王婷 崔志文 劉金霞 王克協(xié)

1 引 言

自然界中很多物質(zhì)都存在孔隙,如泥土、巖石等,人們稱這些物質(zhì)為多孔介質(zhì).多孔介質(zhì)聲學(xué)[1]就是研究聲波在多孔介質(zhì)中的傳播規(guī)律,通過對(duì)孔隙介質(zhì)彈性波速度頻散和衰減的測(cè)量來獲得孔隙介質(zhì)聲學(xué)參數(shù)的科學(xué).Biot[2]建立了流體飽和孔隙介質(zhì)聲學(xué)理論,該理論得出在流體飽和多孔介質(zhì)中存在三種體波:快縱波、慢縱波和橫波.隨后又有許多研究者對(duì)多孔介質(zhì)進(jìn)行了研究[3?6].

但上述模型孔隙內(nèi)只包含一種液體,而實(shí)際的孔隙內(nèi)往往含有氣體和液體或兩種液體.所以也有許多研究者致力于研究聲波在三相介質(zhì)中的傳播規(guī)律[7].Santos等[8]考慮毛細(xì)管壓力作用,利用補(bǔ)償虛功原理和拉格朗日變分原理建立了兩種不相溶流體飽和孔隙介質(zhì)波動(dòng)理論,該理論指出孔隙介質(zhì)中存在著三種縱波和一類橫波.蔡袁強(qiáng)等[9]考慮了各相物質(zhì)間的慣性耦合,利用孔隙介質(zhì)多相滲流力學(xué)原理和連續(xù)介質(zhì)理論推導(dǎo)了兩種不相混溶流體飽和多孔介質(zhì)的波動(dòng)方程.李偉華[10]研究了非飽和土孔隙流體中含有氣體的情況,把孔隙水的體積模量與孔隙氣體的體積模量等效為一種模量,得出少量氣體的存在對(duì)孔隙內(nèi)物質(zhì)的總體積模量影響很大,但他并沒有考慮氣泡的振動(dòng).White等[11]建立了一種內(nèi)部包含氣泡、外部為水的球形部分飽和孔隙模型,也稱斑塊飽和模型;Johnson[12]發(fā)展了White等的理論,提出了一個(gè)滿足更廣泛孔隙斑塊形態(tài)的模型,這種模型當(dāng)氣體含量很少時(shí),氣體的存在對(duì)聲波的傳播影響并不大.但由Keller和Miksis[13]提出的氣泡振動(dòng)理論可知,少量的氣泡會(huì)對(duì)流體中的聲速產(chǎn)生很大的影響.因而本文建立了孔隙介質(zhì)中含有流體和少量氣泡且氣泡在聲波作用下線性振動(dòng)的孔隙介質(zhì)模型.目前國(guó)內(nèi)外對(duì)聲波在含氣泡液體中的傳播有很多研究[14?20],對(duì)聲波在含氣流體孔隙介質(zhì)中的研究相對(duì)較少.Anderson和Hampton[21]總結(jié)了流體飽和沉積巖、含氣沉積巖和含氣水中的聲波性質(zhì)的知識(shí),并預(yù)測(cè)了含氣泡沉積巖中聲波的傳播特性;Yang和Church[22]研究了單個(gè)氣泡在黏彈組織中的振動(dòng)規(guī)律;Mantouka等[23]采用了Yang和Church的理論,研究了聲波在含氣沉積巖中的傳播,但在求其速度和衰減時(shí)采用的是Commander和Prosperetti[15]含氣泡流體中計(jì)算復(fù)聲速的方法,并沒有涉及到孔隙理論.鄭廣贏和黃益旺[24]考慮氣泡位于孔隙流體中,研究只含有少量氣體時(shí)聲波在沉積物中的傳播,但因采用等效密度流體模型只能得到一種快縱波的傳播規(guī)律,不能同時(shí)考察第二類縱波——慢縱波及橫波的傳播特性.本文結(jié)合流體質(zhì)量守恒方程[25]重新推導(dǎo)了含少量氣泡情況的滲流連續(xù)性方程,在處理氣體體積分?jǐn)?shù)與流體壓力的關(guān)系時(shí)不采用等效密度流體模型進(jìn)行處理,而是直接代入,因而可以得到兩類縱波及橫波的速度頻散和衰減等聲學(xué)特性,進(jìn)而可以考察含少量氣泡流體飽和孔隙介質(zhì)中聲波傳播特性的一般規(guī)律.

2 含氣泡孔隙流體滲流連續(xù)性方程

在Biot理論的滲流連續(xù)性方程中,孔隙中的流體考慮的是純流體.而本節(jié)中要推導(dǎo)的滲流連續(xù)性方程是考慮孔隙流體中含有少量氣泡的情況.

