張 俊， 靳 瑩， 朱炳任

(陸軍裝甲兵學(xué)院車輛工程系， 北京 100072)

多鐵性復(fù)合材料在生物醫(yī)療、精密控制、信息傳輸與存儲(chǔ)等工程實(shí)踐中被廣泛應(yīng)用，其優(yōu)越的力電耦合性能受到越來越多研究者的關(guān)注[1-3]。但由于材料本身大都為脆性的人工陶瓷，因此在復(fù)雜的工作環(huán)境下容易產(chǎn)生缺陷、裂紋，并導(dǎo)致多鐵性元器件失效[4]。通過分析研究多鐵性復(fù)合材料的各項(xiàng)參數(shù)對(duì)其斷裂行為的影響，能夠?yàn)樵擃悘?fù)合材料的優(yōu)化設(shè)計(jì)和性能改善提供重要的理論參考。近年來，對(duì)該類材料的斷裂分析研究已取得較大進(jìn)展，但在建立斷裂力學(xué)分析模型時(shí)，大部分研究者會(huì)把模型上載荷的作用方式假設(shè)成存在于裂紋面上的等效載荷，或是存在于模型外表面上的均布載荷[5-7]，這與實(shí)際工作時(shí)材料外表面往往存在著局部的非均布載荷不相符。因此，研究外表面分布載荷作用下多鐵性復(fù)合材料的斷裂力學(xué)問題更具有現(xiàn)實(shí)意義。

鑒于此，筆者在建立斷裂力學(xué)分析模型的基礎(chǔ)上，利用分離變量法和無窮級(jí)數(shù)法推導(dǎo)出該模型的Cauchy奇異積分方程組，并采用配點(diǎn)法對(duì)其進(jìn)行數(shù)值求解，分析討論出不同參數(shù)對(duì)裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子(Stress Intensity Factor,SIF)的影響規(guī)律，以期對(duì)多鐵性復(fù)合材料的防斷裂優(yōu)化設(shè)計(jì)提供一定的參考。

1 理論模型

圖1為分布載荷作用下某一壓電/壓磁圓柱復(fù)合材料的橫截面。其中：內(nèi)部為壓磁層，外部為壓電層，層間存在一條弧形裂紋，外表面作用有一段軸向分布載荷。建立坐標(biāo)系，以橫截面圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，x軸正方向水平向右，y軸垂直于x軸向上，z軸方向根據(jù)右手螺旋法則確定。由圖1可知：壓磁層和壓電層的厚度分別為r1-r0及r2-r1；裂紋上下尖端所對(duì)應(yīng)的中心角分別為α和γ，則裂紋弧長可表示為l=(α-γ)r1；令分布載荷密度函數(shù)為τ(θ)，其中θ∈[θR,θL]。

假設(shè)圖1中各材料沿z軸方向極化，通過壓電理論容易知道該圓柱復(fù)合材料為橫觀各向同性材料，且橫截面內(nèi)的電磁場(chǎng)與軸向變形相耦合。為方便起見，用i=1,2分別表示壓磁層和壓電層，則該材料的基本方程可表示為

(1)

(2)

(3)

由于Mi可逆，將式(1)代入式(2)可得

(4)

在斷裂力學(xué)分析中，該模型為電磁可通模型,其邊界條件可表示為

(5)

(6)

(7)

(8)

w1(r1,θ)=w2(r1,θ)，θ?(γ,α)；

(9)

(10)

式中：H(·)為Heaviside函數(shù)。

2 斷裂力學(xué)分析

在運(yùn)用邊界條件時(shí)，利用正余弦函數(shù)的正交性將位移、磁勢(shì)、電勢(shì)、剪切應(yīng)力、磁感應(yīng)強(qiáng)度以及電位移分為奇部和偶部來處理。對(duì)于邊界條件(6)，當(dāng)利用正余弦函數(shù)的正交性將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程時(shí)，會(huì)因τ(θ)的不同而得到不同的表達(dá)式，因此在根據(jù)邊界條件求解代數(shù)方程組之前，首先需要確定τ(θ)的表達(dá)式，也即確定分布載荷的分布形式。分布載荷的3種不同分布形式為：

1) 當(dāng)層合柱外表面受均布載荷作用時(shí)，有τ(θ)=τ0，其中τ0為分布范圍內(nèi)任一點(diǎn)處的單位載荷；

2) 當(dāng)層合柱外表面受正弦型分布載荷作用時(shí)，有τ(θ)=τ0sin[(θ-θR)π/(θL-θR)]；

3) 當(dāng)層合柱外表面受余弦型分布載荷作用時(shí)，有τ(θ)=τ0cos[(θ-θR)π/(θL-θR)]。

2.1 位錯(cuò)密度函數(shù)

通過位錯(cuò)模擬法得到相應(yīng)的位錯(cuò)密度函數(shù)為

(11)

顯然，邊界條件(9)滿足式(11)。此外，為使位移場(chǎng)滿足單值性要求，位錯(cuò)密度函數(shù)還需滿足的條件為

(12)

利用分離變量法求解式(4)，可得到其無窮級(jí)數(shù)解析式的表達(dá)式，再代入式(11)可得

(13)

利用正余弦函數(shù)的正交性，式(13)可改寫為

(14)

通過邊界條件可知,奇部和偶部具有相同的系數(shù)矩陣Ω，于是可得

(15)

式中：Ω為12階矩陣；P=[P1P2]T, 其中

對(duì)于SP(n)和ST(n)，可以根據(jù)不同類型的分布載荷τ(θ)的表達(dá)式得到，即

1) 當(dāng)層合柱外表面為均布載荷時(shí)，有

SP(n)=(sin(nθL)-sin(nθR))/n；
ST(n)=(cos(nθR)-cos(nθL))/n。

2) 當(dāng)層合柱外表面為正弦型分布載荷時(shí)，有

3) 當(dāng)層合柱外表面為余弦型分布載荷時(shí)，有

于是求解式(15)，可以解得系數(shù)矩陣P和Q分別為

(16)

