張思進 王緊業(yè) 文桂林

(湖南大學(xué)機械與運載工程學(xué)院,長沙 410082)

引言

非光滑動力學(xué)系統(tǒng)以其表現(xiàn)出的與光滑系統(tǒng)截然不同的動力學(xué)特性而備受學(xué)者關(guān)注.其中,齒輪系統(tǒng)就是典型的分段線彈性碰振系統(tǒng),具有非常復(fù)雜的非光滑動力學(xué)特性.眾所周知,齒輪系統(tǒng)是各類機械設(shè)備的主要傳動裝置,齒輪系統(tǒng)的動力學(xué)特性直接影響著機械設(shè)備的工作穩(wěn)定性能和可靠性,因此研究齒輪系統(tǒng)碰振動力學(xué)意義重大.

王建平[1]等人以含有動態(tài)剛度、傳遞誤差和齒側(cè)間隙的直齒輪系統(tǒng)為研究對象,齒側(cè)間隙擬合成3次多項式的形式,分析齒輪系統(tǒng)在參數(shù)激勵、內(nèi)部激勵和外部激勵共同作用下的組合共振特性.Natsiava[2]等人研究了具有時變系數(shù)及弱非線性特性的齒輪副系統(tǒng),運用經(jīng)典的攝動分析方法,消去久期項確定了周期解的存在,并驗證了周期解的穩(wěn)定性.祁常君等人[3]研究了齒側(cè)間隙和隨機齒側(cè)間隙兩種情況對齒輪系統(tǒng)的動力學(xué)影響.張晨旭[4]等將間隙分段函數(shù)擬合為光滑函數(shù),對比了擬合后齒輪傳動系統(tǒng)與原非光滑系統(tǒng)的動力學(xué)行為.有關(guān)多自由度齒輪系統(tǒng)的更多文獻見[5-9],這些文獻更多的是用數(shù)值模擬或擬合多項式方法來處理分段函數(shù)對齒輪系統(tǒng)的影響,而從非光滑動力學(xué)理論的高度來研究齒輪系統(tǒng)動力學(xué)特性的工作相對較少.

本文將齒輪系統(tǒng)中的間隙函數(shù)直接視為分段線性函數(shù),不做多次項擬合處理,因而能更好反應(yīng)齒輪系統(tǒng)的實際嚙合狀況.通過拓展Melnikov方法使其適用于分段連續(xù)函數(shù),并借助該方法分析了系統(tǒng)全局異宿軌道分岔的條件.然后,求得每個分段方程的解析通解并以切換面作為Poincaré截面,進一步建立了分段光滑動力學(xué)系統(tǒng)的Poincaré映射.通過對組合映射的分析,確定了系統(tǒng)周期碰振運動的穩(wěn)定性.最后,運用數(shù)值方法模擬了阻尼,彈簧剛度及外部激勵對系統(tǒng)周期解及復(fù)雜混沌運動的影響.

1 系統(tǒng)運動微分方程

假定齒輪系統(tǒng)的傳動軸為剛性且考慮支撐軸的扭振,建立如圖1所示一個等效的主動輪單自由度簡化模型,主動輪的轉(zhuǎn)動慣量等特性等效為質(zhì)塊M,與從動輪嚙合時剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)均發(fā)生改變(從動輪未給出),這里僅分析主動輪的運動狀態(tài).質(zhì)量為M的主動輪由等效剛度系數(shù)為K1的線性彈簧和等效阻尼系數(shù)為C的阻尼器連接于支撐板,同時受簡諧激力PcosΩτ的作用在水平方向移動.以輪齒之間的間隙中點建立坐標系,當質(zhì)量塊的位移等于B時,將會與剛度為K2的彈簧(右邊)接觸即齒輪開始嚙合,一段時間后嚙合開始分離,然后質(zhì)塊M位移等于-B時再與剛度為K2的彈簧(左邊)接觸,如此反復(fù)嚙合運動.

圖1 含間隙彈性約束齒輪系統(tǒng)嚙合的簡化模型Fig.1 Simplified model of restrain gear system with clearance

圖示主動輪的運動微分方程可表示如下：

(1)

式中：

(2)

對方程(1)和(2)進行無量綱化處理,形式如下：

(3)

(4)

因此,可得:

(5)

圖2 分段函數(shù)表達式Fig.2 Expression of the piecewise function

圖2表示齒輪副嚙合接觸前后引起的輪齒間彈性力的變化過程.可見,齒輪系統(tǒng)的嚙合過程是典型的分段光滑動力學(xué)行為,會呈現(xiàn)出復(fù)雜的倍周期分岔和混沌等非線性動力學(xué)現(xiàn)象.

