張春雨，劉祿勤

（武漢大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，武漢 430072）

1 問題的提出

隨著壽命分布理論的深入發(fā)展與廣泛應(yīng)用，各種新型的壽命分布被相繼提出。Admidis和Loukas（1998）[1]對指數(shù)分布與幾何分布進(jìn)行復(fù)合，得到的新分布稱為Exponential-Geometric 分布；Kus（2007）[2]通過復(fù)合指數(shù)分布與Poisson分布得到了Exponential-Poisson分布；Hemmati（2011）[3]將Weibull分布與Poisson分布進(jìn)行復(fù)合，提出了Weibull-Poisson 分布；Alzahrani（2014）[4]采用相同的機(jī)制對Lomax分布和Poisson分布進(jìn)行復(fù)合，得到的分布稱為Poisson-Lomax分布。這些文獻(xiàn)研究了所得新分布的性質(zhì)，并給出了參數(shù)在完全樣本下的極大似然估計。

然而在壽命試驗(yàn)中，受試驗(yàn)時間、費(fèi)用等因素的限制，取得完全樣本往往有較大難度。例如，在醫(yī)學(xué)藥物試驗(yàn)中，受試者遷居外地而失去觀察，對藥物有不良反應(yīng)從而退出試驗(yàn)；受試驗(yàn)時間、費(fèi)用的限制，無法將試驗(yàn)進(jìn)行到所有元件都失效等。在這些情形下，只能得到一組不完全樣本。定數(shù)截尾是數(shù)據(jù)缺失的一種基本類型，王德輝（1999）[5]研究了定數(shù)截尾情形在熵?fù)p失函數(shù)下指數(shù)分布參數(shù)的Bayes估計，徐凌云（2010）[6]、鄢偉安（2012）[7]等給出了定數(shù)截尾情形下Exponential-Poisson分布參數(shù)的Bayes估計，并對不同損失函數(shù)下的估計進(jìn)行了比較。對于上述新分布，定數(shù)截尾情形下的參數(shù)估計研究尚不全面。本文研究定數(shù)截尾情形下Poisson-Lomax分布的參數(shù)估計。

在可靠性和壽命試驗(yàn)研究中，Lomax分布是一種使用廣泛的壽命分布。該分布包含了單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的失效率，被廣泛應(yīng)用于分析醫(yī)學(xué)、生物科學(xué)和工程科學(xué)等方面的壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中。Poisson-Lomax分布是2014年由Alzahrani[4]新提出的一種三參數(shù)壽命分布，是Lomax分布的推廣。

設(shè)Y1' Y2' …' Yn獨(dú)立同分布于參數(shù)為α' β的Lomax分布，其密度函數(shù)為：

其中 α' β＞0。Z 服從參數(shù)為 λ∈(0'M)' 0＜M≤∞ 的截零Poisson分布，即：

且 Z與{Yk:k≥1}獨(dú)立。令ξ=max{Y1'Y2'…'YZ}，則稱 ξ服從參數(shù)為 (α' β' λ)的Poisson-Lomax分布。其分布函數(shù)為：

密度函數(shù)為：

其中α'β'λ＞0。該分布的危險率函數(shù)為：

隨參數(shù)的不同取值，危險率函數(shù)h(x)具有單調(diào)減和單峰兩種形態(tài)，其靈活的危險率函數(shù)給統(tǒng)計建模帶來了更多的選擇。文獻(xiàn)[4]分析了該分布的密度函數(shù)與危險率函數(shù)，給出了各階矩與順序統(tǒng)計量，以及完全樣本情形下參數(shù)的極大似然估計與區(qū)間估計，并將此新分布應(yīng)用于實(shí)際數(shù)據(jù)。該分布在實(shí)際場景中的良好效果展示了其良好的應(yīng)用前景。本文將給出定數(shù)截尾情形下Poisson-Lomax分布參數(shù)的Bayes估計，并進(jìn)行數(shù)值模擬。模擬結(jié)果表明，在數(shù)據(jù)量較小時，Bayes估計優(yōu)于極大似然估計。