式中：Λ1、Λ2分別為Ω-1的第1、2列向量。

2.2 Cauchy奇異積分方程組

將式(16)代入式(10)，化簡整理可得

(17)

式中：

其中Λ12、Λ22、Λ32、Λ42均為列向量Λ2中的元素；

其中

Λ11、Λ21、Λ31、Λ41均為列向量Λ1中的元素。

通過計(jì)算可知

(18)

式中：q為常數(shù)。將式(18)代入式(17)，利用

可得

(19)

式中：

其中?=cosθ，ζ=coss。

令f(ζ)≡g(s)cscs,a=cosα,b=cosγ, 則ds=-cscsdζ，將其代入式(19)可得

(20)

(21)

式中：

根據(jù)Cauchy奇異積分方程理論，可將式(21)的解表示為

(22)

利用式(22)可通過配點(diǎn)法將式(21)轉(zhuǎn)化為如下代數(shù)方程組

(23)

式中：m為求積節(jié)點(diǎn)數(shù)，其值將依據(jù)數(shù)值計(jì)算收斂速度的大小來確定；

2.3 應(yīng)力強(qiáng)度因子

根據(jù)Ⅲ型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子的定義可得

(24)

式中：

(25)

為裂紋尖端的奇異應(yīng)力。

將ζ=coss, ?=cosθ,a=cosα,b=cosγ, ds=-cscsdζ代入式(25)，可得其標(biāo)準(zhǔn)形式為

(26)

根據(jù)Cauchy奇異積分方程理論，有

(27)

式(27)的等式右邊前2項(xiàng)沒有奇異項(xiàng)，因此可以省略。

(28)

結(jié)合公式[9]

(29)

對(duì)式(28)進(jìn)行無量綱化處理，有

(30)

通過對(duì)式(23)進(jìn)行求解，得到ψ(1)和ψ(-1)，進(jìn)而利用式(30)則可得到應(yīng)力強(qiáng)度因子的數(shù)值解。

3 數(shù)值計(jì)算及討論

壓磁層和壓電層材料分別為CoFe2O4和BaTiO3，其材料參數(shù)如表1所示。

表1 材料參數(shù)

3.1 核函數(shù)收斂性判別

3.2 參數(shù)分析

3.2.1 壓電層厚度對(duì)SIF的影響

在不同壓電層厚度下，討論改變分布載荷作用位置θm對(duì)SIF大小以及SIF峰值點(diǎn)位置的影響，其變化曲線如圖3所示，其中：幾何參數(shù)r0=10 mm，r2=30 mm，α=72°，γ=48°，Δθ=θL-θR=24°。由圖3可知：3種不同的載荷分布形式對(duì)SIF大小的影響關(guān)系為均布載荷>正弦型載荷>余弦型載荷；在其給定條件下，r1越大，即壓電層越薄，SIF越大，且其變化量也越大；當(dāng)且僅當(dāng)θm=60°時(shí)，分布載荷范圍與裂紋相重合，且裂紋θ=α與θ=γ的SIF相等，各自曲線對(duì)應(yīng)的SIF峰值點(diǎn)關(guān)于θm=60°對(duì)稱，此時(shí)該模型屬于對(duì)稱模型。因此，通過減小壓電層的厚度，可在一定程度上削弱因模型不對(duì)稱性而對(duì)SIF的影響。

3.2.2 分布載荷范圍對(duì)SIF的影響

在不同分布載荷范圍Δθ下，討論改變分布載荷作用位置θm對(duì)SIF大小以及SIF峰值點(diǎn)位置的影響,其變化曲線如圖4所示。由于裂紋θ=α與θ=γ關(guān)于θm=60°對(duì)稱，因此僅以紋上尖端(θ=α)處得到的SIF的規(guī)律作圖，其中r0=10 mm,r1=25 mm,r2=30 mm,(α+γ)/2=60°，裂紋對(duì)應(yīng)中心角α-γ≡24° 。

由圖4可以看出：SIF隨Δθ的增大逐漸增大，且變化顯著，但變化量卻逐漸變小。上述結(jié)果說明：當(dāng)Δθ較大時(shí)，裂紋尖端附近的載荷對(duì)SIF的影響較大，而其他位置的載荷對(duì)SIF的影響可忽略不計(jì)，這與文獻(xiàn)[10]得出的結(jié)論(從集中載荷對(duì)裂紋尖端的影響來看，當(dāng)集中載荷作用位置距離裂紋尖端一定范圍內(nèi)時(shí)才具有較為明顯的影響)相一致。

4 結(jié)論

通過對(duì)3種不同分布載荷作用下的壓電/壓磁圓柱復(fù)合材料的斷裂力學(xué)分析可知，壓電層厚度以及分布載荷是影響材料中裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子大小的主要因素，其中：壓電層越薄，應(yīng)力強(qiáng)度因子的數(shù)值越大；分布載荷位置的改變使得其中心角的角平分線與裂紋的角平分線不重合，即整個(gè)模型不具有對(duì)稱性，因此應(yīng)力強(qiáng)度因子并不是在裂紋尖端這一理想位置達(dá)到峰值。

上述結(jié)論可為此類復(fù)合材料的防斷裂優(yōu)化設(shè)計(jì)提供一定的理論參考。然而，Ⅲ型裂紋問題在實(shí)際應(yīng)用中屬于較為理想的工況，且材料外表面受力情況更復(fù)雜，因此相關(guān)問題仍需進(jìn)一步研究。

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