田攀 ，周航 ，尹鋒 ，李建斌

(1. 重慶大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶，400045；2. 重慶大學(xué) 山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶，400045)

圓柱孔擴(kuò)張理論自1972年VESIC[1]將其用于樁基承載力問(wèn)題之后，便在巖土工程領(lǐng)域包括土體原位試驗(yàn)、隧道開(kāi)挖、錨桿和樁基礎(chǔ)承載力等實(shí)際問(wèn)題中得到了廣泛的應(yīng)用[2]。BUTTERFIED等[3]提出了平面應(yīng)變條件下的柱孔擴(kuò)張理論；蔣明鏡等[4]基于統(tǒng)一強(qiáng)度理論和體積平衡原理，研究了應(yīng)變軟化Tresca材料的擴(kuò)孔問(wèn)題；賈尚華等[5]研究了砂土中柱孔擴(kuò)孔理論中的擴(kuò)孔壓力與擴(kuò)孔半徑分布分析；肖昭然等[6?7]研究了飽和土體中圓柱孔擴(kuò)張問(wèn)題的彈塑性解析解；鄒金峰[8]基于塑性力學(xué)大變形理論，推導(dǎo)了柱孔和球孔擴(kuò)張彈塑性解析解，并利用該解析解計(jì)算了飽和土體的劈裂灌漿壓力；章定文等[9?11]研究了不同初始條件下的柱孔擴(kuò)張彈塑性解析解。在實(shí)際工程問(wèn)題中，常見(jiàn)的飽和軟黏土土在擴(kuò)孔作用下通常表現(xiàn)為Tresca材料特性[12]。EINAV等[13]分析樁體貫入試驗(yàn)中的貫入阻力發(fā)現(xiàn)：由于樁體剛度和周圍土體剛度相差巨大，從而強(qiáng)大的擠壓作用將會(huì)使樁周土體實(shí)際的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系與理想的Tresca應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系有差別，呈現(xiàn)出時(shí)間效應(yīng)；DAYAL等[14]根據(jù)拉伸試驗(yàn)得出土體的峰值強(qiáng)度比土體強(qiáng)度高5%~20%，呈現(xiàn)出應(yīng)變率效應(yīng)；梁發(fā)云等[15]研究了Tresca材料考慮應(yīng)變軟化特性的擴(kuò)孔解析解?；谝陨戏治隹芍m然基于Tresca屈服準(zhǔn)則的擴(kuò)孔理論有很多，但是目前的解答均未考慮土體的率效應(yīng)和土體強(qiáng)度軟化作用，為此，本文作者提出一種考慮土體應(yīng)變率和強(qiáng)度軟化的擴(kuò)孔理想彈塑性解。

1 理論模型的建立

1.1 基本假設(shè)

1)圓孔周圍土體為各向同性的飽和土體，土體初始各向同性應(yīng)力為σ0。

2)彈性區(qū)土體應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系服從胡克定律。

3)柱孔擴(kuò)張服從平面應(yīng)變。

4)對(duì)于不排水的飽和黏土，在孔擴(kuò)張過(guò)程中，土體的體積應(yīng)變始終為0。

5)孔洞邊界變化率均勻變化。

圖1所示為無(wú)限飽和土體中柱孔擴(kuò)張示意圖。

1.2 方程的建立

1.2.1 塑性區(qū)應(yīng)力

柱孔擴(kuò)張理論下的應(yīng)力平衡方程為

式中：σr和σθ分別為極坐標(biāo)系下的徑向應(yīng)力以及切向應(yīng)力；r為塑性區(qū)半徑。

理想彈塑性Tresca屈服條件為

式中：su為不排水抗剪強(qiáng)度。

將式(2)代入式(1)，平衡方程改寫為

圖1 柱孔擴(kuò)張F(tuán)ig. 1 Cylindrical cavity expansion

根據(jù)基本假定，在塑性區(qū)無(wú)體積變化，即

將式(4)兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得

式中：r0為初始塑性區(qū)半徑；a0和a分別為初始圓孔半徑和擴(kuò)孔后圓孔半徑，ZHOU等[16]指出貫入儀器直徑為初始圓孔直徑，而貫入儀器直徑為40~150 mm，故取初始圓孔直徑a0=100 mm；和分別為徑向坐標(biāo)的變化率和孔洞邊界的變化率，取

