尹霄麗 郭翊麟 閆浩 崔小舟 常歡 田清華吳國華 張琦 劉博 忻向軍

1 引 言

最近,水下傳感網(wǎng)絡(luò)、水下無人飛行器和潛艇等信息傳輸需求的快速增長促進(jìn)了水下光通信系統(tǒng)的研究[1?4].帶有不同軌道角動量(orbital angular momentum,OAM)模式數(shù)的光束(也稱渦旋光束)是相互正交的,有望通過OAM復(fù)用來提升水下光通信系統(tǒng)的信道容量,相關(guān)研究受到了廣泛關(guān)注[5?9].Ren等[2]實驗研究了攜帶有4個不同OAM模式光束的復(fù)用傳輸,實現(xiàn)了4 Gbit/s的水下光通信鏈路.Baghdady等[6]實現(xiàn)了3 Gbit/s水下2.96 m OAM光通信鏈路傳輸.然而,利用OAM提升系統(tǒng)信道容量的方法容易受海洋湍流的限制.混濁度、水流速度、溫度梯度和鹽度梯度等[1,2,6,9]湍流因素的存在導(dǎo)致OAM光束能量將會擴(kuò)散到其他OAM模式上,這種現(xiàn)象稱為模式串?dāng)_,從而減少了系統(tǒng)的信道容量[10?13].帶有OAM的漢克-貝塞爾(Hankel-Bessel,HB)渦旋光束具有無衍射和自聚焦特性,即在無衍射傳播范圍內(nèi)不會改變光強分布,并在遇到障礙物后能夠重建橫向強度分布[14,15].雖然無衍射特性表明光束能量是無窮的,但是已經(jīng)有實驗證明能夠產(chǎn)生近似的無衍射光束[16,17].HB渦旋光束在空間光通信領(lǐng)域得到了研究者的關(guān)注,研究表明在大氣湍流信道中HB渦旋光束受湍流影響較小[14,15].據(jù)我們所知,HB渦旋光束在海洋湍流中的傳輸特性研究尚未見報道.

本文首先基于Rytov近似理論,對HB渦旋光束在海洋弱湍流信道的傳播特性進(jìn)行了理論分析,推導(dǎo)得到了接收光束的螺旋相位譜解析表達(dá)式.數(shù)值分析了海洋湍流參數(shù)對HB渦旋光束傳輸?shù)挠绊?并在同等湍流條件下與拉蓋爾-高斯(Laguerre-Gaussian,LG)渦旋光束進(jìn)行了對比分析,這些結(jié)果將對OAM在水下光通信的潛在應(yīng)用具有指導(dǎo)意義.

2 理論分析

2.1 HB渦旋光束經(jīng)海洋湍流信道傳播的統(tǒng)計特性

對于HB渦旋光束而言,在自由空間中傳輸距離z處的復(fù)振幅M表達(dá)式為[15]

(1)式中l(wèi)0是OAM模式數(shù);A0是用來描述光束功率的常數(shù);Jm(x)是m階的第一類貝塞爾函數(shù);k=2π/λ是波數(shù),λ是波長;ρ =(ρ,?)是源平面二維位置矢量;?是方位角.

基于Rytov近似理論,HB渦旋光束在海洋湍流信道中傳輸距離為z處的復(fù)振幅可以表示為[10]

(2)式中,Ψ1(ρ,?,z)是海洋湍流引入的隨機(jī)復(fù)相位擾動.

HB渦旋光束在海洋湍流中的二階交叉譜密度函數(shù)可表示為[10]

(3)式中,*表示復(fù)數(shù)共軛,?·?t表示對湍流的系綜平均[18,19].

