王俊國 肖 遙 楊旭峰 趙永翔 方修洋

西南交通大學機械工程學院，成都，610031

0 引言

作為機車驅(qū)動系統(tǒng)的關(guān)鍵零部件，齒輪副服役過程中的動力學性能直接影響列車的安全性與穩(wěn)定性。早期對齒輪傳動軸系進行研究主要根據(jù)線性振動理論，采用的大多是集中質(zhì)量、連續(xù)質(zhì)量或有限元模型。20世紀90年代開始考慮非線性因素對傳動軸系的影響［1］。KAHRAMAN 等［2］建立了一個含輪齒間隙和嚙合剛度的非線性齒輪-轉(zhuǎn)子-軸承模型。LEE等［3］利用有限元方法，研究了轉(zhuǎn)速和嚙合剛度變化時齒輪系統(tǒng)的振動特性。劉夢軍等［4］利用混合胞映射方法分析得出了不同輸入轉(zhuǎn)矩波動、齒側(cè)間隙、齒輪綜合誤差、激勵頻率和阻尼比參數(shù)下，單齒輪系統(tǒng)的全局特性。馬呈祥等［5］利用Romax軟件和有限元箱體模型，建立了和諧號機車驅(qū)動裝置分析模型。魏靜等［6］通過高速機車齒輪傳動系統(tǒng)多自由度動力學分析模型，歸納出了齒輪內(nèi)部激勵、齒面間隙等參數(shù)對機車齒輪傳動系統(tǒng)的影響規(guī)律。借助Simpack軟件，李曉龍等［7］建立了考慮扭矩傳遞、齒輪嚙合特性的驅(qū)動裝置動力學模型。崔利通［8］建立了包括牽引電機、轉(zhuǎn)子、齒輪箱體在內(nèi)的動力轉(zhuǎn)向架模型，研究了參數(shù)變化對各自系統(tǒng)動力學特性的影響。

高速列車齒輪傳動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復雜，在服役過程中承受單雙齒交替嚙合產(chǎn)生的高頻交變載荷，以及機車啟動、制動、通過道岔時的輪軌沖擊載荷作用，此外還受到突變的激擾因素影響。齒輪傳動系統(tǒng)常常由于齒輪的齒側(cè)間隙、時變嚙合剛度等非線性因素激發(fā)各種故障。如何揭示齒輪副模型參數(shù)變化與系統(tǒng)動力學特性、齒輪副穩(wěn)定性之間的內(nèi)在關(guān)系，是機車齒輪驅(qū)動過程中亟需深入研究的課題［9］。為此，本文以某和諧號貨運機車的齒輪傳動系統(tǒng)為研究對象，基于非線性動力學理論，分析研究牽引電機扭矩變化時傳動系統(tǒng)復雜的非線性動力學特性及演化規(guī)律，以期為鐵路機車齒輪傳動系統(tǒng)的模型參數(shù)設計以及振動控制提供理論支撐。

1 機車齒輪傳動系統(tǒng)動力學模型

1.1 齒輪傳動系統(tǒng)數(shù)學模型

圖1為某和諧號機車直齒齒輪傳動系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖。小齒輪采用簡支梁方式過盈安裝在牽引電機轉(zhuǎn)軸上，大齒輪則通過齒輪轂安裝于機車動力軸上，電機驅(qū)動扭矩經(jīng)齒輪副傳遞給動力輪對，驅(qū)動列車運行。該齒輪傳動系統(tǒng)的動力學簡化模型如圖2所示［9］。

圖1 某和諧號機車齒輪傳動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic of the mechanical transmission system for HXD locomotive

圖2 某和諧號機車齒輪傳動系統(tǒng)動力學簡化模型Fig.2 Simplified model of the spur gear transmission system for HXD locomotive

設 m1、m2、I1、I2、R1、R2分別為小齒輪和大齒輪的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量、基圓半徑，k1、k2、c1、c2為軸承和轉(zhuǎn)軸的支承剛度和阻尼，F(xiàn)0(t)為齒輪動態(tài)嚙合力，k(t)、cm為齒輪嚙合的綜合剛度和阻尼，T1、T2為牽引電機額定功率下輸出轉(zhuǎn)矩、軌道對輪對的反作用力矩，y1、y2分別為小齒輪、大齒輪在嚙合線方向移動的位移，θ1、θ2為小齒輪、大齒輪分別繞電樞軸、輪對軸轉(zhuǎn)過的角度，則齒輪傳動系統(tǒng)的動力學方程為［10］