2 異宿軌道Melnikov全局分析方法

這里研究的齒輪嚙合系統(tǒng)中含有分段函數(shù),導(dǎo)致Melnikov方法不能很好的應(yīng)用于非光滑動力學(xué)系統(tǒng)當中.因此,必須對Melnikov函數(shù)進行相應(yīng)的拓展以適應(yīng)非光滑系統(tǒng).首先將系統(tǒng)(3)的未擾系統(tǒng)(令ε=0)重新整理為如下形式：

(6)

這里,分段Hamilton函數(shù)可以表達為如下形式：

當x≤-b時,分段系統(tǒng)的Hamilton函數(shù)為：

(7)

當|x|

(8)

當x≥b時,分段系統(tǒng)的Hamilton函數(shù)為：

(9)

通過計算可知,系統(tǒng)(6)存在著三個平衡點,其中(0,0)為中心型,(±βb/(1+β),0)為鞍點型.因此,系統(tǒng)(6)存在著如圖 3所示的分段非光滑異宿軌道.

圖3 未擾異宿軌道示意圖Fig.3 Heteroclinic orbit of the unperturbed system

由圖3知系統(tǒng)的非光滑異宿軌道具有對稱的特性,這里只考慮y>0的情況.因此,分段形式的異宿軌道表達式如下：

當x≤-b時,

(10)

當|x|

(11)

當x≥b時,

(12)

上述3段非光滑分段異宿軌道把鞍點(±βb/(1+β),0)的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形鏈接在一起如圖 4,ε表示小的數(shù)量級.系統(tǒng)中的異宿軌道是接下來要研究的主要問題.

圖4 擾動系統(tǒng)的穩(wěn)定流形與不穩(wěn)定流形Fig.4 Stable and unstable mainfold of perturbed system

(13)

(14)

假設(shè):

(15)

其導(dǎo)數(shù)在光滑條件下成立(即離開切換面時),

(16)

由此我們可以定義以下能量函數(shù)：

(17)

因此,可得:

O(ε2)

(18)

其中,

由參考文獻[10]可得分段光滑動力學(xué)系統(tǒng)的Melnikov函數(shù)為：

(19)

依據(jù)動力學(xué)系統(tǒng)的Melnikov理論[11-12],系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的參數(shù)條件為：

(20)

方程(20)定義的臨界線將參數(shù)區(qū)域(εf,ω)分為周期區(qū)域和非周期區(qū)域如圖5.其中,位于水平線(f=0)下方的取值表示外激勵力的方向與規(guī)定的正方向相反.當εf的取值位于分界線的非周期區(qū)域時,系統(tǒng)可能會出現(xiàn)混沌運動的狀態(tài)；εf的取值位于分界線的周期區(qū)域時,系統(tǒng)的運動狀態(tài)呈現(xiàn)出有規(guī)律的周期特性.為了驗證上述結(jié)論,這里選取分別位于周期區(qū)域的A點、C點和位于非周期區(qū)域的B和D點進行數(shù)值仿真,并逐一列出了四個點的相圖,如圖6所示.

圖5 全局異宿分岔的參數(shù)域Fig.5 Parametric regions of global heteroclinic bifurcation

圖6 臨界線取點對應(yīng)的系統(tǒng)相圖Fig.6 Phase portrait of the points above/under the critical line

改變外激勵頻率和外激勵力的取值,觀察齒輪系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特性.從圖6((a)-(d))四幅圖中可以得知：A點取值ω=0.85,f=2.6時,系統(tǒng)呈現(xiàn)出單倍周期運動狀態(tài)；改變頻率和激勵力的取值為ω=0.6,f=0.3,(b)相圖表明此時系統(tǒng)處于復(fù)雜的混沌狀態(tài)；然而,當位于C點處的取值為ω=1.36,f=0.4時,相圖(c)表明系統(tǒng)處于四倍周期運動狀態(tài)；頻率進一步增加時,D點處的相圖最終通向了混沌運動如圖(d).可見,參數(shù)ω,f發(fā)生變化時,齒輪系統(tǒng)表現(xiàn)出周期運動和混沌運動交替出現(xiàn)的規(guī)律.

3 周期運動穩(wěn)定性分析

3.1 分段方程的解析通解

方程(3)在各分段條件下的解析解[13-14]如下：

x(t)= e-μ(t-t0)[c1cosη(t-t0)+c2sinη(t-t0)]+

Acosω(t+t0)+Bsinω(t+t0)

(21)

e-μ(t-t0)(-μc1+ηc2)cosη(t-t0)-

e-μ(t-t0)(ηc1+μc2)sinη(t-t0)

(22)

c1=b-Acost0-Bsint0,

c2=(y0+Aωsint0-Bωcost0+μc1)/η.