利用Rytov相位結(jié)構(gòu)函數(shù)的二次近似,能夠得到(3)式等號右邊的最后一項為[20]

(4)式中,ρ0是海洋湍流中球面波的空間相干長度,其表達(dá)式為[10]

(5)式中,κ是折射率波動的空間角頻率,?ocean(κ)是海洋湍流的折射率波動的空間功率譜,在均勻各向同性海水中可表示為[21,22]

(6)式中,χT是溫度方差耗散率,從海洋表面到深水層的取值范圍為10?4–10?10K2/s;ε是湍流動能耗散率,從海洋表面到深水層的取值范圍為10?1–10?10m2/s3;η是Kolmogorov尺度;τ是平衡參數(shù),用來描述溫度與鹽度波動對功率譜變化貢獻(xiàn)大小的比值,其值從0變化到?5,其中0代表海洋湍流完全由鹽度波動主導(dǎo),?5代表完全由溫度波動主導(dǎo);AT=1.863×10?2;As=1.9× 10?4;ATs=9.41× 10?3;δ=8.284(κη)4/3+12.978(κη)2.

將(6)式代入(5)式中,化簡得到[13]

(7)式表明在相同的波長和傳輸距離下,海洋湍流越弱,ρ0越大.

2.2 螺旋相位譜

當(dāng)HB渦旋光束在海洋湍流信道中傳播時,湍流效應(yīng)導(dǎo)致了OAM模式串?dāng)_,接收端不僅能檢測到發(fā)射模式,還能檢測到其他模式.因此,可以將HB渦旋光束經(jīng)過海洋湍流后的復(fù)振幅寫成無窮多個本征態(tài)的疊加,即

(8)式中,系數(shù)al(ρ,z)可表示為

對系數(shù)al(ρ,z)求湍流系綜平均,可以得到HB渦旋光束OAM模式概率密度為

將(3)式代入(10)式中,并利用(4)式化簡得到

將(1)式代入(11)式中,并利用積分關(guān)系[23]

可以簡化計算得到HB渦旋光束的OAM模式概率密度的解析表達(dá)式為

(12)式和(13)中,In(η)是n階第一類修正貝塞爾函數(shù).

另外,當(dāng)發(fā)射OAM模式為l0時,可以將接收到OAM模式為l的螺旋諧波能量定義為

(14)式中,R為光束的接收孔徑.接下來,將螺旋相位譜Pl(z)定義為OAM模式為l的螺旋諧波能量與光束總能量的比值,可表示為

(15)式中,表示渦旋光束的總能量.當(dāng)l等于l0時,Pl0(z)表示探測概率;當(dāng)l等于l0±?l,Pl(z)表示串?dāng)_概率,?l表示發(fā)射的OAM模式與探測到的OAM模式的差值.

3 數(shù)值分析

本文做了如下設(shè)置:Kolmogorov尺度η為10?3m,A0為10,接收孔徑R為3 cm.考慮到海水中的吸收和散射效應(yīng),波長λ取為532 nm[1].

圖1以發(fā)射OAM模式數(shù)l0等于1為例,給出了HB渦旋光束的探測概率隨傳輸距離變化的曲線.設(shè)置溫度方差耗散率χT為10?7K2/s,湍流動能耗散率ε為10?3m2/s3,平衡參數(shù)τ為?4,這些設(shè)置滿足弱湍流條件[13,22].

圖1 不同的OAM模式數(shù)l時,HB渦旋光束的探測概率隨z的變化曲線Fig.1. Detection probability of HB vortex beam against z for diff erent l.

從圖1可以看出,隨著傳輸距離的增加,OAM模式探測概率曲線呈下降趨勢,而鄰近模式的串?dāng)_概率不斷增加.從(7)式也可以分析得到,隨著傳輸距離的增加,ρ0減少,海洋湍流引起的模式串?dāng)_變得嚴(yán)重.

