化的CV模型得到圖像粗分割，在粗分割的基礎(chǔ)上利用圖像局部信息得到圖像的最終分割結(jié)果；文獻(xiàn)[7]將圖像分割看成聚類進(jìn)行處理，在處理過程中引入相關(guān)熵準(zhǔn)則，從而提出基于局部相關(guān)熵LCK模型；文獻(xiàn)[8]使用加權(quán)的核映射函數(shù)將離散化圖像數(shù)據(jù)映射到高維空間，從而提出基于粗糙集和新能量公式的水平集方法.

LIF模型利用圖像局部信息構(gòu)造局部圖像擬合函數(shù)，但該模型對初始輪廓的大小和位置敏感，只有在合適的初始輪廓下才能得到正確的的分割結(jié)果.文獻(xiàn)[9]首先構(gòu)造全局圖像擬合GIF模型，然后線性組合LIF和GIF模型，從而形成LIF-GIF模型；文獻(xiàn)[10]通過利用CV模型的全局?jǐn)M合函數(shù)和LIF模型的局部擬合函數(shù)線性組合，提出CV-LIF模型.2種模型對初始輪廓的敏感性有一定抑制，但2種模型抗噪性不強(qiáng)，分割結(jié)果易受噪聲影響.

CV模型利用圖像全局信息，用二值分段常數(shù)函數(shù)逼近圖像目標(biāo)輪廓，對初始輪廓具有較強(qiáng)的魯棒性.我們提出一種結(jié)合圖像全局信息的LIF模型水平集方法，先利用圖像全局信息得到目標(biāo)的粗分割輪廓，在此基礎(chǔ)上利用局部信息得到最終精確分割結(jié)果.

CV模型和LIF模型中的擬合函數(shù)是對活動輪廓內(nèi)外部區(qū)域的灰度全局和局部加權(quán)平均，相當(dāng)于在活動輪廓的內(nèi)外進(jìn)行均值濾波，所以2種模型對高斯噪聲有一定的抗噪性，但是對椒鹽噪聲不能取得令人滿意的分割結(jié)果，中值濾波可以較好地去除椒鹽噪聲，本文在原有的CV模型和LIF模型的能量函數(shù)基礎(chǔ)上新增加一個擬合項，提高對椒鹽噪聲的抗噪性.并且利用一種新的邊緣檢測算子，進(jìn)一步提高模型對噪聲圖像分割的抗噪性.

1 CV和LIF模型

1.1 CV模型

CV模型使用圖像的全局信息建立能量泛函，定義為

ECV(c1，c2，φ)=λ1?|I-c1|2dxdy+λ2?|I-c2|2dxdy.

(1)

利用梯度下降法得到CV模型的演化方程為

(2)

(2)式中c1=?IH(φ)dxdy/?H(φ)dxdy，c2=?I(1-H(φ))dxdy/?(1-H(φ))dxdy.

1.2 LIF模型

給定圖像I，在圖像區(qū)域Ω中C表示閉合曲線，將區(qū)域Ω分成2部Ω1=outside(C)，Ω2=inside(C).則曲線C就可以看成目標(biāo)圖像的輪廓，LIF模型能量函數(shù)定義為

(3)

(3)式中ILIF=m1H(φ)+m2(1-H(φ)).m1和m2分別定義為：

m1(x)=mean(I∈({x∈Ω|φ(x)<0}∩K(x)))；
m2(x)=mean(I∈({x∈Ω|φ(x)>0}∩K(x))).

(4)

利用變分法和梯度下降法，(3)式的梯度下降流為

(5)

使用一個高斯核函數(shù)規(guī)則化水平集函數(shù)，即φ=φ*Gξ.

2 本文模型

2.1 提出的擬合項

在CV模型中，根據(jù)計算公式c1和c2分別是活動輪廓內(nèi)外部區(qū)域的圖像灰度均值，在LIF模型中，從擬合函數(shù)m1(x)和m2(x)公式可知：m1(x)和m2(x)分別表示以x為中心，活動輪廓內(nèi)外區(qū)域的局部灰度加權(quán)均值.從CV和LIF 2種模型公式中可以看出，其等價于對圖像進(jìn)行了全局和局部均值濾波.所以2種模型對高斯噪聲有一定的抗噪性，但對椒鹽噪聲污染的圖像不能得到滿意的分割結(jié)果.中值濾波對椒鹽噪聲具有較好的抑制作用.

mg1=med{I(x，y)：(x，y)∈φ，φ(x，y)>0}，mg2=med{I(x，y)：(x，y)∈φ，φ(x，y)<0}；

(6)

(7)

med是中值算子，*表示卷積運(yùn)算.從而定義新的擬合能量項：

(8)

其中ILMD=ml1H(φ)+ml2(1-H(φ)).

