王 劍 白 洋 郭吉豐

浙江大學電氣工程學院，杭州，310027

0 引言

電機慣性沖擊的驅(qū)動方法是壓電驅(qū)動領域的一項新的嘗試，它利用壓電陶瓷的逆壓電效應和慣性位移原理，將定子的靜變形通過摩擦力作用，以慣性位移的形式傳遞運動［1］，適用于高分辨率、大行程和小作用力的場合。國內(nèi)外學者對慣性沖擊式壓電致動器的研究主要集中在精密位移平臺、多自由度執(zhí)行器和微型機器人等領域［2］。MORITA等［3］開發(fā)出一種基于多層壓電結(jié)構(gòu)的致動器，利用慣性沖擊原理驅(qū)動，在鋸齒波電壓激勵下，可實現(xiàn)空載轉(zhuǎn)速27 r/min和堵轉(zhuǎn)力矩0.56 N·m的輸出。而后，MORITA等［4］又研制出相同原理的并聯(lián)致動器結(jié)構(gòu)，可將運動偏差控制在0～18.6 μm范圍內(nèi)。NISHIMURA等［5］研制出慣性沖擊原理的直線超聲波電機，該電機具備速度快和推力足的優(yōu)點，可實現(xiàn)直線速度0.28 m/s和最大推力3.1N的輸出。盧秋紅等［6］設計出可實現(xiàn)圓周和直線運動的壓電型慣性微驅(qū)動器，并建立了動力學模型，進一步可借鑒納米摩擦學分析其動態(tài)特性。張宏壯等［7］利用壓電雙晶片作為驅(qū)動單元，提出一種慣性沖擊式二自由度精密驅(qū)動器，選擇了定頻調(diào)幅的控制模式。劉俊標等［8］提出慣性沖擊式壓電微電機的改進型結(jié)構(gòu)，可有效克服重心偏移，在電機動力學計算基礎上，設計了基于模擬信號的匹配電源，具有穩(wěn)定的運行效果。KANG等［9］采用方波和三角波信號分別作為慣性沖擊方法的輸入源，針對電機速度和力矩兩個維度的輸出作比對測試，證明了方波信號的激勵效果優(yōu)于三角波信號的激勵效果。黃衛(wèi)清等［10］設計了基于慣性沖擊原理的三驅(qū)動足精密定位裝置，可實現(xiàn)夾持負載納米級的定位精度。

本文提出的改進型旋轉(zhuǎn)-直線二自由度超聲波電機屬于多自由度電機的特殊分支［11］，其構(gòu)造機理和激勵方式如下：傾斜布置在定子表面的單種壓電陶瓷，既能激勵定子的扭轉(zhuǎn)振動，也能激勵其縱向振動；采用基于慣性沖擊原理的單相驅(qū)動電源即可實現(xiàn)旋轉(zhuǎn)和直線兩種運動。本文介紹了該電機的構(gòu)造機理，闡述了慣性沖擊方法的電機驅(qū)動原理，建立了電機的驅(qū)動數(shù)學模型，并對不同輸入條件下的非對稱方波激勵進行算例分析。

1 構(gòu)造機理

旋轉(zhuǎn)-直線二自由度超聲波電機的構(gòu)造見圖1，定子復合體（定子柱體）由金屬彈性體和壓電陶瓷組成：金屬彈性體采用變截面結(jié)構(gòu)，由圓柱過渡到正四棱柱，在正四棱柱的表面開定位槽黏接壓電陶瓷，與定子軸線在空間上成一定的偏轉(zhuǎn)角度，與金屬彈性體共同構(gòu)成壓電激振體；轉(zhuǎn)子環(huán)套接在圓柱表面，可靈活調(diào)節(jié)預緊力，實現(xiàn)旋轉(zhuǎn)和直線二自由度運動。其中，壓電陶瓷片沿厚度方向極化以充分利用壓電應變系數(shù)d31；在壓電陶瓷表面黏接柔性電路板，穩(wěn)固連接單相激勵電源。

圖1 旋轉(zhuǎn)-直線二自由度超聲波電機構(gòu)造圖Fig.1 The sketch of rotary-linear 2-DOF ultrasonic motor