2 參數(shù)的Bayes估計

在壽命試驗(yàn)中，假定n個試驗(yàn)對象的壽命獨(dú)立同分布，規(guī)定進(jìn)行到有r個試驗(yàn)對象失效時試驗(yàn)終止。設(shè)此r個試驗(yàn)對象的生存時間依次為x1'x2'…'xr,則x1≤x2≤…≤xr。記x=(x1'x2'…'xr),由文獻(xiàn)[8]可知，x的聯(lián)合分布密度為：故似然函數(shù)為：

先考慮 α、β已知時參數(shù) λ的Bayes估計。記ti=(1+βxi)-α，則式（7）可記為：

取λ的先驗(yàn)密度為廣義均勻分布：

其中0＜M≤∞，則λ的Bayes后驗(yàn)密度為：

記為決策函數(shù)的后驗(yàn)風(fēng)險為的損失函數(shù)，則：

λ 的Bayes估計的定義為

損失函數(shù)是影響B(tài)ayes估計效果的因素之一，Linex損失函數(shù)和刻度平方損失函數(shù)是常用的兩種損失函數(shù)。刻度平方損失函數(shù)由于計算方便，在參數(shù)估計問題中應(yīng)用廣泛[9-11]。Linex損失函數(shù)由Varian于1975年提出，Zellner（1986）[12]將Linex損失函數(shù)用于Bayes統(tǒng)計推斷問題，其后Linex損失函數(shù)日漸成為Bayes估計中常用損失函數(shù)之一。

本文將損失函數(shù)取為Linex損失函數(shù)和刻度平方損失函數(shù)，分別求參數(shù)的Bayes估計。

2.1 參數(shù)λ在Linex損失函數(shù)下的Bayes估計

對 λ?= λ?(x),Linex損失函數(shù)的定義為：

引理 1：記為 λ在損失函數(shù)式（12）下的Bayes估計,則：

證明：對式（12）求條件期望，得：

等式兩端對λ?求一階偏導(dǎo)得：

令可得又：

故作為 λ在損失函數(shù)式（12）下的估計是唯一的。

定理1：對于先驗(yàn)分布式（9）,在損失函數(shù)式（12）下參數(shù)λ的Bayes估計為：

證明：由式（10）及引理1，可得：

定理得證。

2.2 參數(shù)λ在刻度平方損失函數(shù)下的Bayes估計

對刻度平方損失函數(shù)定義為：

特別地，當(dāng) k=0 時為平方損失函數(shù)。

引理 2：記為 λ在損失函數(shù)式（19）下的Bayes估計，則：

證明：對式（19）兩端求條件期望，得：

等式兩端對λ?求一階偏導(dǎo)得：

令可得又：

故作為λ在刻度平方損失函數(shù)式（19）下的估計是唯一的。

定理2：對于先驗(yàn)分布式（9）,在損失函數(shù)式（19）下參數(shù)λ的Bayes估計為：

證明：由式（10）及引理2，可得：

由式（20）、式（25）、式（26），可得式（24）。定理得證。

2.3 參數(shù)α 的Bayes估計

類似于上文對參數(shù)λ的Bayes估計，本文可以考慮λ、α已知時參數(shù)β的Bayes估計和β、λ已知時參數(shù)α的Bayes估計。限于篇幅，本文僅給出β、λ已知時參數(shù)α的Bayes估計。設(shè) β、λ已知，則由式（7）得：

取α的先驗(yàn)密度為廣義均勻分布：

其中0＜M≤∞，則α的Bayes后驗(yàn)密度為：

與參數(shù)λ的Bayes估計方法類似，本文可以得到α在Linex損失函數(shù)下的Bayes估計α?1與刻度損失函數(shù)下的Bayes估計表達(dá)式如下：