設

其中，e(t)為嚙合誤差，km、ka分別為齒輪平均嚙合剛度和近似計算剛度，φ為初始相位，ω為嚙合頻率，me為等效質(zhì)量，則上述模型變成：

若齒輪副齒側(cè)間隙為2b，設w3=y/b，則間隙非線性函數(shù) f(w3)的量綱一表達式變?yōu)?/p>

1.2 輪軌黏滑狀態(tài)下的負載轉(zhuǎn)矩

機車牽引或制動工況運行時，輪軌間容易出現(xiàn)滑動。為描述其滑動程度，定義輪對滑動率［11］：

式中，v為輪對速度；ωw為輪對旋轉(zhuǎn)角速度（設大齒輪齒數(shù)為 Z2，有ωw=2πω/Z2）；R為輪對滾動圓半徑。

當機車發(fā)生空轉(zhuǎn)時，s為一較大值，驅(qū)動工況下，s為一負值，為便于表達，文中取絕對值表示。

由于輪軌產(chǎn)生的摩擦熱及鋼軌表面粗糙等原因，當輪軌切向力達飽和值時，滑動率增大，此時輪軌切向力將減小，輪軌的這種特性稱為黏著負斜率特性。本文采用圖3a所示黏滑特性曲線，描述輪軌黏著系數(shù)與蠕滑之間的關(guān)系，其中正斜率OA段為黏著狀態(tài)，負斜率AB段為滑動狀態(tài)。該特性曲線可用分段函數(shù)表示為

式中，fm為最大黏著系數(shù)；sc為臨界滑動率；kf為曲線負斜率。

圖3b中，a表示輪軌處于黏著狀態(tài)，b表示輪軌處于黏滑振動狀態(tài)，c表示輪軌處于全滑動狀態(tài)。機車以額定功率運行時，臨界滑動率取值0.01，滑動率s不大于0.03。

圖3 機車輪軌黏滑特性曲線Fig.3 Simplif i ed curve of tangential force coefficient of locomotive

設機車軸重為mg，則軌道對輪對的瞬時黏著力及力矩為 Fr=Fmg及 Mr=FrR，其中 Fr包括了軌道對輪對的動態(tài)牽引力和靜態(tài)牽引力，Mr中包括軌道對輪對動態(tài)力矩和靜態(tài)力矩兩部分。將Fr及Mr代入式（5），可得輪軌間的黏著力矩，亦即軌道對輪對的反作用力矩表達式為［11］

2 電機扭矩激擾的非線性特性仿真

某和諧號機車交流電機牽引特性曲線見圖4，當牽引電機轉(zhuǎn)速低于1 500 r/min時，電機輸出的扭矩與轉(zhuǎn)速成線性關(guān)系；自牽引電機轉(zhuǎn)速為1 500 r/min開始，機車進入恒功率運行階段，對應電機功率為1 275 kW，直至恒功結(jié)束點，對應電機轉(zhuǎn)矩約4 kN·m。為研究該型機車齒輪傳動系統(tǒng)的動力學特性，對機車齒輪傳動系統(tǒng)量綱一模型進行數(shù)值積分，仿真參數(shù)取值如下：小大齒輪基圓半徑R1=0.086 45 m、R2=0.451 05 m，支承剛度k1=k2=5.9×108N/m，平均嚙合剛度km=1.9×108N/m，近似計算剛度ka=3.5×107N/m，支承阻尼c1=c2=300 N·s/m，齒輪嚙合阻尼比為0.05，齒輪模數(shù)為8 mm，齒側(cè)間隙b=0.125 mm。

圖5即為取固定步長為50，采用MATLAB軟件數(shù)值積分后得到的傳動系統(tǒng)量綱一位移隨牽引電機扭矩變化的分岔圖。由該分岔圖曲線可知，當機車牽引電機的扭矩以圖4所示牽引特性曲線變化時，齒輪傳動系統(tǒng)的非線性動力學響應經(jīng)歷了單周期、多周期、混沌等多種運動形式，并且牽引電機在恒功率起始點即電機扭矩為8 000 N·m前后兩個階段，傳動系統(tǒng)的非線性動力學演化規(guī)律差別較大。