流體質(zhì)量守恒方程[25]表示為

其中?表示孔隙度;ρf為流氣總密度;u表示固體骨架的位移,ut= ?u/?t;q為滲流速度,q=??U/?t,U表示孔隙流體的位移.

將(1)式線性化有

其中 w表示流體相對(duì)于骨架的位移,wt=?(Ut?ut).

孔隙度的微分與骨架應(yīng)變微分、流體壓力微分的關(guān)系為[26]

其中P表示孔隙流體壓力;e為骨架應(yīng)變;d e=?·u;α=1?Kb/Ks,Kb,Ks分別為骨架和顆粒的體積模量,

用?g表示氣體的體積分?jǐn)?shù),ρw,ρg分別表示流體和氣體的密度,當(dāng)?g很小時(shí),

流體體積模量Kw與流體密度、壓強(qiáng)的關(guān)系:

將(3)—(5)式代入(2)式可以得到含有氣泡形式的孔隙流體滲流連續(xù)性方程:

其中C,M為彈性模量,上面的點(diǎn)表示對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù).

3 氣泡體積分?jǐn)?shù)與液體壓強(qiáng)的關(guān)系

對(duì)于孔隙流體中的氣泡,假設(shè):1)氣泡大小相同且在流體中均勻分布;2)氣泡中氣體為理想氣體,忽略泡內(nèi)蒸汽的影響;3)氣體液體兩相互不相溶.氣體體積分?jǐn)?shù)?g可以表示為

其中Vg表示單位孔隙中氣體的含量,Vg=4πR3N/3,R為氣泡的瞬時(shí)半徑,N為單位體積內(nèi)的氣泡個(gè)數(shù),Vk=4πa3/3表示單位孔隙的體積,a為孔隙半徑.

由(7)式可知?dú)怏w體積分?jǐn)?shù)?g與氣泡瞬時(shí)半徑R的關(guān)系為

Keller和Miksis[13]氣泡徑向運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)方程:

式中c表示流體中的聲速,c=PB表示氣泡液體邊界液體一側(cè)的壓強(qiáng),p定義為氣泡所在位置當(dāng)氣泡不存在時(shí)的壓強(qiáng),p=P∞+Pt,其中P∞表示液體靜態(tài)壓強(qiáng),Pt表示氣泡的散射聲場(chǎng)和驅(qū)動(dòng)聲場(chǎng)的和,并假定其為孔隙中的流體壓強(qiáng).

考慮氣泡線性振動(dòng),在ωR0/c? 1時(shí),將(9)式線性化,Commander和Prosperetti[15]給出

其中,

R0為氣泡的初始半徑;Pin0表示穩(wěn)定狀態(tài)下氣泡內(nèi)部的壓強(qiáng),由氣泡的邊界條件知Pin0=P∞+2σ/R0,σ表示氣液界面的表面張力系數(shù);η是孔隙流體黏滯系數(shù),D為氣體的熱擴(kuò)散系數(shù),γ為氣體的比熱.

因此由(8)式和(10)式可求得:

通常的數(shù)量級(jí)數(shù)小于1,略去二階以上的項(xiàng),有

最后可得到氣泡體積分?jǐn)?shù)時(shí)間導(dǎo)數(shù)與壓強(qiáng)時(shí)間導(dǎo)數(shù)的關(guān)系為

得到了氣泡體積分?jǐn)?shù)時(shí)間導(dǎo)數(shù)與壓強(qiáng)時(shí)間導(dǎo)數(shù)的關(guān)系后,便可結(jié)合(6)式得到類似Biot形式的滲流連續(xù)方程,有

其中,C′= αM′,1/M′=1/M+ ξ,ξ=

4 含氣泡情況的Biot位移場(chǎng)方程

Biot[2]建立了流體飽和孔隙介質(zhì)彈性波動(dòng)力學(xué)理論,后人稱之為Biot理論.Biot理論成功地描述了彈性波在牛頓黏性流體飽和孔隙介質(zhì)中傳播的基本規(guī)律,已得到越來越廣泛的應(yīng)用.Biot理論的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程和孔隙介質(zhì)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為:

式中τ為多孔介質(zhì)的應(yīng)力;ρ為多孔介質(zhì)的混合密度;α∞為彎曲度;κ為滲透率;λb,Gb為骨架拉梅系數(shù).

聯(lián)立(13)—(16)式,即可得到含氣泡形式的Biot位移場(chǎng)方程:

其中H′=Kb+4Gb/3+α2M′.將(17),(18)式與Biot位移場(chǎng)方程對(duì)比,發(fā)現(xiàn)形式上完全一致,只有H′,C′,M′與Biot的不同,它們表示修正后的含氣泡振動(dòng)形式的模量.