該電機最大的優(yōu)勢在于僅用單定子和單相電源即可實現(xiàn)二自由度運動。傾斜布置壓電陶瓷片是為了充分激發(fā)扭振的振幅，傾斜角度的平衡設計可參考文獻［12］；單相電源可完全消除相位差對電機性能的影響，降低驅(qū)動電路的復雜度，與單相激勵相匹配的驅(qū)動原理是近諧振點平穩(wěn)慣性沖擊方法（smooth impact drive method，SIDM）。根據(jù)有限元模態(tài)分析的結(jié)果可知，旋轉(zhuǎn)運動由定子一階扭振模態(tài)驅(qū)動，直線運動則由一階縱振模態(tài)驅(qū)動。

2 驅(qū)動原理

鑒于旋轉(zhuǎn)-直線二自由度超聲波電機采用單定子結(jié)構(gòu)，施加正弦波信號時，定子端面質(zhì)點的伸縮位移/扭轉(zhuǎn)角度是對稱的，無法有效驅(qū)動轉(zhuǎn)子輸出宏觀運動，因此電機慣性沖擊的驅(qū)動方式需采用非對稱方波信號激勵，其頻率、幅值和占空比均可調(diào)節(jié)，在縱向振動模式（直線運動）下驅(qū)動轉(zhuǎn)子運動。建立定子和轉(zhuǎn)子的受力分析，見圖2，其中FN為轉(zhuǎn)子受到的預壓力，F(xiàn)f為定子傳遞給轉(zhuǎn)子環(huán)的摩擦力，ms、xs和mr、xr分別為定子和轉(zhuǎn)子的質(zhì)量與位移。靜摩擦力Fs和動摩擦力Fk均遵循經(jīng)典摩擦定理，其表達式如下：

式中，μs為靜摩擦因數(shù)；μk為動摩擦因數(shù)。

圖2 定子和轉(zhuǎn)子的受力分析Fig.2 Force analysis between the stator and rotor

當對電機施加非對稱（占空比D≠50%）方波信號激勵時，定子圓柱端面的質(zhì)點位移為鋸齒波，見圖3。在單個周期A中，B段為定子端面位移的上升周期（定子伸長），C段為下降周期（定子回縮）。

圖3 非對稱方波信號激勵與定子端面位移關系示意圖Fig.3 Relationship between asymmetric square wave excitation and linear displacement of stator

2.1 低頻振動狀態(tài)

當定子柱體處于低頻振動時，在B區(qū)間內(nèi)，定子、轉(zhuǎn)子受到靜摩擦力的限制，兩者保持相對靜止，其表達式如下：

定子柱體變形伸長，帶動轉(zhuǎn)子共同做平滑運動，位移為Δd，見圖4。在tB時間點，轉(zhuǎn)子的位移和速度可表示為

式中，τ為時間。

圖4 轉(zhuǎn)子位移示意圖Fig.4 Schematic of rotor displacement

在C區(qū)間，方波信號下降到零電平，定子柱體隨即回縮，轉(zhuǎn)子加速度遠小于定子加速度，得

此時轉(zhuǎn)子受到慣性影響，不隨定子同步回縮，兩者產(chǎn)生相對滑動，轉(zhuǎn)子近似表現(xiàn)為靜止狀態(tài)。在tC時間點，轉(zhuǎn)子的位移和速度可表示為

當方波信號又處于上升周期時，轉(zhuǎn)子再隨定子做平滑運動，位移為Δd，而后又保持近似靜止的狀態(tài)。微觀上，轉(zhuǎn)子保持隨動→靜止→隨動的循環(huán)運動狀態(tài)；宏觀上，轉(zhuǎn)子逐步積累為單一方向的直線運動。

2.2 高頻振動狀態(tài)

當定子柱體處于高頻振動時，在B區(qū)間內(nèi)，轉(zhuǎn)子將突破靜摩擦力的束縛，轉(zhuǎn)為受動摩擦力驅(qū)使，定子和轉(zhuǎn)子的運動方向一致，位移量不同。在tB時間點，轉(zhuǎn)子的位移和速度可表示為