Ccos(ωt+t1)+Dsin(ωt+t1)

(23)

(24)

其中,

c3=x1-Ccost1-Dsint1-βb/(1+β)

x≤-b時與上述情況類似,這里不再給出詳細的通解表達式.

3.2 Poincaré映射及穩(wěn)定性分析

將分段解的表達式結(jié)合起來,利用區(qū)域與區(qū)域間的邊界條件,即可建立系統(tǒng)運動的Poincaré映射關(guān)系[15-16],從而得到系統(tǒng)的周期解進而分析其運動穩(wěn)定性.首先,我們構(gòu)造了質(zhì)量塊M與右邊彈簧的映射關(guān)系,P1表示物塊M與右邊彈簧發(fā)生碰撞時的接觸狀態(tài),P2表示物塊M與右邊彈簧碰撞完成后的脫離狀態(tài).

圖7 切換面及基本映射關(guān)系圖Fig.7 Relationship between witching planes and basic mappings

映射關(guān)系P1可以由式(21)和(22)構(gòu)造:

e-μ(t-t0)[c1cosη(t-t0)+c2sinη(t-t0)]+

Acosω(t+t0)+Bsinω(t+t0)-b=0

(25)

e-μ(t-t0)(-μc1+ηc2)cosη(t-t0)-

e-μ(t-t0)(ηc1+μc2)sinη(t-t0)

(26)

映射關(guān)系P2可以由式(23)和(24)構(gòu)造:

Ccos(ωt+t1)+Dsin(ωt+t1)-b=0

(27)

(28)

同理可以得到質(zhì)量塊M與左邊彈簧的映射關(guān)系P3和P4以及映射表達式,這里不再詳細列出.

因此Poincaré映射可以表示為：

DP=DP1·DP2·DP3·DP4

(29)

為了討論此新系統(tǒng)周期碰振運動的穩(wěn)定性,我們還需要計算Poincaré映射P在不動點處的Jacobi矩陣.依據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)法則,其線性化矩陣可以由下面的表達式得到(因表達式過于復(fù)雜,本文略去詳細結(jié)果)：

(30)

根據(jù)(30)式在不動點處的特征根,我們可以得到系統(tǒng)周期運動的穩(wěn)定性.數(shù)值仿真得到質(zhì)量塊M與左、右邊彈簧接觸和外激勵共同作用下的整體運動特性見下圖.

圖8 雙邊碰振時系統(tǒng)的周期1相圖Fig.8 Period-1 phase portrait of bilateral impact

圖9 雙邊碰振時系統(tǒng)的周期4相圖Fig.9 Period-4 phase portrait of bilateral impact

圖10 全局混沌運動相圖Fig.10 Global phase diagram of chaotic motion

取值β=0.8及間隙b=1不變,阻尼μ=0.32時可以得到質(zhì)量塊M與左右兩邊的彈簧發(fā)生碰撞,齒輪系統(tǒng)的運動狀態(tài)處于穩(wěn)定的單周期運動如圖8所示；減小阻尼值,當阻尼位于μ=0.24附近時相圖變?yōu)閳D9所示的閉合曲線,系統(tǒng)由穩(wěn)定的單周期運動變?yōu)榱朔€(wěn)定的周期四運動；阻尼值繼續(xù)減小到0.13,此時平面相圖變成了比較雜亂的曲線,齒輪系統(tǒng)已經(jīng)由穩(wěn)態(tài)狀態(tài)進入了混沌響應(yīng)特性.由上述分析可知,適當?shù)目刂谱枘嵯禂?shù)μ的值,可以避免齒輪系統(tǒng)出現(xiàn)多周期運動和混沌運動的情形.

4 結(jié)論

建立齒輪副主動輪的單自由度非線性動力學(xué)模型,并將齒輪系統(tǒng)中的間隙函數(shù)視為分段線性函數(shù),在此基礎(chǔ)上研究含間隙齒輪系統(tǒng)碰振的全局特性及周期運動的穩(wěn)定性,更好地反應(yīng)齒輪的實際嚙合狀況.

(1)通過拓展Melnikov方法使其適用于分段連續(xù)函數(shù),并借助該方法分析了系統(tǒng)異宿軌道的全局運動,得到了全局異宿軌道分岔的條件.

(2)建立分段非光滑動力學(xué)系統(tǒng)的Poincaré映射,分析了系統(tǒng)的簡單周期碰振運動的穩(wěn)定性.