設(shè)位移矢量按eiωt隨時(shí)間變化,得頻域方程:

其中?ρ=α∞ρf/??iη/(ωκ).

對(duì)位移矢量u,w進(jìn)行亥姆霍茲(Helmholtz)分解,引入勢(shì)函數(shù)并代入(19),(20)式可得到縱波、橫波滿足的波動(dòng)方程[3,5],此處從略.其中,縱波慢度s滿足的方程為

可得快、慢縱波的相速度與衰減系數(shù)為:

快、慢縱波的滲流位移振幅與固相位移振幅的比值為

本文所要考察的快、慢縱波的流體位移與固體位移振幅的比值為βj=1+αj/?,其中j=p1,p2分別代表快、慢縱波.

橫波慢度ss滿足的方程為

可得橫波的相速度與衰減系數(shù)為:

橫波的滲流位移振幅與固相位移振幅的比值為

橫波的流體位移與固體位移振幅的比值為βs=1+αs/?.

由(25)—(28)式可知,橫波的聲學(xué)特性與密度和剪切模量有關(guān),當(dāng)只有少量氣泡存在時(shí),ρf,ρ變化都較小,且剪切模量不變化,因而橫波的聲學(xué)特性變化較小.所以本文沒有對(duì)橫波進(jìn)行計(jì)算研究.

5 計(jì)算結(jié)果與分析

下面對(duì)彈性波進(jìn)行研究. 計(jì)算參數(shù)如下:? =0.3;κ =9×10?10m2;η =1.0× 10?3Pa·s;α∞=2.15;ρw=1000 kg/m3;ρs=2690 kg/m3;ρg=1.3 kg/m3;P∞=1×105Pa;σ =72.75×10?3N/m;γ =1.4;Gb=2.61× 107Pa;Kb=4.36×107Pa;Ks=3.6×1010Pa;Kw=2.0×109Pa;R0=2.0×10?6m;D=2.4×10?5m2/s.計(jì)算結(jié)果見圖1—圖4,其中圖1為快縱波相速度和衰減的全頻率曲線,圖2為慢縱波相速度和衰減曲線,圖3、圖4分別為流體位移與固相位移的振幅比值的大小和相位.

氣泡共振頻率與聲場(chǎng)驅(qū)動(dòng)頻率、氣泡半徑大小等參數(shù)有關(guān)[24].本文選取的參數(shù)下,當(dāng)氣泡體積分?jǐn)?shù)為0—0.001范圍內(nèi),氣泡的共振頻率分布在400—10000 kHz.由圖1可以看出:在氣泡共振頻率處,介質(zhì)的相速度、衰減等參數(shù)出現(xiàn)高幅度變化,這與文獻(xiàn)[24]的結(jié)果一致,此不再敷述.而人們更關(guān)心的海底勘探、油氣儲(chǔ)層地下勘探等,其頻率范圍從幾赫茲至幾十千赫茲,所以下文重點(diǎn)考察這一頻率范圍含少量氣流體飽和沉積巖中彈性波的傳播特性.從圖1可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)氣泡體積分?jǐn)?shù)為0時(shí),該曲線與Biot模型結(jié)果一致,這從理論公式中也可以看出:當(dāng)?g=0時(shí),氣泡個(gè)數(shù)N=0,ξ=0,則(17),(18)式退化為Biot位移場(chǎng)方程.隨著氣體體積分?jǐn)?shù)的增加,快縱波的相速度變化幅度很大.當(dāng)頻率很低時(shí),快縱波的低頻近似公式為

當(dāng)?g分別為0,0.00001,0.0001,0.001時(shí),由(22)式計(jì)算得到的速度(f=10 Hz)分別為1663.3,1573.9,1133.7,497.53 m/s,而由低頻近似(29)式求得的速度分別為1653.3,1564.5,1127.3,495.9 m/s.近似公式給出了很好的近似值,并直觀反映了快縱波速度與介質(zhì)參數(shù)特別是與氣體體積分?jǐn)?shù)及氣泡半徑的關(guān)系.由圖1(b)可知,在低頻區(qū)域,快縱波的衰減值隨著氣體體積分?jǐn)?shù)的增加而逐漸減小,但變化幅度很小,且可以看到其低頻處的弛豫峰值對(duì)應(yīng)的頻率不隨著氣體體積分?jǐn)?shù)的變化而變化.

圖1 快縱波的相速度和衰減Fig.1.Phase velocity and attenuation of the fast compressional waves.

慢縱波的結(jié)果見圖2,隨著氣體體積分?jǐn)?shù)的增加,慢縱波的相速度在低頻變化較小,在高頻范圍變化較大,由慢縱波低頻近似公式 Vp2=可以看出在低頻范圍,慢縱波的速度與氣體體積分?jǐn)?shù)無關(guān).慢縱波的衰減值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于快縱波的衰減值,這也再次表明慢縱波具有強(qiáng)衰減的特性;對(duì)于含少量氣體的情況,慢縱波的衰減值隨著氣體體積分?jǐn)?shù)的增加也逐漸減小,但變化幅度較小.

