劉曉慧，王 靜

(東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024)

1 預(yù)備知識(shí)

眾所周知，擴(kuò)散現(xiàn)象對(duì)于捕食者-食餌模型的動(dòng)力學(xué)行為起著非常重要的作用.[1-3]因?yàn)榉N群的密度通常是空間不均勻分布的，擴(kuò)散過(guò)程能更好地刻畫(huà)出捕食者及食餌在不同的種群密度下種群數(shù)量流動(dòng)的復(fù)雜性.考慮如下的種群模型：

(1)

其中：Ω∈RN(N≥1)是一個(gè)給定的有界光滑域；u1，u2是具有競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系的兩個(gè)食餌；u3是捕食者；△是拉普拉斯算子；v是Ω邊界上的單位外法向量；d1，d2，d3是正擴(kuò)散系數(shù)；初始函數(shù)ui(x，0)(i=1，2，3)是連續(xù)函數(shù).系統(tǒng)(1)是一個(gè)捕食競(jìng)爭(zhēng)模型，在這個(gè)模型中，兩個(gè)食餌是競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系，并且在競(jìng)爭(zhēng)中第一個(gè)食餌u1比第二個(gè)食餌u2更有優(yōu)勢(shì)，這主要體現(xiàn)在α>1上.食餌u2有避難保護(hù)，即對(duì)捕食者免疫，使得捕食者u3只能捕食食餌u1.

本文研究系統(tǒng)(1)的正穩(wěn)態(tài)解的存在性和不存在性，可轉(zhuǎn)化為研究下面橢圓系統(tǒng)非常值正解的存在性與不存在性：

(2)

本文通過(guò)特征方程的方法得到系統(tǒng)(1)平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性；通過(guò)先驗(yàn)估計(jì)得到系統(tǒng)(2)的正穩(wěn)態(tài)解的上下界；通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)腣函數(shù)得到系統(tǒng)(1)的唯一正平衡點(diǎn)在一定的條件下是全局漸近穩(wěn)定的；最后利用拓?fù)涠壤碚搶?duì)系統(tǒng)(2)的非常值正穩(wěn)態(tài)解的不存在性和存性進(jìn)行了研究.

2 反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性

令0=μ1<μ2<μ3<…是滿(mǎn)足Neumann邊界條件、在Ω上-Δ算子的特征值，E(μi)是μi在C1(Ω)上相應(yīng)的特征空間，定義集合

Ψi(λ)=λ3+B1iλ2+B2iλ+B3i.

其中：

B1i=μi(d1+d2+d3)+A1，

由文獻(xiàn)[4]，因?yàn)閍11<0，a22<0，所以B1i，B2i，B3i>0.通過(guò)直接計(jì)算得

其中：

M1=(d1+d2+d3)(d1d2+d1d3+d2d3)-d1d2d3，

M2=A1(d1d2+d2d3+d1d3)-(d1+d2+d3)[a22d1+a11d2+(a11+a22)d3]+(d1d3a22+d2d3a11)，

M3=A2(d1+d2+d3)-A1[a22d1+a11d2+(a11+a22)d3]-[(a11a22-a12a21)d3-a13a31d2].

由文獻(xiàn)[4]可知A1A2-A3>0，于是對(duì)于所有的i≥0，均有B1iB2i-B3i>0.根據(jù)Routh-Hurwitz判別法，對(duì)每一個(gè)i≥1，Ψi(λ)=0的三個(gè)根λi1，λi2，λi3都有負(fù)實(shí)部，定理結(jié)論成立.

3 正穩(wěn)態(tài)解的有界性

引理3.2(最大值原理)[6]令g(x，ω)∈C(Ω×R1)，bj(x)∈C(Ω)，j=1，2，…，N.

為了方便，定義常數(shù)(d1，d2，d3)=d，(a，b1，b2，d1，d2，k，l，m)=Λ.

