閆登衛(wèi) 王麗丹 段書凱

1 引 言

1971年,美國加州大學(xué)伯克利分校華裔科學(xué)家Chua[1]從理論上預(yù)測了描述電荷和磁通關(guān)系元件的存在性,并定義這類元件為憶阻器.憶阻器是一種有記憶功能的非線性電阻,可以記憶流經(jīng)它的電荷的數(shù)量,通過控制電流的變化可改變其阻值.由于現(xiàn)實中沒有發(fā)現(xiàn)這類器件,所以長期以來關(guān)于憶阻器和憶阻電路的研究沒有引起科學(xué)界和工程界的重視.直到2008年Hewlett-Packard(HP)實驗室研制了第一個納米級憶阻器實物模型[2],并從實驗角度給出了其記憶機理,憶阻值與流過其的電荷或磁通量有關(guān),由此激起了人們開展憶阻器全方位研究的興趣[3].憶阻器的出現(xiàn)為電子電路的設(shè)計與應(yīng)用開拓了全新的發(fā)展空間.由于憶阻器具有記憶功能,其潛在的應(yīng)用價值引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注.憶阻器將在計算機科學(xué)[4]、生物工程[5]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[6?8]、電氣工程[9]、通信工程[10]等領(lǐng)域展現(xiàn)出誘人的應(yīng)用前景.

一般來說,電路的非線性是混沌產(chǎn)生的必要條件.憶阻器作為可調(diào)控的非線性器件,加上其具有體積小、功耗低等特點,非常適合應(yīng)用于高頻混沌電路.而高頻混沌信號在圖像加密、混沌保密通信中具有廣泛的應(yīng)用前景,因此,采用憶阻器構(gòu)造混沌電路得到了研究人員的密切關(guān)注.2008年,Itoh和Chua[11]采用磁通控制的分段線性憶阻器模型替換蔡氏電路中的非線性元件,導(dǎo)出兩類憶阻器混沌振蕩.Bharathwaj和Kokate[12]將分段線性模型的憶阻器替換蔡氏二極管,并分析了該替換后系統(tǒng)的動力學(xué)特性,結(jié)果顯示其體現(xiàn)出來的混沌特性比經(jīng)典蔡氏電路更為復(fù)雜.隨后的2010年,Muthuswamy[13]不僅成功利用三次方憶阻器構(gòu)成了混沌系統(tǒng),而且第一次利用有源器件實現(xiàn)了該電路.在數(shù)值仿真過程中對其余的3個變量做了尺度變換,而保持磁通尺度不變.尺度變換以后,利用兩個乘法器、一個放大器和電容電阻就可以完成憶阻器搭建.與此同時,國內(nèi)的研究人員也開展了相應(yīng)的研究.Bao等[14]對憶阻器混沌電路進行了深入的研究探討,利用光滑模型的磁控憶阻器實現(xiàn)了一系列新的蔡氏和類蔡氏憶阻混沌電路,通過理論研究和實驗分析得出了一系列重要的結(jié)論,如:憶阻型混沌系統(tǒng)的平衡點與其憶阻器本身的狀態(tài)變量有關(guān),當(dāng)系統(tǒng)含一個憶阻器其平衡點對應(yīng)為一個點集,含兩個憶阻器其平衡點則對應(yīng)一個平面；憶阻器混沌電路的動力學(xué)特性與憶阻器的初始狀態(tài)密切相關(guān)[15],存在瞬態(tài)混沌及狀態(tài)轉(zhuǎn)移等復(fù)雜的動力學(xué)現(xiàn)象[16].Wang等[17]利用憶阻器的非線性特性,成功推導(dǎo)出一個磁控憶阻器,并將其應(yīng)用于混沌系統(tǒng)中,得到了基于該憶阻器的混沌系統(tǒng).上述研究極大地推進了憶阻器混沌電路的發(fā)展,同時詳細(xì)介紹了憶阻器所帶來的新的混沌動力學(xué)特性.隨著混沌理論在實際工程中的應(yīng)用越來越廣泛,如何更好地利用憶阻器的非線性以及設(shè)計各類新型憶阻型混沌電路成為研究重點[18?25].