圖4 機車交流電機的牽引特性曲線Fig.4 Traction characteristic curve of locomotive AC motor

圖5 系統(tǒng)位移隨牽引電機扭矩變化的分岔圖曲線Fig.5 Bifurcation diagram of the system using the torque of traction motor as control parameter

由圖5可知，當電機扭矩小于9 900 N·m時，系統(tǒng)響應首先為單周期，在扭矩為9 900～9 800 N·m時，系統(tǒng)進入周期2運動。當扭矩在9 750～9 650 N·m變化時，系統(tǒng)經(jīng)歷短暫的擬周期狀態(tài)后在9 600～9 450 N·m再次進入周期2運動狀態(tài)，其后扭矩在9 400～8 150 N·m區(qū)間變化，系統(tǒng)回歸單周期穩(wěn)定運動狀態(tài)。圖5還顯示，電機扭矩在恒功起始點前，即扭矩為8 100 N·m處，系統(tǒng)陷入隨機的、不規(guī)則的運動狀態(tài)，即進入陣發(fā)性混沌狀態(tài)，當電機扭矩為8 000 N·m時，系統(tǒng)經(jīng)短暫的單周期運動，在扭矩為7 950～6 900 N·m區(qū)間，再次陷入陣發(fā)性混沌狀態(tài)，其后扭矩在6 850～6 750 N·m區(qū)間變化，系統(tǒng)做周期2運動，在扭矩為6 700 N·m處進入單周期運動，倒分岔現(xiàn)象一直持續(xù)到扭矩為5 000 N·m左右。當電機扭矩為4 950 N·m時，系統(tǒng)響應為周期3運動，即系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)［12］；隨后系統(tǒng)很快就在扭矩為4 800～4 600 N·m范圍進入混沌狀態(tài)，最終，當扭矩小于4 550 N·m時，系統(tǒng)脫離混沌進入到單周期穩(wěn)定狀態(tài)，直至機車牽引電機恒功率的終點。

圖6 牽引電機扭矩為9 950 N·m時系統(tǒng)動力學特性曲線Fig.6 The dynamic characteristic curve of the system when torque is equal to 9 950 N·m

為進一步說明機車傳動系統(tǒng)復雜的動力學演化規(guī)律，圖6～圖13分別給出了扭矩取不同值時系統(tǒng)的動力學響應曲線。根據(jù)單周期、多周期、混沌運動的相關(guān)特征可知：圖6、圖11、圖13是單周期運動，圖7、圖9、圖12為周期2運動，圖14對應周期3運動，而圖8、圖11、圖15對應的機車齒輪傳動系統(tǒng)運動狀態(tài)均為混沌狀態(tài)。

圖7 牽引電機扭矩為9 850 N·m時系統(tǒng)動力學特性曲線Fig.7 The dynamic characteristic curve of the system when torque is equal to 9 850 N·m

圖8 牽引電機扭矩為8 500 N·m時系統(tǒng)動力學特性曲線Fig.8 The dynamic characteristic curve of the system when torque is equal to 8 500 N·m

圖9 牽引電機扭矩為7 800 N·m時系統(tǒng)動力學特性曲線Fig.9 The dynamic characteristic curve of the system when torque is equal to 7 800 N·m

圖10 牽引電機扭矩為6 800 N·m時系統(tǒng)動力學特性曲線Fig.10 The dynamic characteristic curve of the system when torque is equal to 6 800 N·m

圖11 牽引電機扭矩為6 600 N·m時系統(tǒng)動力學特性曲線Fig.11 The dynamic characteristic curve of the system when torque is equal to 6 600 N·m

圖12 牽引電機扭矩為4 950 N·m時系統(tǒng)動力學特性曲線Fig.12 The dynamic characteristic curve of the system when torque is equal to 4 950 N·m

圖13 牽引電機扭矩為4 700 N·m時系統(tǒng)動力學特性曲線Fig.13 The dynamic characteristic curve of the system when torque is equal to 4 700 N·m

3 結(jié)論

（1）機車齒輪傳動系統(tǒng)動力學模型的內(nèi)部激勵包含齒側(cè)間隙和時變嚙合剛度，是齒輪系統(tǒng)具有非線性特征的根本原因。隨著外部激勵機車牽引電機扭矩的變化，系統(tǒng)動力學響應進入混沌的路徑有三條，其一為“倍周期分岔→混沌”，另兩條分別是“陣發(fā)性混沌”和“周期3→混沌”。