(3)運用數(shù)值方法計算分岔圖中不同區(qū)域參數(shù)對應(yīng)的相圖.得到系統(tǒng)相應(yīng)的運動軌線,驗證Melnikov方法分析分段非光滑系統(tǒng)的有效性.

1王建平,王玉新. 運用多尺度法對齒輪系統(tǒng)組合共振特性的分析. 西安理工大學(xué)學(xué)報, 2005,21(1):5～10 (Wang J P, Wang Y X. Combination resonance of spur gear system analyzed using multi-scale approach.JournalofXi′anUniversityofTechnology, 2005,21(1):5～10 (in Chinese))

2Natsiavas S, Theodossiades S, Goudas I. Dynamic analysis of piecewise linear oscillators with time periodic coefficients.InternationalJournalofNon-LinearMechanics, 2000,35(1):53～68

3祁常君,茍向鋒,陳代林. 隨機齒側(cè)間隙的齒輪系統(tǒng)非線性動力學(xué)分析. 蘭州交通大學(xué)學(xué)報, 2014,33(3):54～58 (Qi C J, Gou X F, Chen D L. Nonlinear dynamic analysis of the gear system with stochastic backlash.JournalofLanzhouJiaotongUniversity, 2014,33(3):54～58 (in Chinese))

4張晨旭,楊曉東,張偉. 含間隙齒輪傳動系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特性的研究. 動力學(xué)與控制學(xué)報, 2016,14(2):115～121 (Zhang C X, Yang X D, Zhang W. Study on non-linear dynamics of gear transmission system with clearance.JournalofDynamicsandControl, 2016,14(2):115～121 (in Chinese))

5Rocca E, Russo R. Theoretical and experimental investigation into the influence of the periodic backlash fluctuations on the gear rattle.JournalofSoundandVibration, 2011,330(20):4738～4752

6Li Z, Peng Z. Nonlinear dynamic response of a multi-degree of freedom gear system dynamic model coupled with tooth surface characters: a case study on coal cutters.NonlinearDynamics, 2015,84(1):271～286

7Guerine A, El Hami A, Walha L, et al. A polynomial chaos method for the analysis of the dynamic behavior of uncertain gear friction system.EuropeanJournalofMechanics-A/Solids, 2016,59:76～84

8Liu H, Zhang C, Xiang C L, et al. Tooth profile modification based on lateral- torsional-rocking coupled nonlinear dynamic model of gear system.MechanismandMachineTheory, 2016,105:606～619

9Wei S, Han Q, Peng Z, et al. Dynamic analysis of parametrically excited system under uncertainties and multi-frequency excitations.MechanicalSystemsandSignalProcessing, 2016,72:762～784

10 Li S, Zhang W, Hao Y. Melnikov-Type Method for a Class of Discontinuous Planar Systems and Applications.InternationalJournalofBifurcationandChaos, 2014,24(2):1～10

11 張思進,文桂林,王緊業(yè)等. 碰振準哈密頓系統(tǒng)局部亞諧軌道的Melnikov方法. 振動工程學(xué)報, 2016,29(2):214～219 (Zhang S J, Wen G L, Wang J Y, et al. The Melnikov′s method for local-subharmonic orbits of a vibro-impact quasi-Hamiltonian system.JournalofVibrationEngineering, 2016,29(2):214～219 (in Chinese))

12 Zhang S J, Ji D S, Wen G L, et al. Analysis of Global Subharmonic Orbits of a Vibro-Impact Quasi-Hamiltonian System with the Melnikov′s Method.DynamicsofContinuous,DiscreteandImpulsiveSystems,SeriesB:Applications&Algorithms, 2015,22(1):69～84

13 Luo A C J. The mapping dynamics of periodic motions for a three-piecewise linear system under a periodic excitation.JournalofSoundandVibration, 2005,283(5):723～748

14 趙文禮,王林澤. 機械振動系統(tǒng)隨機疲勞和間隙非線性. 北京:科學(xué)出版社, 2006 (Zhao W L, Wang L Z. Random fatigue of mechanical vibration system and backlash nonliearity. Bejing: Science Press, 2006 (in Chinese))

15 Zhang S J, Wen G L, Peng F, et al. Analysis of limit cycle oscillations of a typical airfoil section with freeplay.ActaMechanicaSinica, 2013,29(4):583～592

16 尹磊磊,張思進,文桂林等. 間隙約束二元翼段系統(tǒng)分岔與多解共存現(xiàn)象分析. 航空動力學(xué)報, 2014,29(6):1410～1416 (Yin L L, Zhang S J, Wen G L, et al. Analysis on the system bifurcation and coexistence of multiple solutions for typical airfoil section with freeplay.JournalofAerospacePower, 2014,29(6):1410～1416 (in Chinese))