3 數(shù)值模擬

由文獻(xiàn)[4]，Poisson-Lomax分布的分位數(shù)函數(shù)為：

對參數(shù)λ的極大似然估計λ?m及在兩種損失函數(shù)下的Bayes估計 λ?1、λ?2進(jìn)行數(shù)值模擬。步驟如下：

（1）確定需要產(chǎn)生的樣本容量n,以及截尾數(shù)r；

（2）固定 α=2,β=0.5,對 λ'M'n'r分別取不同的值，進(jìn)行后續(xù)步驟；

（3）產(chǎn)生獨(dú)立的U1'…'Un～ Unif(0,1),令 X1=Q(U1)'…'Xn=Q(Un),則 X1'…'Xn～F(x;2'0.5'λ)。取 x1=X(1)'…'xr=X(r),計算 ti=(1+βxi)-α'i=1'…'r；

（4）計算記e-zc′,對 M ＜ ∞ ,由大數(shù)定律：

其中，z1'…'zN～Unif(0'M)。取 N=10000'c=0.01'k=0,計算

在λ取值范圍為λ∈(0'∞)時，有：

其中，z1'…'zN～Exp(1)。取 N=10000'c=0.01'k=0,計算

（5）對每個 λ的取值，重復(fù)步驟（3）、步驟（4）1000次，并求其均值、標(biāo)準(zhǔn)誤、均方誤差。

設(shè) λ?m為 λ的極大似然估計，即 λ?m為在 α、β 已知時似然函數(shù)式（7）的最大值點(diǎn)，用Newton法求 λ?m，迭代終止條件為兩次結(jié)果相差小于0.001。將兩個Bayes估計與極大似然估計進(jìn)行比較。

由以上模擬步驟，可得如下頁表1所示模擬結(jié)果。表1展示了λ=5、M=∞時，在不同的n、r取值下λ的估計。由表1可以看出，估計的準(zhǔn)確度隨n、r的增加而上升。當(dāng)n不變而r增大時，準(zhǔn)確度提高；當(dāng)r不變只有n增加時，準(zhǔn)確度同樣會提高。由表1易見，此時極大似然估計優(yōu)于Bayes估計。

表2（見下頁）比較了在M 取有限值時兩種估計的效果。取λ=4、M=100,n、r取值如表2所示。當(dāng)數(shù)據(jù)缺失較多，即r較小時，極大似然估計效果較差。表2顯示，r=2、r=5時，n的三種取值情形下Bayes估計均優(yōu)于極大似然估計；當(dāng)觀察到的數(shù)據(jù)較多，即有效樣本量r=20時，極大似然估計效果更好。同時，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)觀察到的數(shù)據(jù)很少即r=2或r=5時，表2中由左至右Bayes估計相對極大似然估計的優(yōu)勢越來越明顯。這是因?yàn)橛勺笾劣襫增大，數(shù)據(jù)缺失程度變大，極大似然估計因此效果變差。

表1 λ=5、M=∞時估計結(jié)果比較

表2 λ=4、M=100時模擬結(jié)果

表3給出了不同M取值對Bayes估計準(zhǔn)確程度的影響。由表3可知，M=∞時Bayes估計效果最差，M=50時估計效果最好，M=100時估計效果比M=50時略差。此處M的取值在Bayes估計中決定了λ的先驗(yàn)分布，M取值較小，給出的先驗(yàn)信息更充分，估計更準(zhǔn)確。

表3 n=1000、r=20時模擬結(jié)果

類似地，本文對參數(shù)α的兩個Bayes估計進(jìn)行模擬。取c=0.8、 k=2，得到表4所示結(jié)果。由表4可知，除數(shù)據(jù)量較小的n=60、r=10情形，M取值對α估計準(zhǔn)確度影響不大，因此在數(shù)據(jù)量較大時，對α的估計可取先驗(yàn)分布為(0'∞)上的廣義均勻分布。

表4 α=5時模擬結(jié)果

綜上，可得如下結(jié)論：（1）當(dāng)r很小時，Bayes估計明顯優(yōu)于極大似然估計；（2）r固定時，n越大，數(shù)據(jù)缺失程度越大，Bayes估計相對極大似然估計的優(yōu)勢越明顯；（3）對參數(shù)λ而言，M取值越小估計越準(zhǔn)確；（4）對參數(shù)α，當(dāng)數(shù)據(jù)量較小時M取有限值估計更準(zhǔn)確，數(shù)據(jù)量較大時M取值對估計準(zhǔn)確度影響相對較小。

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