與已有的混沌同步方法相比,脈沖混沌同步法僅在離散時刻向響應(yīng)系統(tǒng)施加脈沖信號,使得一些不具備連續(xù)耦合條件或者不能承受連續(xù)擾動的系統(tǒng)可以在脈沖耦合條件下達到同步;另一方面,這種離散耦合方式大大降低了驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)之間的信息傳輸率,應(yīng)用于混沌壓縮感知可有效實現(xiàn)測量信號的降采樣,是混沌壓縮感知技術(shù)中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)[26].近年來,研究者對脈沖同步做了許多的研究工作.例如,Itoh等[27]提出了混沌系統(tǒng)及超混沌系統(tǒng)達到脈沖同步所需要的條件;Li和Liao[28]使用小幅度脈沖實現(xiàn)了超混沌系統(tǒng)的完全同步和時延同步;Wang等[29]分析了一類連續(xù)系統(tǒng)的脈沖控制和同步;Ren和Zhao[30]用自適應(yīng)反饋法實現(xiàn)了耦合混沌系統(tǒng)的脈沖同步.但以上的方法缺乏通用性,對不同系統(tǒng)需要具體問題具體分析,并且所獲得的實現(xiàn)同步的充分條件較為苛刻,將大部分較寬松的條件排除在外.而從最大Lyapunov指數(shù)的角度實現(xiàn)脈沖混沌同步的充分條件則相對簡單.因此,本文基于增廣Lü系統(tǒng)設(shè)計了基于憶阻器的多渦卷混沌系統(tǒng),利用最大Lyapunov指數(shù)的方法實現(xiàn)了憶阻脈沖混沌同步,數(shù)值仿真證實了憶阻混沌系統(tǒng)的存在性以及脈沖同步控制的可行性,對促進憶阻器應(yīng)用和發(fā)展具有重要的意義.

本文在增廣Lü系統(tǒng)中引入憶阻器和一個立方項,得到了一個基于憶阻器的三維混沌系統(tǒng),該系統(tǒng)具有結(jié)構(gòu)簡單的代數(shù)結(jié)構(gòu),包含兩個非線性項、一個憶阻器和一個立方項.隨后,僅僅通過改變系統(tǒng)的一個參數(shù)得到了單渦巻、雙渦卷和四渦巻的混沌吸引子.接著,通過平衡點的穩(wěn)定性、對稱性,Lyapunov指數(shù)和維數(shù),分岔圖和Poincare截面分析了系統(tǒng)的基本動力學(xué)特性,數(shù)值仿真和理論分析一致.然后,建立了模擬該系統(tǒng)的SPICE(simulation program with integrated circuit emphasis)電路,SPICE的仿真結(jié)果與數(shù)值分析相符,從而驗證了該系統(tǒng)的混沌產(chǎn)生能力.最后,介紹了從最大Lyapunov指數(shù)的方法實現(xiàn)脈沖混沌同步的理論,數(shù)值模擬實驗證明了該方法的有效性.

2 基于憶阻器的混沌系統(tǒng)及其基本動力學(xué)分析

2.1 基于憶阻器的混沌系統(tǒng)模型

已有的三維增廣Lü系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為[31]:

式中a,b為負(fù)實常數(shù),其典型取值為a=?10,b=?4.設(shè)初始值為(x0,y0,z0),當(dāng)z0>0時,系統(tǒng)(1)所描述的系統(tǒng)產(chǎn)生一個雙翼混沌吸吸引子,如圖1(a)和圖1(b)中藍色部分所示;當(dāng)z0<0時,(1)式所描述的系統(tǒng)產(chǎn)生一個雙翼的下吸引子,如圖1(a)和圖1(b)中紅色部分所示.