圖2是在溫度方差耗散率χT為10?7K2/s,湍流動能耗散率ε為10?3m2/s3,平衡參數(shù)τ為?4,傳輸距離為30 m,發(fā)射OAM模式數(shù)l0為1到5時,HB渦旋光束的螺旋相位譜.從圖2中可以看出,海洋湍流造成了明顯的模式串?dāng)_,并引起了螺旋相位譜的擴(kuò)展.同時,隨著OAM模式數(shù)的增加探測概率下降,這是因為隨著OAM模式數(shù)增加,光束變得更加發(fā)散[20].

圖2 z為30 m時,HB渦旋光束的螺旋相位譜Fig.2.OAM spectra of HB vortex beam for z=30 m.

圖3 —圖5分別分析了平衡參數(shù)τ、溫度方差耗散率χT,以及湍流動能耗散率ε對OAM模式l0=1的光束探測概率的影響.圖3是在溫度方差耗散率χT為10?7K2/s,湍流動能耗散率ε為10?3m2/s3,平衡參數(shù)τ取?4.5,?3.5,?2.5和?1.5四種情況下得到的探測概率隨傳輸距離變化的曲線.從圖3中可以看出,當(dāng)τ值接近?5時,海洋湍流對光束的負(fù)面影響較小;隨著|τ|減少,海洋湍流對光束的負(fù)面影響越來越大.這是因為|τ|→ 0時,海洋湍流以鹽度波動為主,此時ρ0值很小,海洋湍流使HB渦旋光束發(fā)散得很嚴(yán)重[23].因此,可以得到HB渦旋光束更加容易受以鹽度波動為主的海洋湍流的影響.

圖3 不同的τ時,HB渦旋光束的探測概率隨z的變化Fig.3. Detection probability of HB vortex beam against z for diff erentτ.

圖4 是在湍流動能耗散率ε為10?3m2/s3,平衡參數(shù)τ為?4,溫度方差耗散率χT取不同值時,探測概率隨傳輸距離z的變化曲線.從圖4中可以看出,HB渦旋光束的OAM模式探測概率隨χT的增加而減少.當(dāng)χT較小時,海洋湍流的負(fù)面影響較弱,更適合HB渦旋光束OAM模式的傳輸.這是因為在ε一定時,隨著χT的增大,ρ0值減小,海洋湍流帶來的負(fù)面影響變得更強,導(dǎo)致光束發(fā)散得越快,因而探測概率也在下降[23].

圖4 不同χT時,HB渦旋光束的探測概率隨z的變化Fig.4.Detection probability of HB vortex beam against z for diff erentχT.

圖5 是在溫度方差耗散率χT為10?7K2/s,平衡參數(shù)τ為?4,湍流動能耗散率ε取不同值時,探測概率隨傳輸距離z的變化曲線.從圖5中可以看出,HB渦旋光束的OAM模式探測概率隨ε增加而增加.這是因為對于固定的χT,隨著ε值增大,ρ0值也增大,海洋湍流引起的光束發(fā)散變小,因此探測概率增加[23].

圖5 不同的ε時,HB渦旋光束的探測概率隨z的變化Fig.5.Detection probability of HB vortex beam against z for diff erentε.

LG渦旋光束是一種比較常見的渦旋光束,在空間光通信中也受到了研究者的關(guān)注[7,8,10,20].圖6比較了HB渦旋光束和LG渦旋光束的探測概率隨傳輸距離變化的影響.其中,設(shè)置HB渦旋光束和LG渦旋光束的發(fā)射OAM模式數(shù)為1,2和3,傳輸距離從0變化到50 m,溫度方差耗散率χT為10?7K2/s, 湍流動能耗散率ε為10?3m2/s3,平衡參數(shù)τ為?4.LG渦旋光束的徑向模式數(shù)為0,w0=1 cm為常見入射光束腰大小[10],w0=2.9 mm為光束傳輸至50 m處,使得接收端的光斑尺寸最小的最佳入射光束腰大小.

圖6 不同的OAM模式數(shù)l時,HB與LG渦旋光束的探測概率隨z的變化Fig.6.Detection probability of HB and LG vortex beam against z for diff erent l.

