◎吳玲芳
不等式和方程都是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型.利用不等式解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是找出不等關(guān)系,列出不等式.但在解一元一次不等式時(shí),有的同學(xué)常因基礎(chǔ)不扎實(shí)、概念不清、粗心大意、方法未掌握、思維定式等原因,在解題過程中頻繁出錯(cuò).下面就一些典型錯(cuò)誤進(jìn)行分析講解.
1.系數(shù)化為1時(shí),兩邊同時(shí)乘或除以同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)方向忘記改變.
【評(píng)析】“不等式的兩邊都乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)的方向改變”沒有牢固掌握,沒有弄清楚等式性質(zhì)和不等式性質(zhì)的區(qū)別,導(dǎo)致解答出錯(cuò).正確的解應(yīng)是x>-9.
2.分子是多項(xiàng)式,去分母時(shí)忽視分?jǐn)?shù)線的括號(hào)功能.
【錯(cuò)解】16+3(y+1)<24-2y-2.
【評(píng)析】分?jǐn)?shù)線不僅代表除號(hào),還有括號(hào)的功能.去分母時(shí),當(dāng)分子是多項(xiàng)式時(shí),各分式的分子必須看成一個(gè)整體.題中去分母時(shí),沒有將分子用括號(hào)括起來導(dǎo)致了錯(cuò)誤.本題的正確解法應(yīng)在去分母時(shí)將y-1用括號(hào)括起來,再去括號(hào),不要跳步驟,正確解為y<.
3.不等式(組)中含有字母,已知不等式(組)的解集,確定所含字母的取值范圍時(shí),錯(cuò)誤頻出.
例3 若不等式組的解集是x>3,則m的取值范圍是 .
錯(cuò)誤一:當(dāng)兩個(gè)不等式一樣時(shí),不等式的解集是x>3,所以m=3.
錯(cuò)誤二:根據(jù)求不等式組解集的口訣“同大取大”可知3比m大,所以m<3.
【評(píng)析】解決本題要借助數(shù)軸.依據(jù)不等式解集的定義:兩個(gè)不等式解集的公共部分是不等式組的解集.先將不含字母的不等式的解集x>3在數(shù)軸上表示出來(圖1).
圖1
然后由不等式組的解集是x>3,可知x>m和x>3的公共部分是x>3,所以m在數(shù)軸上的位置應(yīng)該在3的左邊(圖2).此時(shí)先定下m的大致范圍是m<3.
圖2
最后確定臨界值.當(dāng)m=3時(shí),兩個(gè)解集的公共部分是x>3(圖3),所以臨界值能取到,m≤3.
圖3
【解題策略】先根據(jù)已知信息在數(shù)軸上畫出不含字母的不等式的解集,然后根據(jù)解或解集的情況,畫出含字母的不等式的解集,確定字母的大致范圍,最后討論臨界值能否取到.
4.思維定式造成設(shè)未知數(shù)出錯(cuò).
例4 在“人與自然”的知識(shí)競賽中共有20道題,對(duì)于每一道題,答對(duì)了得10分,答錯(cuò)了或不答扣5分,至少要答對(duì)幾道題,其得分不少于80分?
【錯(cuò)解】設(shè)至少要答對(duì)x道題,由題意得:
10x-5(20-x)≥80.
解得x≥12.
答:至少要答對(duì)12道題.
【評(píng)析】在列不等式解應(yīng)用題中,同學(xué)們?cè)O(shè)未知數(shù)時(shí),往往受列方程解決問題的遷移,沿用求什么設(shè)什么的做法,是錯(cuò)誤的.正確的解法是“設(shè)答對(duì)x道題”.
1.記住表示不等關(guān)系的常用關(guān)鍵詞.
表示不等關(guān)系的常用詞語,有“大于、小于、不大于、不小于、超過、不超過、最”等.有些題目中無明顯表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞,例如“打破記錄”“更劃算”等也都是表示不等關(guān)系的詞語,根據(jù)問題的實(shí)際情況理解.
2.區(qū)別方程的解與不等式的解、不等式的解集、不等式組的解集.
(1)一元一次方程通常只有唯一解,不等式若有解,一般它的解有無數(shù)個(gè).不等式的解集中包含不等式的所有解.
(2)不等式組的解集是不等式組中所有不等式的解集的公共部分.
3.區(qū)別等式和不等式的基本性質(zhì)的不同之處.
等式和不等式的性質(zhì)大部分都相同,只有一條不同:不等式的兩邊同乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)的方向改變.這是不等式特有的性質(zhì).
4.注意解不等式中容易出錯(cuò)的環(huán)節(jié).
解一元一次不等式的一般步驟與解一元一次方程相同:(1)去分母;(2)去括號(hào);(3)移項(xiàng);(4)合并同類項(xiàng);(5)系數(shù)化為1.容易出錯(cuò)的環(huán)節(jié)是去分母和系數(shù)化為1.關(guān)注易錯(cuò)處,放慢解答速度,則能降低犯錯(cuò)的幾率.
5.確定字母的范圍應(yīng)借助數(shù)軸.
根據(jù)已知解或解集的情況,確定不等式或不等式組中字母的范圍時(shí),要充分利用數(shù)軸,數(shù)形結(jié)合,才能更好地解決,先確定大致范圍,再確定臨界值.
6.關(guān)注用不等式解決問題與用方程解決問題的區(qū)別和聯(lián)系.
同學(xué)們要注意用不等式和方程解決問題的不同之處:設(shè)未知數(shù)的方式不同,以及找不等關(guān)系時(shí),有些不等關(guān)系比較隱蔽,需要根據(jù)我們的生活經(jīng)驗(yàn)加以確定.這就要求大家注重拓寬視野,增加生活經(jīng)驗(yàn).