在此基礎(chǔ)上構(gòu)造的基于憶阻器的三維混沌系統(tǒng),其狀態(tài)方程為:

其中 x,y,z∈R;a,b,c,d,w為系統(tǒng)的參數(shù);f(·)為系統(tǒng)的非線性項,滿足憶阻器與磁通之間的關(guān)系[17]:

其中

圖1 增廣Lü系統(tǒng)共存的上吸引子和下吸引子 (a)x-z平面;(b)y-z平面Fig.1.The coexistence of the upper and lower attractors of three-dimensional chaotic augmented Lüsystem:(a)x-z plane;(b)y-z plane.

圖2 w=25000時系統(tǒng)(2)的單渦卷混沌吸引子Fig.2.The single-scroll chaotic attractor of the system(2)when w=25000.

圖3 w=10000時系統(tǒng)(2)的雙渦巻混沌吸引子Fig.3.The double-scroll chaotic attractor of the system(2)when w=10000.

圖4 w=2000時系統(tǒng)(2)四渦卷的混沌吸引子Fig.4.The four-scroll chaotic attractor of the system(2)when w=2000.

y是憶阻器的輸入磁通,M(0)表示憶阻器的初始值,D為薄膜的厚度,Roff和Ron分別表示憶阻器的兩個極限值,uv表示氧空缺的平均移動量,M(0)為憶阻器的初始狀態(tài)為16000,Roff=20 k?,Ron=100 ?,D=10 nm,uv=10?14m2·s?1·v?1,k為常數(shù),

選取初始值為(x,y,z)=(?0.1,?0.1,?0.1).參數(shù) a=2,b=8.2,c=5,d=3確定參數(shù),當(dāng)參數(shù)w分別等于2000,10000和25000時,設(shè)置仿真時間為1000 s,采用四階龍格庫塔法進行數(shù)值仿真,得到單渦巻、雙渦巻和四渦巻混沌吸引子,分別如圖2、圖3和圖4所示.可知系統(tǒng)(2)的混沌吸引子軌線在特定的吸引域內(nèi)具有遍歷性.

將該系統(tǒng)與增廣Lü系統(tǒng)相比較,發(fā)現(xiàn)兩個系統(tǒng)均具有形式相似的簡單代數(shù)方程的結(jié)構(gòu),但系統(tǒng)(2)的第三個方程為對應(yīng)的增廣Lü系統(tǒng)方程的鏡像,且在第一個方程中引入了磁控憶阻器,在第二個方程中的增加了y3項.在下面的動力學(xué)分析和數(shù)值模擬中,除了特別說明之外,都以雙渦巻的混沌吸引子進行分析.

2.2 憶阻混沌系統(tǒng)動力學(xué)分析

2.2.1 對稱性分析

系統(tǒng)(2)有自然的對稱性,即做變換(x,y,z)→(?x,y,?z)后,系統(tǒng)保持不變.變化可表示為

它滿足f(PX)=Pf(X),即在y軸的反射下,系統(tǒng)是不變的,并且對稱性對所有的系統(tǒng)參數(shù)都保持不變.

2.2.2 平衡點穩(wěn)定性分析

為求解系統(tǒng)的平衡點,令參數(shù)a=2,b=8.2,c=5,d=3,w=10000.并且方程組為:

由(3)式可知,f(?|y|)為分段函數(shù),所以要分段求解它的平衡點.

1)當(dāng)y

表1 當(dāng)y

2)當(dāng)y< ?c5,y>0即y<0.3618,y>0時,經(jīng)計算,系統(tǒng)也有7個平衡點,分析計算得到的結(jié)果如表2所列.由表2可知,由于y值中正數(shù)最小的J4都要比?c5大,因此沒有滿足要求的平衡點.

表2 當(dāng)y0時(7)式的平衡點Table2.Equilibrium point of formula(7)when y0.