在C區(qū)間，方波信號下降到零電平，定子柱體隨即回縮，定子加速度遠大于轉(zhuǎn)子加速度。轉(zhuǎn)子受到慣性的影響，會繼續(xù)保持在B區(qū)間的運動方向，定子和轉(zhuǎn)子之間產(chǎn)生滑動，轉(zhuǎn)子沿著定子柱體伸長的方向運動，轉(zhuǎn)子的位移和速度可表示為

當方波信號再次處于上升周期時，轉(zhuǎn)子在動摩擦力的作用下，再隨定子做平滑運動，隨后又保持滑動的狀態(tài)。微觀上，轉(zhuǎn)子保持隨動→滑動→隨動的循環(huán)運動狀態(tài)；宏觀上，轉(zhuǎn)子也逐步積累為單一方向的直線運動。

2.3 影響因素

實際上轉(zhuǎn)子在C區(qū)間內(nèi)停留的時間較短，所以無論低頻或高頻振動，轉(zhuǎn)子的宏觀運動都將保持單一方向的連續(xù)性。轉(zhuǎn)子運動對摩擦因數(shù)、方波信號幅值和占空比等參數(shù)較為敏感。摩擦因數(shù)取值較大時，可確保轉(zhuǎn)子在B區(qū)間保持隨動，抑制轉(zhuǎn)子在C區(qū)間的運動；但摩擦因數(shù)取值過大，可能導致轉(zhuǎn)子在全周期與定子隨動，電機無宏觀位移輸出；摩擦因數(shù)取值較小時，可促進轉(zhuǎn)子在C區(qū)間的運動，抑制轉(zhuǎn)子在B區(qū)間的隨動；但摩擦因數(shù)取值過小，可能導致轉(zhuǎn)子在全周期與定子相對滑動或保持靜止，電機的輸出不可控，因此，需選擇合適的摩擦因數(shù)值來平衡提高電機的輸出力能（包括輸出力矩和速度）。方波信號幅值和占空比影響定子端面質(zhì)點振動的形態(tài)：較大的電壓幅值（非飽和）會增大定子端面鋸齒波的位移幅值；占空比偏離50%的數(shù)值越大，會相應延長定子端面鋸齒波的上升周期（或下降周期）。扭轉(zhuǎn)振動模式（旋轉(zhuǎn)運動）與縱向振動模式（直線運動）類似，此處不再展開。

3 驅(qū)動模型

為便于定子建模，先作近似和假設如下：①金屬彈性體材質(zhì)均勻，定子軸線始終垂直于定子柱體的截面；②壓電陶瓷與金屬棱柱黏接理想，忽略膠層對系統(tǒng)振動特性的影響，忽略壓電陶瓷剪切變形的影響。

設定子柱體長度為 Lm，圓柱直徑（棱柱邊長）為Dm，壓電陶瓷的長度、厚度、寬度和傾斜角度分別為 Lp、tp、wp和α，見圖5。建模時將定子柱體等效為激勵和傳導兩個部分：①激勵部分包含金屬棱柱及壓電陶瓷，長度為l1；②傳導部分為金屬圓柱，長度為l2。l1和l2滿足關系：l1=Lpcos α 和 l2=Lm-l1。

圖5 定子驅(qū)動模型Fig.5 The drive model of the stator

定子縱向振動方程和扭轉(zhuǎn)振動方程分別由瑞利理論和圣維南理論構(gòu)建［12］，在引入壓電與金屬復損耗系數(shù)［13］的基礎上，可求得定子傳導部分端面的n階縱振模態(tài)的最大位移和n階扭振模態(tài)的最大扭轉(zhuǎn)角度：

式中，Em、tan φ′和Gm分別為金屬彈性體的彈性模量、損耗系數(shù)和剪切模量；Ep、η和Gp分別為壓電陶瓷的彈性模量、損耗系數(shù)和剪切模量；γp為壓電陶瓷的泊松比；U0為輸入電壓的幅值。

由上節(jié)可知，旋轉(zhuǎn)-直線二自由度超聲波電機的驅(qū)動原理為慣性沖擊方式，頻率選擇在靠近諧振點，需輸入非對稱（D≠50%）方波信號，其表達式如下：