定理3.1設(shè)D1，D2，D3是任意給定的正常數(shù)，則存在一個(gè)常數(shù)C=C(d，Ω，Λ)，滿(mǎn)足當(dāng)K>Cα，且di≥Di(i=1，2，3)時(shí)，對(duì)系統(tǒng)(2)的任意解(u1，u2，u3)有

C-1

證明首先證明(u1，u2，u3)有上界，即ui

直接應(yīng)用最大值原理得u2≤K.下證u1，u3有上界.設(shè)ω=cd1u1+d3u3，那么

由引理3.2，

取C充分大，則ui

其次證明(u1，u2，u3)有下界，即ui>C-1，i=1，2，3.

根據(jù)系統(tǒng)(1)的第一個(gè)方程，已知u1≠0，所以只需要考慮u2=0或u3=0的情況.

當(dāng)i→∞時(shí)有

(3)

4 反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

令u=(u1，u2，u3)是系統(tǒng)(1)的一個(gè)正解，ui>0，i=1，2，3.

證明首先構(gòu)造V函數(shù)

由Green公式

所以

5 非常值正穩(wěn)態(tài)解的不存在性

證明因?yàn)?/p>

(4)

選取足夠小ε，使得

定理證畢.

6 非常值正穩(wěn)態(tài)解的存在性

首先研究系統(tǒng)(2)在u*處的線(xiàn)性化，設(shè)X定義同前，令

X+={u∈X|ui>0在Ω上，i=1，2，3}，

B(C)={u∈X|C-1

其中C由前文給出.系統(tǒng)(2)改寫(xiě)為

(5)

u是系統(tǒng)(5)的正解，當(dāng)且僅當(dāng)

F(u)?u-(I-Δ)-1{D-1G(u)+u}=0

在X+中成立.這里(I-Δ)-1是(I-Δ)在帶有Neumann齊次邊界條件的X中的轉(zhuǎn)置.因?yàn)镕(·)是恒同算子的一個(gè)緊擾動(dòng)，對(duì)任意B=B(c)，若在?B中F(u)≠0，可以定義Leray-Schauder度deg(F(·)，0，B).記DuF(u*)=I-(I-Δ)-1{DGu(u*)+I}，如果DuF(u*)是可逆的，F(xiàn)在u*處的指數(shù)就定義為index(F(·)，u*)=(-1)γ，這里γ是DuF(u*)帶有負(fù)實(shí)部特征根的總數(shù).在討論DuF(u*)的特征根時(shí)，將用到如下的分解

首先對(duì)任意i>0和1≤j≤dimE(μi)，Xij在DuF(u*)下是不變的，且λ是DuF(u*)在Xij上的特征根，當(dāng)且僅當(dāng)它是如下矩陣的特征根：

(6)

如果H(μi)≠0，那么對(duì)任意1≤j≤dimE(μi)，DuF(u*)在Xij上負(fù)特征根的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)H(μi)<0.

引理6.1[7-8]假設(shè)對(duì)任意的i≥0，矩陣μiI-D-1Gu(u*)是非奇異的，則

index(F(·)，u*)=(-1)σ，

這里

這個(gè)結(jié)論表明σ和γ奇偶性是相同的.為了計(jì)算(F(·)，u*)的指數(shù)，需要考慮H(μi)的符號(hào).直接計(jì)算得

det{μD-Gu(u*)}=A3(d3)μ3+A2(d3)μ2+A1(d3)μ-detGu(u*)?A(d3；μ).

(7)

其中：

A3(d3)=d1d2d3，A2(d3)=-a11d2d3-a22d1d3，

A1(d3)=a11a22d3-a13a31d2-a12a21d3.