此外,當(dāng)y>c5,y<0或者y> ?c5時,計算出y=0,不滿足條件.因此,總共滿足要求的系統(tǒng)的平衡點有3個,分別為S2,S5,S7.在平衡點處得到系統(tǒng)(2)的雅可比矩陣為:

根據(jù)每一個平衡點對應(yīng)的雅可比矩陣計算出相應(yīng)的特稱值,相關(guān)結(jié)果如表3所列.根據(jù)平衡點與穩(wěn)定性的關(guān)系,可知平衡點S5為指標(biāo)1的鞍點,平衡點S2和S7是產(chǎn)生渦巻前提的鞍焦點.

由上述的分析可知,系統(tǒng)(2)有一個不穩(wěn)定的鞍點和兩個鞍焦點,從理論上證明了該系統(tǒng)有存在雙渦卷混沌吸引子的可能.

表3 當(dāng)w=10000時各個平衡點對應(yīng)的特征值Table 3.Specifi c value of each equilibrium point whenw=10000.

2.3 憶阻混沌系統(tǒng)數(shù)值仿真分析

2.3.1 時域波形圖和功率譜圖分析

采用Matlab仿真得到系統(tǒng)(2)的x時域波形圖,如圖4所示.由圖4可看到在不帶隨機因素的非線性確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)的隨機現(xiàn)象,這正是混沌運動的現(xiàn)象.另外,系統(tǒng)(2)的功率譜是連續(xù)譜,如圖5所示.圖5中沒有明顯的波峰,且序列的頻譜很寬,也說明系統(tǒng)(2)是混沌系統(tǒng).

2.3.2 Poincare截面分析

Poincare映射是一種分析復(fù)雜動力學(xué)系統(tǒng)的經(jīng)典途徑,對于一個系統(tǒng)是否為混沌系統(tǒng),可以從Poincare截面上的點分布情況來進行判定,此截面對于認(rèn)識混沌系統(tǒng)吸引子形成以及馬蹄映射奠定了基礎(chǔ).若Poincare截面上的點是成片的具有分形結(jié)構(gòu)的密集點時,可以判定系統(tǒng)為混沌系統(tǒng),反之,則不是混沌系統(tǒng).對于本文提出的憶阻器的混沌系統(tǒng)(2),取平面x=5,y=0,得到相應(yīng)的Poincare截面如圖6所示,可判定系統(tǒng)(2)為混沌系統(tǒng).

圖5 系統(tǒng)(2)的時域圖和功率譜 (a)時域圖;(b)功率譜Fig.5.Time domain waveform and power spectrum of system(2):(a)Time domain waveform;(b)power spectrum.

圖6 系統(tǒng)(2)的Poincare截面 (a)x=5;(b)y=0Fig.6.Poincare section of the system(2):(a)x=5;(b)y=0.

2.3.3 Lyapunov指數(shù)和維數(shù)

Lyapunov指數(shù)是定量描述軌線相互排斥和相互吸引的特征值,系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)是判定混沌系統(tǒng)的重要特征.混沌吸引子相鄰軌線之間呈現(xiàn)出彼此相互排斥的趨勢,并以指數(shù)速率相互分離.得到Lyapunov指數(shù)譜如圖7所示.計算最大Lyapunov指數(shù)的方法有很多種,這里采用的是雅可比矩陣的方法計算出3個Lyapunov指數(shù)分別為:L1=1.05,L2=0.05,L3=?13.84,其中一個指數(shù)為正,一個指數(shù)趨于0,一個指數(shù)為負(fù),且滿足L1

可見系統(tǒng)出現(xiàn)分?jǐn)?shù)維,說明系統(tǒng)(2)具有復(fù)雜的分形結(jié)構(gòu).混沌吸引子的分形性質(zhì)不僅僅表示的是非周期軌道,它還會使附近的軌線發(fā)生分岔現(xiàn)象.對于所有的奇怪吸引子,由不同的初值條件得到的軌跡會很快到達吸引域,但是相鄰的兩條軌線不會互相靠近,它們很快會沿著不同的路徑發(fā)散,在吸引子中形成分?jǐn)?shù)維.因此,的確有混沌現(xiàn)象存在于該動力系統(tǒng)中.

