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        半正定極因子的擾動(dòng)界

        2018-06-27 07:51:56涂媛媛尚旭東
        關(guān)鍵詞:范數(shù)泰州廣義

        涂媛媛,尚旭東

        (南京師范大學(xué)泰州學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)與應(yīng)用學(xué)院,江蘇 泰州 225300)

        1 預(yù)備知識(shí)

        文獻(xiàn)[1]給出矩陣廣義極酉分解兩個(gè)擾動(dòng)界,該成果改進(jìn)了陳小山和黎穩(wěn)[2-3]的相關(guān)結(jié)論.本文利用廣義極分解及奇異值分解的方法,提出F范數(shù)及2-范數(shù)下新的擾動(dòng)界,改進(jìn)了已知結(jié)論.

        定義1.1[4]設(shè)A∈Cm×n有分解

        A=QH,

        (1)

        若Q∈Cm×n是次酉矩陣,H∈Cn×n為半正定陣,則這一分解叫作A的廣義極分解.

        (2)

        (3)

        則A=QH是A的廣義極分解.

        矩陣的廣義極分解不唯一,從而給問(wèn)題的研究以及實(shí)際應(yīng)用帶來(lái)了困難.下面定理的限制條件,可使廣義極分解唯一.

        R(QH)=R(H)

        (4)

        的限制下,A的廣義極因子Q,H唯一確定,并由(3)式給出.

        (5)

        (6)

        (7)

        (8)

        ‖Aij‖≤‖A‖,‖B‖≤‖A‖,‖C‖≤‖A‖,‖D‖≤‖A‖,

        其中i,j=1,2.

        Δ=[α,β]?R,Δ′=R(α-δ,β+δ),δ>0.

        2 主要結(jié)果

        (9)

        則S,T為酉陣.由引理1.1有

        (10)

        同理可得

        (11)

        應(yīng)用引理1.1—1.2及(10)—(11)式,

        (12)

        另一方面,由(12)式可得

        注1當(dāng)引理1.3中的酉不變范數(shù)取為F范數(shù)時(shí),

        (13)

        比較(13)與(9)式有

        因而定理2.1在酉不變范數(shù)取為F范數(shù)的情況下改進(jìn)了文獻(xiàn)[1]中定理3.1的結(jié)果.

        (14)

        由引理1.4,

        而文獻(xiàn)[1]中(3.6)式為

        顯然,本文的結(jié)果改善了文獻(xiàn)[1]中推論3.1的結(jié)果.

        注3在一定條件下,本文定理2.2的結(jié)果也改善了文獻(xiàn)[4]中的著名估計(jì)

        (15)

        (16)

        由此得

        (17)

        (18)

        (19)

        由(17)式及引理1.4可得

        由(18),(19)式得

        注4當(dāng)酉不變范數(shù)取為2-范數(shù)時(shí),文獻(xiàn)[1]中定理3.1結(jié)果為

        (20)

        [參 考 文 獻(xiàn)]

        [1] HONG X L,MENG L S,ZHENG B.Some new perturbation bounds of generalized polar decomposition[J].Applied Mathematics and Computation,2014,233(10):430-438.

        [2] CHEN X,LI W.Variations for the Q-& H-factors in the polar decomposition[J].Calcolo,2008,45(2):99-109.

        [3] LI W.On the perturbation bound in unitarily invariant norms for subunitary polar factors[J].Linear Algebra and its Applications,2008,429(2/3):649-657.

        [4] 孫繼廣,陳春暉.廣義極分解[J].計(jì)算數(shù)學(xué),1989(3):262-273.

        [5] LI W.Some new perturbation bounds for subunitary polar factors[J].Acta Math Sinica,2005(6):1515-1520.

        [6] 孫繼廣.矩陣擾動(dòng)分析[M].第二版.北京:科學(xué)出版社,2001:72-95.

        [7] DAVIS C,KAHAN W M.The rotation of eigenvectors by a perturbation[J].SIAM J Numer Anal,1986(7):1160-1174.

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