從圖6中可以看出,HB渦旋光束的探測概率大于常見LG渦旋光束(束腰大小為1 cm),但是小于最佳LG渦旋光束(束腰大小為2.9 mm).這是因為在接收端HB渦旋光束的光斑尺寸小于常見LG渦旋光束,大于最佳LG渦旋光束.因此,在海洋湍流信道中,HB渦旋光束的傳輸性能優(yōu)于常見LG渦旋光束,差于最佳LG渦旋光束.

4 結(jié) 論

本文研究了在弱湍流海洋環(huán)境下,湍流對HB渦旋光束OAM模式探測概率的影響.理論推導(dǎo)了HB渦旋光束經(jīng)過海洋水平弱湍流信道后的螺旋相位譜的解析表達(dá)式.數(shù)值計算結(jié)果表明海洋湍流明顯地造成了發(fā)射OAM模式擴(kuò)展.HB渦旋光束的傳輸距離越長,海洋湍流帶來的負(fù)面影響也越來越嚴(yán)重,使得HB渦旋光束在湍流海洋的傳輸距離被限制在幾十米之內(nèi);隨著OAM模式數(shù)、溫度方差耗散率和平衡參數(shù)的增加以及湍流動能耗散率的減少,湍流效應(yīng)帶來的負(fù)面影響也越來越嚴(yán)重,導(dǎo)致HB渦旋光束的探測概率下降.在弱湍流及幾十米傳輸距離條件下,HB渦旋光束的傳輸性能比最佳束腰大小設(shè)置的LG渦旋光束要差.這些結(jié)果有望為海洋環(huán)境水下光通信鏈路的實現(xiàn)提供一定的參考價值.

附錄A

1)入射光束的最佳束腰尺寸

在自由空間中,束腰大小為w0的入射光束傳輸至距離z處的光斑大小為[10]

(A1)式中,zR=kw20/2是瑞利距離,k=2π/λ為波數(shù),λ為波長.

要使光束傳輸至距離z處后光斑尺寸最小,當(dāng)且僅當(dāng)時,接收端最小光斑尺寸的表達(dá)式為

當(dāng)波長為532 nm,傳輸距離為50 m時,入射光束腰大小w0為2.9 mm,此時,接收端得到最小光斑尺寸為4.1 mm.

2)接收端HB和LG渦旋光束光斑尺寸對比分析

通過原文(13)式分析得到,根據(jù)OAM模式探測概率密度?|al0(ρ,z)|2?能夠推斷光束的能量分布特性,能量最集中處即?|al0(ρ,z)|2?取最大值處.為了對比分析HB渦旋光束、常見(束腰大小為1 cm)和最佳(束腰大小為2.9 mm)LG渦旋光束的光斑尺寸,對OAM模式探測概率密度?|al0(ρ,z)|2?進(jìn)行了數(shù)值計算.圖A1描述的是各渦旋光束沿徑向ρ的探測概率密度歸一化曲線.其中設(shè)置溫度方差耗散率χT為10?7K2/s,湍流動能耗散率ε為10?3m2/s3,平衡參數(shù)τ為?4,傳輸距離為50 m.

從圖A1(a)可以看出,與常見LG渦旋光束相比,HB渦旋光束的主瓣更窄,能量更集中,HB渦旋光束的?|al0(ρ,z)|2?最大值處的位置更靠近ρ=0,因此,HB渦旋光束的能量擴(kuò)散程度小于常見LG渦旋光束,并且光斑尺寸要小于常見LG渦旋光束[15].從圖A1(b)可以看出,最佳LG渦旋光束的主瓣明顯比常見LG渦旋光束的主瓣更窄,并且最佳LG渦旋光束的?|al0(ρ,z)|2?最大值處的位置靠近ρ=0,即最佳LG渦旋光束的光斑尺寸要小于HB渦旋光束[15].