圖7 系統(tǒng)(2)的Lyapunov指數(shù)圖Fig.7.Lyapunov exponents of the system(2).

2.3.4 系統(tǒng)的參數(shù)影響

隨著系統(tǒng)參數(shù)的變化,系統(tǒng)的穩(wěn)定性將發(fā)生變化,從而系統(tǒng)也處于不同的狀態(tài),用分岔圖和Lyapunov指數(shù)圖可以直觀地表明系統(tǒng)參數(shù)變化時系統(tǒng)狀態(tài)的變化情況.固定參數(shù)b=8.2,c=5,d=3,w=10000,選取初始狀態(tài)(x,y,z)=(?0.1,?0.1,?0.1),并且選擇Poincare截面為y=5.當(dāng)有一個Lyapunov指數(shù)大于零時,系統(tǒng)處于混沌狀態(tài),由圖8(a)可見,隨著a的變化,系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)也在變化,除最小Lyapunov指數(shù)一直在減小外,其他兩個變化不是很明顯.當(dāng)a∈[1.7,4.0]時,最大的Lyapunov指數(shù)大于零,系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).而當(dāng)a處于其他區(qū)間時,系統(tǒng)基本上都是兩個Lyapunov指數(shù)等于零和一個Lyapunov指數(shù)小于零,系統(tǒng)處于周期狀態(tài),即系統(tǒng)存在環(huán)面吸引子,只是在少數(shù)區(qū)間存在兩個Lyapunov指數(shù)小于零和一個Lyapunov指數(shù)等于零的情況,系統(tǒng)存在著環(huán)吸引子.觀察圖8,當(dāng)a=2時,系統(tǒng)(2)處于混沌狀態(tài).從圖8(b)的局部放大圖可以看出系統(tǒng)(2)出現(xiàn)了倍周期分岔通向混沌的道路.

圖8 參數(shù)a變化時系統(tǒng)(2)的Lyapunov指數(shù)圖和分岔圖 (a)Lyapunov指數(shù)圖;(b)分岔圖Fig.8.The Lyapunov spectrum and bifurcation diagram of system(2)with the change of a:(a)Lyapunov spectrum;(b)bifurcation diagram.

3 混沌吸引子的模擬實現(xiàn)和SPICE仿真

為了驗證系統(tǒng)的混沌行為,設(shè)計了可以實現(xiàn)該系統(tǒng)的電路.該電路由三路模擬運算電路組成,分別實現(xiàn)系統(tǒng)的狀態(tài)變量vx,vy和vz的運算.用到的元器件有LM675運放,憶阻器,乘法器,二極管,電容和電阻等.每個模塊分別代表系統(tǒng)的一個變量的無量綱方程.在第一個模塊中,首先用兩個放大器組成的絕對值電路對變量vy取絕對值,然后反向輸入憶阻器模型的磁通端,從電荷端輸出后再經(jīng)過兩個反向比例電流,后經(jīng)過加法運算和積分運算得到變量vx.在第二個模塊中,通過乘法器、積分器、加法器和反向器等運算,得到變量vy.同理,第三個模塊中得到變量vz.加入該系統(tǒng)的電源為Vcc=30 V,VEE=?30 V.

運算放大器U1和U2被用來實現(xiàn)絕對值電路.二極管選D20NQ045,當(dāng)vy<0時,D1導(dǎo)通,D2截止,反相端“?”虛短,運算放大器U1的輸出電壓vU1=0,運算放大器U2為加法器,輸出電壓為當(dāng)v>0時,運算放大器U1輸出y電壓小于0,D1截止,只要U1達到?0.7 V,就導(dǎo)通D2,此時U1相當(dāng)于一個反相輸入的比例放大器,運算放大器的電壓運算放大器U2為加法器,輸出電壓為即

綜上可知:

當(dāng)R1=R3=R4=R7=1 k?,R2=R5=500?,U2的輸出電壓vU2=|vy|,運算放大器vU3的輸出電壓為:.令R8=R9=1 k?,可以得到vU3=?|vy|.