式中，T為方波周期；D為占空比。

根據(jù)Fourier變換，U（t，D）可分解為直流偏置量和多個高次正弦波，其表達式如下：

式中，ω為方波信號的角頻率。

不考慮直流偏置量的情況下，將式（16）代入式（13）和式（14），可得到縱振和扭振模態(tài)下定子端面質(zhì)點的位移形態(tài)。

在縱振模態(tài)下，當輸入方波信號U（t，D）的激勵時，定子端面的直線位移表示為

在扭振模態(tài)下，當輸入方波信號U（t，D）的激勵時，定子端面的旋轉(zhuǎn)角度表示為

調(diào)節(jié)方波信號的頻率ω，可切換電機直線和旋轉(zhuǎn)兩種運動模式。通過調(diào)節(jié)占空比D，可得到定子端面質(zhì)點的直線位移/旋轉(zhuǎn)角度的輸出形態(tài)，當占空比D偏離50%時，該曲線形態(tài)接近鋸齒波。

4 算例分析

計算所用的二自由度超聲波電機的參數(shù)見表1。定子金屬彈性體選用黃銅材料，壓電陶瓷的型號為P-81。

表1 旋轉(zhuǎn)-直線二自由度超聲波電機的參數(shù)Tab.1 The parameters of the rotary-linear 2-DOF ultrasonic motor

利用驅(qū)動模型對電機進行掃頻分析，U0=50V，D=50%，f=25～60 kHz，結(jié)果見圖 6。由圖 6a可以看出，一階扭振的諧振頻率fT=29.9 kHz，最大旋轉(zhuǎn)角度約為0.011°；由圖6b可以看出，一階縱振的諧振頻率fL=52.6 kHz，最大直線位移約為0.32 μm。

圖6 電機的振幅-頻率特性Fig.6 Amplitude-frequency characteristics of the stator

對電機施加方波信號U0=50V，fL=53.6 kHz（n=1），占空比D=20%，33%，50%，66%和80%。利用式（17）得到定子一階縱振的端面直線位移，見圖7。由圖7可以看出，當占空比D≠50%時，端面質(zhì)點的直線位移呈鋸齒波形態(tài)；占空比D距離50%越遠，端面位移的最大幅值越小，對應的上升周期（或下降周期）越長。平衡考慮位移幅值和有效周期，并考量電機的力能輸出，最終將方波的占空比選擇在D=33%或66%，分別實現(xiàn)轉(zhuǎn)子的前進和后退，因此輸入非對稱方波，可在定子端面輸出符合條件的鋸齒波，從而滿足慣性沖擊方法的驅(qū)動要求。

圖7 不同占空比下的定子端面直線位移Fig.7 Linear displacement of the stator's end surface under different duty cycles

對電機輸入方波信號fT=29.9 kHz（n=1），其他參數(shù)同縱振模態(tài)選用的參數(shù)。利用式（18）可得定子一階扭振的端面質(zhì)點旋轉(zhuǎn)角度，見圖8，可以看出，扭振模態(tài)的趨勢與縱振模態(tài)的趨勢一致。

圖8 不同占空比下的定子端面旋轉(zhuǎn)角度Fig.8 Rotation angle of the stator's end surface under different duty cycles

5 結(jié)論

（1）針對旋轉(zhuǎn)-直線二自由度超聲波電機，提出近諧振點慣性沖擊的驅(qū)動方法。在定子、轉(zhuǎn)子的接觸與受力分析基礎上，判定轉(zhuǎn)子的宏觀速度和位置，證明了電機在近諧振點處采用非對稱方波激勵，可將定子振動轉(zhuǎn)換為轉(zhuǎn)子的直線和旋轉(zhuǎn)運動。

（2）提出該電機的驅(qū)動模型，定量分析了定子端面質(zhì)點直線位移和旋轉(zhuǎn)角度的輸出波形。結(jié)果表明，在方波的占空比偏離50%后，定子端面的直向位移（或旋轉(zhuǎn)角度）逐漸呈鋸齒波形態(tài)，可有效驅(qū)動轉(zhuǎn)子的直線和旋轉(zhuǎn)運動。

（3）從壓電陶瓷的傾斜排列和驅(qū)動方法入手，采用的單相慣性驅(qū)動方式不僅可簡化驅(qū)動器結(jié)構(gòu)，且完全消除了相位差對電機性能的影響，具有較高的應用價值。

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