圖A1 OAM模式探測概率密度沿徑向ρ的歸一化曲線(a)w0=1 cm;(b)w0=2.9 mmFig.A1.The normalization curve of OAM mode detection probability density againstρ:(a)w0=1 cm;(b)w0=2.9 mm.

[1]Baghdady J,Miller K,Osler S,Morgan K,Li W Z,Johnson E,Cochenour B 2016 SPIE Defense+Security Baltimore,United States,April 17–21,2016 p98270G

[2]Ren Y X,Li L,Wang Z,Kamali S M,Arbabi E,Arbabi A,Zhao Z,Xie G D,Cao Y W,Ahmed N,Yan Y,Liu C,Willner A J,Ashrafi S,Tur M,Faraon A,Willner A E 2016 Sci.Rep.6 33306

[3]Doniec M,Detweiler C,Vasilescu I,Rus D 2010 IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems Taipei,Taiwan,October 18–22,2010 p4017

[4]Gabriel C,Khalighi A,Bourennane S,Léon P,Rigaud V 2012 Egu.General Assembly 14 2685

[5]Wang J,Yang J Y,Fazal I M,Ahmed N,Yan Y,Huang H,Ren Y X,Yue Y,Samuel D,Moshe T,Willner A E 2012 Nature Photon.6 488

[6]Baghdady J,Kelly J,Miller K,Morgan K,Li W Z,Johnson E 2016 OCEANS 2016 MTS/IEEE Monterey,United States,September 19–23,2016 p1

[7]Abderrahmen T,Carmelo R G,Angela D,Bienvenu N,Amine B S,Mourad Z,Andrew F 2016 Sci.Rep.6 27674

[8]Cui X Z,Yin X L,Chang H,Zhang Z C,Wang Y J,Wu G H 2017 Chin.Phys.B 26 114207

[9]Baghdady J,Miller K,Morgan K,Byrd M,Osler S,Ragusa R,Li W Z,Cochenour B M,Johnson E G 2016 Opt.Express 24 9794

[10]Cheng M J,Guo L X,Li J T,Huang Q Q,Cheng Q,Zhang D 2016 Appl.Opt.55 4642

[11]Viola S,Valyrakis M,Kelly A,Lavery M P 2016 Lasers and Electro-Optics IEEE San Jose,United States,June 5–10,2016 p SW1F.3

[12]Liu Z L,Chen J L,Zhao D M 2017 Appl.Opt.56 3577

[13]Cheng M J,Guo L X,Li J T,Zhang Y X 2017 IEEE Photon.J.8 1

[14]Wu G H,Tong C M,Cheng M J,Peng P 2016 Chin.Opt.Lett.14 6

[15]Zhu Y,Liu X J,Gao J,Zhang Y X,Zhao F S 2014 Opt.Express 22 7765

[16]Vasara A,Turunen J,Friberg A T 1989 J.Opt.Soc.Am.A 6 1748

[17]Herman R M,Wiggins T A 1991 J.Opt.Soc.Am.A 8 932

[18]Zhu Y,Zhang L C,Zhang Y X 2016 Chin.Opt.Lett.14 54

[19]Cheng M J,Guo L X,Zhang Y X 2016 Chin.J.Radio 31 737(in Chinese)[程明建,郭立新,張逸新2016電波科學(xué)學(xué)報31 737]

[20]Ke X Z,Chen J,Yang Y M 2014 Acta Phys.Sin.63 150301(in Chinese)[柯熙政,諶娟,楊一明2014物理學(xué)報63 150301]

[21]Nikishov V V,Nikishov V I 2000 Int.J.Fluid Mech.Res.27 82

[22]Ata Y,Baykal Y 2014 J.Opt.Soc.Am.A 31 1552

[23]Lu W,Liu L R,Sun J F 2006 J.Opt.A:Pure Appl.Opt.8 1052