U3的輸出作為磁通控制器憶阻器的輸入,磁通控制憶阻器的參數(shù)設(shè)置為Ron=100?,Roff=20 k?,M(0)=16 k?,D=10 nm和uv=10?14m2·s?1·V?1.

運算放大器U4和U5主要對信號進行兩級放大,每一級放大的增益均為100.經(jīng)過兩級放大后,憶阻器的電荷被放大了10000倍.運算放大器U6實現(xiàn)一個反相比例器.令R10=100?,R12=100?,R11=R13=10 k?,得到

由運算放大器U10和U11分別實現(xiàn)一個加法器和一個積分器可以得到:

那么,得到

將vU6,vU8,vU9代入(14)式得到:

再把R17=R21=R19=R16=R24=R23=R25=R20=1 k?,R22=2 k?,R18=8.2 k?,R26=1 M?,C1=1μF代入,由(15)式可以得到:

同理,

令R27=R29=R30=R31=R33=R35=1 k?,R28=5 k?,R32=1 k?,R36=1 M?,C2=1μF,那么得到

因此,按照以上的方法可以得到

圖9 混沌系統(tǒng)(2)的SPICE仿真電路圖Fig.9.Analog SPICE implementation of the memristive chaotic system(2).

SPICE的步長為0.05 s,最大的終止步長為200 s,輸出打印時間為0.5 s.利用SPICE對圖9電路進行瞬時仿真.

調(diào)節(jié)電阻R15的值,即調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)w的值.當(dāng)R15=10 k?,即w置于10000,仿真結(jié)果如圖10所示;當(dāng)R15=2 k?,即w 置于2000時仿真結(jié)果如圖11所示;當(dāng)R15=25 k?,即w置于25000,仿真結(jié)果如圖12所示.

憶阻混沌系統(tǒng)的電路仿真結(jié)果對比圖2、圖3和圖4中的相圖,可知混沌吸引子電路實驗與數(shù)值仿真結(jié)果一致,從而驗證了該混沌吸引子存在于三維憶阻電路中.

圖10 w=10000時系統(tǒng)(2)的SPICE仿真結(jié)果Fig.10.SPICE simulation results of system(2)when w=10000.

圖11 w=2000時系統(tǒng)(2)的SPICE仿真結(jié)果Fig.11.SPICE simulation results of the system(2)when w=2000.

圖12 w=25000時,系統(tǒng)(2)的SPICE仿真結(jié)果Fig.12.SPICE simulation results of the system(2)when w=25000.

4 利用最大Lyapunov指數(shù)實現(xiàn)脈沖憶阻混沌同步

假設(shè)有驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng),令

作為驅(qū)動系統(tǒng),那么系統(tǒng)(19)可以寫成如下的形式:

其中

響應(yīng)系統(tǒng)可以寫成如下的形式:

其中

則誤差系統(tǒng)為:

其中

下面從最大Lyapunov指數(shù)的角度給出實現(xiàn)脈沖混沌同步的充分條件.

假定系統(tǒng)(20)和系統(tǒng)(22)的初始狀態(tài)距離為||E(0)||,該憶阻混沌系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)從2.3.3節(jié)可知為L1,對系統(tǒng)(22)不加控制,則經(jīng)過較短的時間?t后該距離不會超過

通常認(rèn)為混沌運動的最大可預(yù)測時間為1/λ1[32].由此可以得出如下的定理.

定理1 設(shè)β是(I+B)T(I+B)(I代表單位矩陣)的最大特稱值,L1是系統(tǒng)(20)的最大Lyapunov指數(shù),η是脈沖的間隔,ε>1且為常數(shù),若取適當(dāng)?shù)摩潞挺菨M足

并且η<1/L1,則系統(tǒng)(20)和系統(tǒng)(22)將達到同步.

證明 設(shè)

則

因此有

同理

依次類推

由定理1中的條件lnεβ +2L1η 6 0,有

由(34)式可知

因此有

證畢.