計(jì)算得

如果參數(shù)Λ，d1，d2滿(mǎn)足a11d2+a22d1<0，能得到以下命題：

(8)

如果a11a22-a12a21<0，則

(9)

如果a11a22-a12a21>0，則

(10)

定理6.1假設(shè)參數(shù)Λ，di，i=1，2是固定的，a11>0，且滿(mǎn)足下面的條件之一：

則存在一個(gè)正數(shù)D3，使得當(dāng)d3≥D時(shí)系統(tǒng)(2)至少存在一個(gè)非常值正解.

證明如果a11a22-a12a21<0，由引理6.2知存在一個(gè)正常數(shù)D3，使得d3≥D3，且

(11)

(12)

則u是系統(tǒng)(2)的一個(gè)非常值解，當(dāng)且僅當(dāng)它是系統(tǒng)(12)當(dāng)t=1時(shí)的一個(gè)正解.顯然u*是系統(tǒng)(12)對(duì)任意0≤t≤1唯一的正解.對(duì)任意的0≤t≤1，u是系統(tǒng)(12)的一個(gè)正解，當(dāng)且僅當(dāng)

F(t；u)?u-(I-Δ)-1{D-1(t)G(u)+u}=0

在X+上成立.

顯然F(1；u)=F(u)，定理5.1表明當(dāng)F(0；u)=F(u)=0時(shí)，u*在X+中有唯一的正解

DuF(t；u*)=I-(I-Δ)-1{D-1(t)Gu(u*)+I}.

特別地，

DuF(1；u*)=I-(I-Δ)-1{D-1Gu(u*)+I}=DuF(u*).

(13)

根據(jù)(9)，(11)與(13)式，

(14)

由引理6.2，

index(F(1；·)，u*)=(-1)γ=(-1)σn=-1.

(15)

如果a11a22-a12a21>0，由引理6.2知存在一個(gè)正常數(shù)D3，使得當(dāng)d3≥D3成立且

(16)

根據(jù)(10)，(13)及(16)式，

(17)

由引理6.2，

index(F(1；·)，u*)=(-1)γ=(-1)σn=-1.

同理

index(F(0；·)，u*)=(-1)01.

(18)

由定理3.1知存在一個(gè)正常數(shù)C，使得對(duì)任意的0≤t≤1，方程(13)的正解滿(mǎn)足C-1

deg(F( 1；·)，0，B(c))=deg(F(0；·)，0，B(c)).

(19)

另一方面，由假設(shè)，方程F(1；u)=0和F(0；u)=0在B(c)上有唯一的正解，因此由(15)和(18)式，

deg(F( 0；·)，0，B(c))=index(F(0；·)，0，u*)=(-1)0=1，

deg(F( 1；·)，0，B(c))=index(F(1；·)，0，u*)=(-1)0=-1.

這與(19)式矛盾，定理證畢.

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 葉其孝，李正元，王明新，等.反應(yīng)擴(kuò)散方程引論[M].北京：科學(xué)出版社，2011：38-176.

[2] PENG R，WANG M X.Positive steady states of the Holling-Tanner prey-predator model with diffusion[J].Proc Roy Soc Edinburgh Sect A，2005，135：149-164.

[3] PANG P Y，WANG M X.Non-constant positive steady-states of a predator-prey system with non-monotonic functional response and diffusion[J].Proc London Math Soc，2004，88(3)：135-157.

[4] VANGE RICHARD R.Predation and resource partitioning in one predator-two prey modle communities[J].The American Naturalist，1978，112：797-813.

[5] LIN C S，NI W M，TAKAI I.Large amplitude stationary solutions to a chemotaxis systems[J].J Differential Equations，1988，72：1-27.

[6] LOU Y，NI W M.Diffusion self-diffusion and cross-diffusion[J].J Differential Equations，1996，131：79-131.

[7] KO W，RYU K.Qualitative analysis of a predator-prey model with Holling type Ⅱ：functional response incorporating a prey refuge[J].J Differential Equations，2006，231：534-550.

[8] HENRY D.Geometric theory of semilinear parabolic equations[M].Berlin：Springer-Verlag，1993：8-137.