（2）機車齒輪傳動系統(tǒng)進入混沌運動狀態(tài)后，除整數(shù)倍頻成分外，1.5倍頻、2.5倍頻等諧波成分也隨之增大，齒輪碰撞程度趨于激烈，傳動系統(tǒng)穩(wěn)定性會變差。因此，為減小齒輪嚙合造成的碰撞傷害，設計該型機車傳動系統(tǒng)外部激勵參數(shù)時，牽引電機額定轉(zhuǎn)矩應低于8 000 N·m，這一結(jié)論與實際情況相符。

［1］ 申永軍，楊紹普.齒輪系統(tǒng)的非線性動力學與故障診斷［M］.北京：科學出版社，2014.SHEN Yongjun，YANG Shaopu.Nonlinear Dynamics and Fault Diagnosis of Gear System［M］.Beijing：Science Press，2014.

［2］ KAHRAMAN A，SINGH R.Interactions between Timevarying Mesh Stiffness and Clearance Non-linearity in a Geared System［J］.Journal of Sound and Vibration，1991，146（1）：135-156.

［3］ LEE A S，HA J W，CHOI D H.Coupled Lateral and Torsional Vibration Characteristics of a Speed Increasing Geared Rotor-bearing System［J］.Journal of Sound and Vibration，2003，263（4）：725-742.

［4］ 劉夢軍，沈允文，董海軍.齒輪系統(tǒng)參數(shù)對全局特性影響的研究［J］.機械工程學報，2004，40（11）：58-63.LIU Mengjun，SHEN Yunwen，DONG Haijun.Research on the Affection of the Gear System Parameters on the Global Character［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，2004，40（11）：58-63.

［5］ 馬呈祥，張志和，楊俊杰，等.機車驅(qū)動裝置的系統(tǒng)分析［J］.鐵道機車車輛，2012，32（3）：27-30.MA Chengxiang，ZHANG Zhihe，YANG Junjie，et al.System Analysis on Locomotive Driving Device［J］.Railway Locomotive and Car，2012，32（3）：27-30.

［6］ 魏靜，孫清朝，孫偉，等.高速機車牽引齒輪傳動系統(tǒng)動態(tài)特性及非線性因素影響研究［J］.振動與沖擊，2012，31（17）：38-50.WEI Jing，SUN Qingchao，SUN Wei，et al.Dynamic Analysis and Effects of Nonlinear Factors of a Gear Transmission System for High Speed Locomotive［J］.Journal of Vibration and Shock，2012，31（17）：38-50.

［7］ 李曉龍.高速列車齒輪驅(qū)動裝置建模及其動態(tài)特性研究［D］.成都：西南交通大學，2013.LI Xiaolong.Drivetrain Modelling of High Speed Train and Study on Its Dynamic Characteristics［D］.Chengdu：Southwest Jiaotong University，2013.

［8］ 崔利通.高速列車牽引傳動系統(tǒng)振動特性分析［D］.成都：西南交通大學，2014.CUI Litong.Vibration Characteristic Analysis of Driving System for High-speed Trains［D］.Chengdu：Southwest Jiaotong University，2014.

［9］ WANG J G，HE G Y，ZHANG J，et al.Nonlinear Dynamics Analysis of the Spur Gear System for Railway Locomotive［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2017，2：41-55.

［10］ 劉曉寧.齒輪系統(tǒng)的混沌控制及仿真［D］.西安：西北工業(yè)大學，2007.LIU Xiaoning.Chaos Control of Geared System and Its Simulation［D］.Xi'an：Northwestern Polytechnical University，2007.

［11］ 姚遠，張紅軍，羅赟，等.黏滑振動理論及其在鐵路機車中的應用［J］.機械工程學報，2010，46（24）：75-82.YAO Yuan，ZHANG Hongjun，LUO Yun，et al.Theory of Stick-slip Vibration and Its Application in Locomotive［J］.Journal of Mechanical Engineering，2010，46（24）：75-82.

［12］ LI T Y，YORKE J A.Period Three Implies Chaos［J］.The American Mathematical Monthly，1975，82（10）：985-992.