程毛林

（蘇州科技大學 數(shù)理學院，江蘇 蘇州 215009）

在預測中，灰色模型是一類重要的模型。在灰色模型中，GM（1，1）模型已得到了廣泛的應(yīng)用[1-4]。但在模型的實際預測中，有時誤差較大，這引起了眾多學者的研究，其研究主要集中在模型的修正與拓展等方面[5-9]。這些方法雖然有一定的效果，但對某些數(shù)據(jù)建模其精度還是不夠理想。有個重要原因可能是模型的基本形式（用于估計參數(shù)）和模型的白化方程（用于預測）結(jié)構(gòu)不一致。為了提高模型的預測精度，該文僅從模型的白化方程出發(fā)，按照某個準則，直接對其解（時間響應(yīng)函數(shù)）優(yōu)化[10-14]，如按照平均相對誤差絕對值最小準則建模。這需要先確定優(yōu)化函數(shù)的初始值，文中給出兩種方法，即三和法和三點法。

1 灰色模型GM（1，1）直接優(yōu)化建?；舅枷?/h2>

設(shè)原始時間序列為 x（0）（t）={x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）}，對 x（0）（t）作累加生成運算，即

得生成列 x（1）（t）={x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n）}。

灰色模型GM（1，1）的白化方程為

即時間響應(yīng)方程為一微分方程，這里a、b為待估常數(shù)。其解（時間響應(yīng)函數(shù)）為

令 t=k 得到 GM（1，1）灰色模型的時間響應(yīng)序列，可得原始序列的預測值。

為了提高預測精度，x（0）（1）用其估計值x^（0）（1）代替，即時間響應(yīng)函數(shù)為這里，、a、b 為待估參數(shù)。

文中按照平均相對誤差絕對值最小準則建模，即讓

最小求得最優(yōu)值。

步驟1 取初始值 η（0），初始矩陣 H（0）（通常取單位陣），令 k=0。

步驟2 由 g（k）=▽f（η（k））。

步驟3 令 p（k）=-H（k）g（k）。

步驟4 由一維搜索確定步長。

步驟5 令 η（k+1）=η（k）+αkp（k）。

步驟6 若||g（k+1）||≤ε，則 η*=η（k+1）停止；否則令 s（k）=η（k+1）-η（k），y（k）=g（k+1）-g（k）。

步驟7

式中，β＝δk（0≤δ≤1）。

得到 H（k+1）。 令 k=k+1 轉(zhuǎn)步驟3。

顯然滿足

即生成列 x（1）（t）＝{x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n）}的一階差分的環(huán)比為一常數(shù)或原始時間序列 x（0）（t）={x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）}的環(huán)比為一常數(shù)。 滿足此特征才可建立灰色模型 GM（1，1）。

2 灰色模型GM（1，1）參數(shù)初始值的確定方法

2.1 三和法

設(shè)時間響應(yīng)函數(shù)為，（t=0，1，2，…）。 這里，為待估參數(shù)。

為估計未知參數(shù)，用觀測值 x（1）（t+1）代替得

設(shè)觀測值有 3n 個點，t=1，2，…，3n 有

由上面三式求得

2.2 三點法

設(shè)原始時間序列為 x（0）（t）={x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（3n）}，生成列 x（1）（t）={x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（3n）}。

設(shè)3個點為。

其中

代入時間響應(yīng)函數(shù)得

解得

3 建模實例

改革開放以來，我國經(jīng)濟發(fā)展迅速，人民生活水平逐年提高，表現(xiàn)為城鎮(zhèn)居民家庭人均可支配收入（元）增長較快，表1是我國城鎮(zhèn)居民家庭人均可支配收入（元）從2008年到2015年的資料，文中利用給出的方法建立灰色模型 GM（1，1）。

表1 城鎮(zhèn)居民家庭人均可支配收入數(shù)據(jù)及預測結(jié)果

可以求得生成列 x（1）（t）={x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n）}的一階差分的環(huán)比或原始時間序列 x（0）（t）={x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）}的環(huán)比近似為一常數(shù)。 故可建立灰色模型 GM（1，1）。

利用文中給出的三和法得

即

由得原始序列預測結(jié)果，見表 1。

可以看出三和法預測誤差較小。

若用三點法，得

即

由得原始序列預測結(jié)果，見表 1。

可以看出三點法預測誤差也不大。

若按照平均相對誤差絕對值最小準則直接建模，即讓

最小。

如果按照常規(guī)最優(yōu)化方法（包括常規(guī)擬牛頓法）求解，在給出的初始值離精確值相差大的情況下，不僅收斂速度慢，且精度差。主要表現(xiàn)在收斂慢且收斂不到理論最優(yōu)值。

若由文中給出的最優(yōu)化方法求解。初始值取三和法結(jié)果，即

初始矩陣 H（0）為單位陣，δ=0.8，ε=10-6。 很快得到參數(shù)最優(yōu)估計值

這樣

由得原始序列預測結(jié)果，見表 1。

可以看出直接優(yōu)化建模預測誤差很小。

4 結(jié)語

文中給出了灰色模型 GM（1，1）的特征，即生成列 x（1）（t）={x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n）}的一階差分的環(huán)比為一常數(shù)或原始時間序列 x（0）（t）={x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）}的環(huán)比為一常數(shù)，滿足此特征才可建立灰色模型GM（1，1）。文中對灰色模型GM（1，1）按照平均相對誤差絕對值最小準則，利用改進的擬牛頓法直接優(yōu)化建模，其初始值由三和法或三點法給出。實例表明三和法、三點法和直接優(yōu)化建模預測誤差都很小，直接優(yōu)化建模精度最高。

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