在塑性區(qū)的環(huán)向應(yīng)變同時(shí)符合指數(shù)原則：

將式(4)和(5)代入式(6)得

EINAV等[13]指出土體抗剪強(qiáng)度會(huì)受到土體應(yīng)變率和土體強(qiáng)度退化的影響，存在如下關(guān)系：

式中：ξ為在高斯點(diǎn)處的累積塑性剪應(yīng)變；su0為初始剪切強(qiáng)度；μ為應(yīng)變率系數(shù)，且BISCONTIN等[17]指出μ為0.05~0.30；為最大剪應(yīng)變率的絕對(duì)值；為參考點(diǎn)剪切應(yīng)變率；ξ95和δrem為強(qiáng)度軟化系數(shù)，其中δrem為土體靈敏度的倒數(shù)；ξ95為土體強(qiáng)度退化到95%的累積塑性剪應(yīng)變。

累積塑性剪應(yīng)變?chǔ)螢?/p>

由于孔擴(kuò)張過(guò)程中土體不排水(體應(yīng)變?yōu)?)，從而有εr=-εθ，因此，ξ可以寫成

將式(4)和(6)代入式(10)得

在彈塑性交界處塑性剪應(yīng)變?chǔ)蝏為

由式(12)可得：塑性區(qū)半徑rb為

另外，最大剪切應(yīng)變率同樣存在如下關(guān)系：

將式(7)代入式(14)化簡(jiǎn)得

將式(11)和(15)代入式(8)，su可改寫為

當(dāng)r=rb時(shí)，將式(13)代入式(16)得彈塑性交界處su,b為

由式(17)可以確定彈塑性區(qū)交界處土體強(qiáng)度su,b，從而根據(jù)方程(13)可以確定塑性區(qū)半徑。

將式(16)代入式(3)后，積分變形可得

式中：i為正整數(shù)；A為常數(shù)。

當(dāng)r=a時(shí)，由式(18)可得擴(kuò)孔后的孔壁壓力σa為

將方程(16)代入方程(19)，可得σa：

式(20)可以通過(guò)數(shù)值積分獲得解答。

由式(2)和(18)可得塑性區(qū)應(yīng)力分布：

式中：a≤r≤rb。

式(21)和(22)同樣可以通過(guò)數(shù)值積分獲得解答。

1.2.2 彈性區(qū)應(yīng)力

根據(jù) CARTER等[18]對(duì)于不排水的飽和黏土中的擴(kuò)張理論，其彈性解為：

2 理論模型的驗(yàn)證

SHUTTLE[19]基于 Tresca屈服準(zhǔn)則提出了一種理想柱孔擴(kuò)張彈塑性解，為了驗(yàn)證本文解的正確性，取μ=0，δrem=1，即在不考慮應(yīng)變率和強(qiáng)度軟化下，本文解與Shuttle解對(duì)比結(jié)果如圖2和圖3所示。從圖2和圖3可知：在不考慮應(yīng)變率和強(qiáng)度軟化情況下，本文孔壁正應(yīng)力以及應(yīng)力沿徑向分布解析解與 Shuttle解相吻合，驗(yàn)證了本文解的合理性。

從圖 2可以看出：當(dāng)μ=0.3，δrem=0.2，ξ95=50，G/su0=330，即考慮應(yīng)變率和強(qiáng)度軟化影響時(shí)，由于受應(yīng)變的影響，歸一化的柱孔孔壁壓力比未考慮時(shí)的要大，且孔壁壓力隨著擴(kuò)孔半徑的增加，孔壁壓力可分為快速變化區(qū)、緩變區(qū)和衰減區(qū)3個(gè)區(qū)域：當(dāng)擴(kuò)孔半徑小于1.5倍初始半徑時(shí)，孔壁壓力處于快速變化區(qū)，當(dāng)擴(kuò)孔半徑超過(guò) 2.5倍初始半徑時(shí)，由于受強(qiáng)度軟化參數(shù)的影響，孔壁壓力處于衰減區(qū)，其余區(qū)域?qū)儆诰徸儏^(qū)，其孔壁壓力隨著擴(kuò)孔半徑的增加緩慢變化。從圖3還可得到：離孔壁越遠(yuǎn)，徑向應(yīng)力越小，切向應(yīng)力先減小后增加再減小，在塑性區(qū)其應(yīng)力方向會(huì)發(fā)生改變，考慮應(yīng)變率和強(qiáng)度軟化時(shí)的彈塑性分界位置位于未考慮應(yīng)變率和強(qiáng)度軟化的左側(cè)，說(shuō)明考慮應(yīng)變率和強(qiáng)度衰減后，其塑性區(qū)范圍將會(huì)減小，同時(shí)在塑性區(qū)范圍內(nèi)，其徑向應(yīng)力和切向應(yīng)力的強(qiáng)度變化率較未考慮時(shí)的要大。而在彈性區(qū)，考慮應(yīng)變率和強(qiáng)度軟化的曲線與未考慮時(shí)的重合。由以上分析可知：土體應(yīng)變和強(qiáng)度軟化將會(huì)影響擴(kuò)孔理想彈塑性解析解。