2.2 測地弧長正則項

通常將活動輪廓C的弧長作為正則項引入到能量函數(shù)中，則在水平集方程演化過程中可以保持輪廓的平滑，活動輪廓弧長能量函數(shù)定義為

(9)

梯度下降流方程為

(10)

(10)式可能會使得水平集函數(shù)過度平滑，根據(jù)文獻(xiàn)[12]可知，使用活動輪廓測地弧長來解決這個問題.測地弧長能量函數(shù)定義為

(11)

(12)

g=1/(1+|N(Gσ×I)|2).

(13)

2.3 懲罰能量

水平集函數(shù)需要在演化過程中保持為符號距離函數(shù)，使得活動輪廓在演化過程保持穩(wěn)定，在數(shù)值計算中需要不斷重新初始化水平集函數(shù)為符號距離函數(shù)，但重新初始化的計算量大，分割速度慢.文獻(xiàn)[14]提出了一種符號距離懲罰能量函數(shù)，定義為

(14)

2.4 本文構(gòu)建的模型

結(jié)合CV模型和LIF模型中全局?jǐn)M合能量ECV、局部擬合能量項ELIF、測地弧長能量項El、懲罰能量項Ep和本文新提出的擬合能量項Egn與Eln，得到能量函數(shù)

E=a(α1ECV+β1Egn)+b(α2ELIF+β2Eln+κEl+μEp).

(15)

其中a，b，α，β，κ，μ為正的實數(shù)，α和β是調(diào)整全局?jǐn)M合能量ECV、局部擬合能量項ELIF和本文新提出的擬合能量項Egn與Eln的權(quán)重.本文固定取α=1，β=0.01，最終的能量函數(shù)為

(16)

利用變分法和梯度下降法，關(guān)于水平集φ的梯度下降流為

(17)

(17)式中窗口尺寸大小以高斯核參數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，取2σ+1.選取K為核函數(shù)，高斯核函數(shù)定義為

(18)

其中σ為尺度參數(shù)，本文取σ=5.在原LIF模型中的Gξ也是一個高斯核函數(shù)，在本文中依據(jù)噪聲的不同，ξ取不同值，取值范圍為0.5～3.5，低噪聲取0.5，高噪聲取2.5.公式中采用正則化Heaviside和Dirac函數(shù)，分別定義為：

(19)

本文選取ε=1.

在F(I，φ)的作用下，經(jīng)過有限次迭代后水平集函數(shù)會達(dá)到一個穩(wěn)態(tài)解.根據(jù)上述討論，本文提出結(jié)合圖像全局信息的LIF模型水平集方法為2個階段.

第1階段.使用圖像的全局信息得到圖像的粗分割輪廓，此過程只利用了圖像的全局信息，令a=1，b=0.設(shè)置初始階段的迭代次數(shù)為10，此時演化方程為

(20)

為了簡化計算過程，令λ1=λ2=1.

第2階段.在第1階段得到的粗分割的基礎(chǔ)上，使用圖像的局部信息分割得到圖像最終精確輪廓.令a=0，b=1，此時演化方程為

(21)

并使用高斯核函數(shù)規(guī)則化水平集函數(shù).

3 實驗結(jié)果及分析

本文在不同噪聲污染的圖像上驗證提出模型的有效性，并且和CV模型[2]、LIF模型[4]、Chen模型[9]、Qi模型[6]進(jìn)行對比實驗.實驗中初始化水平集函數(shù)φ0(x，y)=1∶(x，y)∈in(C)，φ0(x，y)=-1∶(x，y)∈out(C)，α1=α2=1，β1=β2= 0.01，時間步長取Δt=0.1，空間步長Δx=Δy=1.參數(shù)κ取0.01×255×255，參數(shù)μ取2.0.CV模型、LIF模型、Chen模型和Qi模型參數(shù)見具體參考文獻(xiàn).實驗圖像來自LIF模型作者提供.

本文采用2個指標(biāo)對分割結(jié)果做量化評價，分別是Jaccard相似系數(shù)(Jaccard Coefficient，JC)和骰子相似系數(shù)(Dice Similarity Coefficient，DSC)，定義為：

(22)

其中R1和R2分別表示基準(zhǔn)前景區(qū)域和采用分割方法分割得到的前景區(qū)域，N(R)表示區(qū)域R內(nèi)像素點的個數(shù).JC和DSC取值范圍為[0，1]，取值越大表明分割結(jié)果越精確.

實驗1針對LIF模型對初始水平集函數(shù)位置大小的敏感性驗證.圖1(a1，b1)方框是初始水平集函數(shù).圖1(a2，b2)是對應(yīng)不同初始水平函數(shù)的分割結(jié)果，從實驗結(jié)果上可以看出，LIF模型對演化曲線的初始位置和大小非常敏感.