這里選取憶阻混沌系統(tǒng)的參數(shù)為a=2,b=8.2,c=5,d=3和w=10000,使系統(tǒng)(2)呈現(xiàn)雙渦卷的混沌狀態(tài),此時系統(tǒng)(2)最大Lyapunov指數(shù)L1=1.05. 取B=diag(?1.5,?1.5,?1.5),ε=4,代入(26)式解得η6 0.顯然,η<1/L1=0.952即可,即B=diag(?1.5,?1.5,?1.5),脈沖間隔不大于0.952 s,就可以令系統(tǒng)(20)和系統(tǒng)(22)達到同步.

圖13 兩系統(tǒng)的同步誤差曲線Fig.13.Synchronous error curves of two systems.

圖14 系統(tǒng)(20)驅(qū)動系統(tǒng)的時域圖Fig.14.Time domain diagram of driving system of system(20).

在數(shù)值仿真中,取B=diag(?1.5,?1.5,?1.5),η=0.05 s,選取時間步長為τ=0.0001 s,采用四階Runge-Kutta法求解方程(20)和(22).驅(qū)動系統(tǒng)(20)和響應(yīng)系統(tǒng)(22)初始點分別選取為X(0)=(10,5,8)和Y(0)=(8,?12,?20). 因此,誤差系統(tǒng)的初始值為E(0)=(?2,?17,?28).圖13為驅(qū)動系統(tǒng)(20)和響應(yīng)系統(tǒng)(22)的同步模擬結(jié)果,圖14為驅(qū)動系統(tǒng)(20)時域圖的模擬結(jié)果,圖15為響應(yīng)系統(tǒng)(22)時域圖結(jié)果,由誤差效果圖可見,e1(t),e2(t)和e3(t)最終穩(wěn)定在零點附近,即B=diag(?1.5,?1.5,?1.5),脈沖間隔η=0.05 s時,驅(qū)動系統(tǒng)(20)與響應(yīng)系統(tǒng)(22)達到了同步.

圖15 系統(tǒng)(22)響應(yīng)系統(tǒng)的時域圖Fig.15.Time domain diagram of response system of system(22).

5 結(jié) 論

憶阻器具有一種其他三種基本元件任意組合都不能復(fù)制的特性,它是一種有記憶功能的非線性電阻,可以記憶流經(jīng)它的電荷數(shù)量,通過控制電流的變化可改變其阻值,并且體積小,功耗低,在混沌電路中有著很高的應(yīng)用前景.本文首先基于增廣Lü系統(tǒng)和磁控憶阻器模型,構(gòu)建了一個基于憶阻器的三維混沌系統(tǒng).當(dāng)僅僅改變系統(tǒng)的一個參數(shù)時,得到了單渦巻﹑雙渦卷和四渦巻的混沌吸引子.由此可見,憶阻器的引入大大豐富了混沌系統(tǒng)的混沌程度,得到了復(fù)雜的混沌特性.通過對稱性、平衡點穩(wěn)定性、時域譜、功率譜、Lyapunov指數(shù)和維數(shù)、Poincare截面圖和分岔圖研究了該憶阻混沌系統(tǒng)的基本動力學(xué)特性,驗證了該系統(tǒng)的混沌特性.然后,實現(xiàn)了SPICE電路的模擬仿真,仿真結(jié)果與數(shù)值分析相符,進一步驗證了該憶阻混沌設(shè)計的正確性和可實現(xiàn)性.最后,利用最大Lyapunov指數(shù)的方法實現(xiàn)了憶阻混沌系統(tǒng)的脈沖混沌同步,數(shù)值仿真證實了憶阻混沌系統(tǒng)的存在性以及脈沖同步控制的可行性,對促進憶阻器的應(yīng)用意義重大,為進一步研究憶阻混沌系統(tǒng)在語音保密通信和信息處理中的應(yīng)用提供了實驗基礎(chǔ).

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