圖2 歸一化的孔壁壓力隨著擴(kuò)孔半徑的變化Fig. 2 Variation of normalized cylindrical cavity pressure with cavity expansion radial

圖3 歸一化的徑向應(yīng)力和切向應(yīng)力沿著徑向分布Fig. 3 Normalized radial and circumference stress along radial distance

3 參數(shù)分析

3.1 剛度系數(shù)G/su0對(duì)擴(kuò)孔彈塑性解的影響

圖4所示為歸一化的圓柱孔壁壓力隨著剛度系數(shù)的變化，其中，μ=0.15，δrem=0.2，ξ95=10。從圖 4可以看出：隨著擴(kuò)孔半徑增加，孔壁壓力先快速增加，然后緩慢變化，最后當(dāng)擴(kuò)孔半徑超過(guò)初始半徑的3倍時(shí)，孔壁應(yīng)力保持不變；同時(shí)，隨著剛度系數(shù)G/su0的增加，孔壁應(yīng)力將會(huì)變大，且變化幅度呈現(xiàn)減小趨勢(shì)。由于剛度系數(shù)反映土體抵抗剪切變形能力，說(shuō)明土體抗剪強(qiáng)度將會(huì)對(duì)考慮應(yīng)變率和強(qiáng)度軟化的擴(kuò)孔孔壁應(yīng)力造成影響。

圖4 歸一化的孔壁壓力隨著G/su0的變化Fig. 4 Variation of normalized cylindrical cavity pressure with G/su0

3.2 應(yīng)變率系數(shù)μ對(duì)擴(kuò)孔彈塑性解的影響

歸一化的孔壁壓力、徑向應(yīng)力和切向應(yīng)力分布隨μ的變化分別如圖 5和圖 6所示，其中，δrem=0.2，ξ95=50，G/su0=330。從圖 5可得：隨著應(yīng)變率系數(shù)μ的增加，孔壁壓力也相應(yīng)增大，孔壁壓力的增長(zhǎng)幅度與應(yīng)變率系數(shù)μ的增長(zhǎng)幅度基本一致，同時(shí)，當(dāng)應(yīng)變率系數(shù)μ=0.3時(shí)，當(dāng)擴(kuò)孔半徑超過(guò)2.5倍初始半徑時(shí)，其位于衰減區(qū)的孔壁應(yīng)力呈現(xiàn)下降趨勢(shì)，即孔壁處應(yīng)力呈現(xiàn)應(yīng)力軟化現(xiàn)象。另外，從圖5還可以得出：應(yīng)變率系數(shù)μ越大，孔壁處強(qiáng)度軟化現(xiàn)象越明顯，且只有當(dāng)擴(kuò)孔半徑需要超過(guò)2.5倍初始半徑時(shí)，才能夠在塑性區(qū)呈現(xiàn)出這種現(xiàn)象。

圖5 歸一化的孔壁壓力隨著μ的變化Fig. 5 Variation of normalized cylindrical cavity pressure with μ

圖6 歸一化的徑向、切向應(yīng)力分布隨μ的變化Fig. 6 Variation of normalized radial and circumference stress with μ along radial distance