圖2 慢縱波的相速度和衰減Fig.2.Phase velocity and attenuation of the slow compressional waves.

圖3 快、慢縱波引起的孔隙流體位移與固相位移的振幅比值的大小 (a)快縱波;(b)慢縱波Fig.3.Amplitude ratio of pore fl uid displacement and solid displacement caused by fast and slow compressional waves:(a)Fast compressional waves;(b)slow compressional waves.

由圖3可以看出,在同一氣體體積分?jǐn)?shù)下,隨著頻率的增加,快縱波的孔隙流體位移與固相位移的振幅比值的大小逐漸升高,慢縱波的逐漸減小.隨著氣體體積分?jǐn)?shù)的增加,快縱波引起的孔隙流體位移與固相位移的振幅比值的大小逐漸減小,慢縱波的逐漸增加,且增加幅度相對(duì)較大.此外,也可以看出氣體體積分?jǐn)?shù)的變化對(duì)慢縱波的所有頻率都有影響,對(duì)快縱波低頻影響小而對(duì)高頻區(qū)域影響較大,這與相速度曲線隨氣體體積分?jǐn)?shù)變化規(guī)律相反.結(jié)果表明,氣體體積分?jǐn)?shù)對(duì)快、慢縱波引起的孔隙流體位移與固相位移的振幅比值影響較大.慢縱波可誘導(dǎo)較大的滲流[3],若考慮聲電效應(yīng)[27],這種含少量氣流體飽和介質(zhì)將會(huì)誘導(dǎo)更強(qiáng)的震電信號(hào).

由圖4可以看出,快縱波的孔隙流體的脹縮比固體的脹縮略有超前,慢縱波孔隙流體的脹縮與固體的脹縮反相.此外,隨著氣體體積分?jǐn)?shù)的增加,快縱波和慢縱波孔隙流體位移與固相位移振幅比值的相位都逐漸減小,但慢縱波變化的幅度較小,與Biot理論的結(jié)果相差很小.

6 結(jié) 論

考慮孔隙流體中含有少量氣泡,且氣泡在聲波作用下線性振動(dòng),研究聲波在這種孔隙介質(zhì)中的傳播特性.在氣液不相溶條件下基于Biot理論,結(jié)合Commander給出的小振幅聲波在含氣泡液體中的氣泡線性振動(dòng)模型,在處理氣體體積分?jǐn)?shù)與液體壓強(qiáng)關(guān)系時(shí)沒有用到等效密流體度模型,而是采用了直接代入的方法,因而得到了更一般的聲學(xué)理論模型.給出了修正的模量M′,得到了和Biot位移場(chǎng)方程形式對(duì)應(yīng)的含少量氣泡情況的位移場(chǎng)方程,可以考查快、慢縱波及橫波的傳播特性.同時(shí),本文給出了快縱波的速度低頻近似公式,近似公式直觀反映了快縱波速度與介質(zhì)參數(shù),特別是與氣體體積分?jǐn)?shù)及氣泡半徑的關(guān)系.計(jì)算考查了聲波在此孔隙介質(zhì)模型中的傳播特性.結(jié)果表明,少量氣泡的存在對(duì)孔隙介質(zhì)的快、慢縱波的聲速、衰減、兩類波引起的流體位移與固體位移關(guān)系都有影響,其中對(duì)快縱波的聲速影響較大.關(guān)于快縱波的研究結(jié)果與鄭廣贏和黃益旺[24]的結(jié)論一致.從修正的動(dòng)態(tài)模量M′來看,氣泡的振動(dòng)改變了孔隙介質(zhì)的動(dòng)態(tài)彈性模量,所以導(dǎo)致聲速的變化很大,快縱波的速度低頻近似公式解析也給出了直觀的表達(dá).同時(shí),不同頻率下的氣泡振動(dòng)效應(yīng)也是波衰減的另一個(gè)需要考慮的因素.本文給出的聲學(xué)模型可以用于考察含少量氣體的流體飽和孔隙介質(zhì)如海洋沉積巖中聲波傳播特性.本文的結(jié)果有待于實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證,因此,相關(guān)實(shí)驗(yàn)也是值得進(jìn)一步開展的研究工作.氣泡振動(dòng)在海洋學(xué)中有著重大的意義,本文研究的孔隙介質(zhì)流體中含有少量氣泡的聲學(xué)理論對(duì)地探開采、聲波測(cè)井等領(lǐng)域也有著重要的參考意義.

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