圖1 不同初始位置LIF分割結(jié)果

實驗2針對無噪聲和添加不同噪聲類型與噪聲水平的簡單圖像，使用CV模型、LIF模型、Chen模型、Qi模型和提出的模型進(jìn)行實驗對比.圖2(a—e)分別是無噪聲圖像，添加均值為0、方差為0.01(高斯噪聲)，均值為0、方差為0.06(高斯噪聲)，噪聲密度為0.01(椒鹽噪聲)，噪聲密度為0.1(椒鹽噪聲)分割結(jié)果.包括實驗2以后的所有實驗、所有方法的水平集初始輪廓為上下左右距離10像素的矩形框，文中不再額外標(biāo)注.圖2(a1—a5)使用CV模型，圖2(b1—b5)使用LIF模型，圖2(c1—c5)使用Chen模型，圖2(d1—d5)使用Qi模型，圖2(e1—e5)是本文提出模型的實驗結(jié)果.從實驗結(jié)果上看出，除了Chen模型，其他模型在無噪聲情況下都取得正確的分割結(jié)果，Chen模型是在LIF模型基礎(chǔ)上，將局部信息換成CV模型的全局信息進(jìn)行簡單的線性組合，并沒有邏輯證明，故在無噪聲簡單圖像分割出現(xiàn)了錯誤分割結(jié)果.在不同噪聲污染下也得不到正確的分割結(jié)果，并且隨著噪聲水平的增強(qiáng)，分割錯誤率顯著增大.經(jīng)典的CV模型和LIF隨著噪聲水平的增大，分割錯誤率也隨著增大.Qi模型在無噪聲和低噪聲水平下能得到正確的分割結(jié)果，但隨著噪聲水平的增強(qiáng)，也會出現(xiàn)錯誤的分割結(jié)果.本文提出模型在無噪聲、不同噪聲以及不同噪聲強(qiáng)度下，都能得到正確的分割結(jié)果.顯示提出模型對噪聲具有良好的抑制能力，突出了模型的優(yōu)越性.

實驗3針對圖2(a，c，e)無噪聲和受到高強(qiáng)度高斯噪聲和椒鹽噪聲污染圖像的情況，對不同模型的分割精度做了定量分析，結(jié)果如表1所示.從JC和DSC 2個量化指標(biāo)結(jié)果可以看出，在無噪聲環(huán)境下，本文模型分割結(jié)果高于LIF、Chen、Qi模型，稍微低于CV模型.在高強(qiáng)度的高斯噪聲和椒鹽噪聲環(huán)境下，本文模型分割結(jié)果數(shù)據(jù)大致相同，在同一個數(shù)量級上.而CV、LIF、Chen模型的分割精度陡然下降，Qi模型分割結(jié)果數(shù)據(jù)也大致相同，但本文模型分割精度要高于Qi模型.從量化指標(biāo)的數(shù)據(jù)結(jié)果分析可以得出本文模型的有效性和適應(yīng)性.

表1 不同模型實驗結(jié)果的JC與DSC比較

圖2無噪聲、不同噪聲圖像以及不同模型分割結(jié)果比較

實驗4在不同初始輪廓(圖中淺色方框)、不同噪聲以及不同噪聲水平下，本文提出模型都能得到正確的分割結(jié)果(圖中深色色方框)(如圖3所示).

(a)在方差為0.01(高斯噪聲)時本文模型不同初始輪廓分割結(jié)果

(b)在密度為0.06(椒鹽噪聲)時本文模型不同初始輪廓分割結(jié)果

實驗5針對不同圖像類型，包括弱邊緣和復(fù)雜場景圖像，在不同強(qiáng)噪聲類型下的不同模型的分割結(jié)果比較.從實驗結(jié)果可以看出本文模型的適應(yīng)性，如圖4—6所示.

圖4 血管的不同噪聲圖像以及不同模型分割結(jié)果比較

圖5 手的不同噪聲圖像以及不同模型分割結(jié)果比較

圖6 飛機(jī)的不同噪聲圖像以及不同模型分割結(jié)果比較

實驗6在分割過程中第1階段使用全局信息得到粗分割結(jié)果，以粗分割結(jié)果為下一階段的零水平集得到的最終分割，驗證了提出模型的有效性，如圖7所示.

圖7 噪聲圖像(6b，6c)粗分割輪廓以及不同迭代次數(shù)分割結(jié)果

4 結(jié)論

提出一種結(jié)合圖像全局信息的改進(jìn)LIF水平集模型.在原有CV模型和LIF模型能量函數(shù)基礎(chǔ)上，各自構(gòu)建一個新的能量擬合項，增強(qiáng)對不同噪聲以及不同噪聲水平的抗噪性.使用圖像的全局信息得到圖像的粗分割輪廓.以粗分割輪廓作為改進(jìn)LIF模型的零水平集，使用圖像局部信息對圖像進(jìn)行精確分割.本文使用一種新的邊緣檢測算子，重新定義邊緣停止函數(shù)，進(jìn)一步提高模型的抗噪性.本文模型比CV模型、LIF模型、Chen模型和Qi模型對無噪聲和不同噪聲污染的圖像能得到更好的分割結(jié)果，但在分割結(jié)果中出現(xiàn)了鋸齒狀的分割邊界，這是后續(xù)工作中需要解決的問題.

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