從圖6可以得出：應(yīng)變率系數(shù)μ越大，其徑向應(yīng)力和切向應(yīng)力的彈塑性邊界越靠近孔壁，即塑性區(qū)范圍將會(huì)越小。同時(shí)，分析塑性區(qū)應(yīng)力可得：由于應(yīng)變率系數(shù)μ將會(huì)提高孔壁峰值應(yīng)力，且μ越大，孔壁塑性區(qū)相同位置處，其徑向應(yīng)力和切向應(yīng)力越大。分析塑性區(qū)應(yīng)力變化率可得：μ越大，塑性區(qū)應(yīng)力降低越快，即塑性區(qū)強(qiáng)度軟化越顯現(xiàn)，而位于彈性區(qū)的徑向應(yīng)力和切向應(yīng)力并不會(huì)受到應(yīng)變率系數(shù)μ的影響。

3.3 強(qiáng)度軟化系數(shù)ξ95和δrem對(duì)擴(kuò)孔彈塑性解的影響

圖7和圖8所示分別為歸一化的徑向應(yīng)力和切向應(yīng)力對(duì)強(qiáng)度軟化系數(shù)ξ95和δrem的影響，其中，μ=0.2，G/su0=330。從圖7可知：離孔壁越遠(yuǎn)處，徑向應(yīng)力越小，而切向應(yīng)力先減小，后增大，再減小，同時(shí)切向應(yīng)力在塑性區(qū)方向會(huì)發(fā)生改變。而隨著ξ95增大，在相同位置處，其應(yīng)力也會(huì)變大。從圖7還可以看出：當(dāng)ξ95超過(guò)1時(shí)，強(qiáng)度軟化系數(shù)ξ95對(duì)于應(yīng)力沿著徑向分布的影響很小。ξ95越大，塑性區(qū)越小，但減小的弧度較小。由于ξ95越小，則累計(jì)塑性剪應(yīng)力越小，也就是發(fā)生剪切變形越小，土體呈現(xiàn)壓縮變形，即造成在孔壁附近的切向應(yīng)力較小，而徑向應(yīng)力較大。此外，由于強(qiáng)度軟化系數(shù)越大，塑性區(qū)土體強(qiáng)度軟化越快，從而造成應(yīng)力下降速度越快，而土體屈服強(qiáng)度在不變的情況下，因此，會(huì)造成塑性區(qū)半徑越小，從而越靠近孔壁。

從圖8可以看出：強(qiáng)度軟化系數(shù)越大δrem越大，其孔壁應(yīng)力越大，同時(shí)塑性區(qū)范圍越小，應(yīng)力減小得越快，強(qiáng)度軟化現(xiàn)象表現(xiàn)得更加明顯，同時(shí)δrem增長(zhǎng)得越快，其對(duì)于應(yīng)力分布的影響越小。由于δrem與土體靈敏度呈現(xiàn)倒數(shù)關(guān)系，從而可以推斷在柱孔擴(kuò)張過(guò)程中，土體靈敏度將會(huì)影響土體中應(yīng)力沿著徑向分布。

圖7 歸一化的徑向應(yīng)力和切向應(yīng)力分布隨ξ95的變化Fig. 7 Variation of normalized radial and circumference stress with ξ95 along radial distance

圖8 歸一化的徑向應(yīng)力和切向應(yīng)力分布隨δrem的變化Fig. 8 Variation of normalized radial and circumference stress with δrem along radial distance

4 結(jié)論

1)剛度系數(shù)G/su0越大，孔壁應(yīng)力越大，應(yīng)變率效應(yīng)越明顯。

2)應(yīng)變率系數(shù)μ越大，擴(kuò)孔后，孔壁應(yīng)力越大，塑性區(qū)范圍越小。應(yīng)變率系數(shù)μ越大，強(qiáng)度軟化現(xiàn)象越明顯，同時(shí)，只有當(dāng)擴(kuò)孔半徑超過(guò)初始半徑2.5倍時(shí)，孔壁應(yīng)力才會(huì)表現(xiàn)強(qiáng)度軟化現(xiàn)象。

3)強(qiáng)度軟化系數(shù)ξ95越大、塑性累積應(yīng)變?cè)酱?，?qiáng)度衰減得越快，而強(qiáng)度軟化系數(shù)δrem越大，土體靈敏度越小，強(qiáng)度軟化現(xiàn)象越明顯。

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