曲國(guó)巖 俞瑞芳

摘要： 地震動(dòng)頻率非平穩(wěn)特性對(duì)結(jié)構(gòu)的非線性響應(yīng)有重要影響。引入具有統(tǒng)計(jì)參數(shù)的時(shí)-頻包線函數(shù)來(lái)近似模擬地震動(dòng)頻率非平穩(wěn)特性，建立了以反應(yīng)譜為目標(biāo)的非平穩(wěn)地震動(dòng)擬合方法。以天然地震動(dòng)為種子，設(shè)計(jì)了4種時(shí)程擬合方案，得到了滿足相同目標(biāo)譜的4組加速度時(shí)程，結(jié)果分析表明，（1）本文建立的地震動(dòng)擬合方法，能夠很好地保留原始地震動(dòng)的非平穩(wěn)特性和持續(xù)時(shí)間，且擬合精度較高；（2）基于實(shí)際地震動(dòng)提取的時(shí)-頻包線函數(shù)，能夠較好地模擬地震動(dòng)頻率的非平穩(wěn)特性；（3）基于統(tǒng)計(jì)參數(shù)定義的時(shí)-頻包線函數(shù)能夠近似模擬地震動(dòng)頻率非平穩(wěn)特性，與真實(shí)地震動(dòng)頻率隨時(shí)間的變化規(guī)律符合較好。以這4組地震加速度時(shí)程作為輸入，分別對(duì)層數(shù)為7層和15層的規(guī)則鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行三維非線性時(shí)程分析，結(jié)果表明，采用僅考慮強(qiáng)度非平穩(wěn)特性的地震輸入，存在低估規(guī)則鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)非線性響應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)，因此在人工合成地震動(dòng)中應(yīng)該考慮其頻率的非平穩(wěn)特性，合理估計(jì)結(jié)構(gòu)的非線性響應(yīng)，保證結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的安全性。

關(guān)鍵詞： 隨機(jī)振動(dòng)； 地震動(dòng)； 結(jié)構(gòu)非線性響應(yīng)； 頻率非平穩(wěn)特性； 地震動(dòng)合成

中圖分類號(hào)： O324； TU311.3文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A文章編號(hào)： 1004-4523（2018）02-0198-11

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.02.002

引 言

實(shí)際地震動(dòng)是一個(gè)非平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程。工程中常用的強(qiáng)度包線函數(shù)，能夠反映地震動(dòng)強(qiáng)度的非平穩(wěn)過(guò)程，即認(rèn)為地震動(dòng)經(jīng)歷一定長(zhǎng)度的上升時(shí)間段，達(dá)到某一強(qiáng)度并保持平穩(wěn)持續(xù)一段時(shí)間，然后再緩慢衰減至地震動(dòng)結(jié)束[1]。但強(qiáng)度包線并不能反映實(shí)際地震記錄中頻率隨時(shí)間變化的特性，即地震動(dòng)的頻率非平穩(wěn)特性[2]。從結(jié)構(gòu)響應(yīng)的角度看，地震動(dòng)的非平穩(wěn)特性可以理解成地震動(dòng)能量在頻率和時(shí)間上的不均勻分布。不少研究表明，地震動(dòng)的能量如果在頻率和時(shí)間上分布相對(duì)集中，那么它要比能量分布相對(duì)均勻的地震動(dòng)對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生更為嚴(yán)重的破壞[3]。因此地震動(dòng)頻率含量變化對(duì)結(jié)構(gòu)的影響，特別是對(duì)結(jié)構(gòu)非線性時(shí)程分析結(jié)果將產(chǎn)生不可忽視的影響[4-5]。分析近年來(lái)的研究成果，主要分為兩類，一類研究結(jié)果認(rèn)為，結(jié)構(gòu)進(jìn)入非線性狀態(tài)時(shí)，結(jié)構(gòu)頻率有降低的趨勢(shì)，實(shí)際地震動(dòng)在持時(shí)后半段低頻分量較為豐富，則結(jié)構(gòu)會(huì)因共振而產(chǎn)生更大的響應(yīng)[6-7]，影響程度則與頻率的非平穩(wěn)程度有關(guān)[8]；另一類研究結(jié)果則認(rèn)為，結(jié)構(gòu)的最大反應(yīng)通常發(fā)生在強(qiáng)震階段，而非地震動(dòng)的后期，由于地震動(dòng)后期幅值變小很多，即使低頻分量變得更顯著也不會(huì)引起更大的響應(yīng)[9]。地震動(dòng)頻率的非平穩(wěn)特性究竟對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)有多大的影響，學(xué)者們并沒(méi)有得出明確的結(jié)論。

因此，本文的研究目的主要有兩個(gè)，一是引入具有統(tǒng)計(jì)參數(shù)的時(shí)-頻包線函數(shù)，近似模擬地震動(dòng)頻率非平穩(wěn)特性，建立能夠反映地震動(dòng)頻率非平穩(wěn)特性的擬合方法，為結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)分析提供合理的輸入；二是通過(guò)采用不同的擬合方法，控制地震輸入的頻譜特性，分析地震動(dòng)非平穩(wěn)特性對(duì)結(jié)構(gòu)非線性響應(yīng)的影響。結(jié)果分析表明，本文建立的頻率非平穩(wěn)地震動(dòng)的擬合方法能夠近似反映地震動(dòng)的非平穩(wěn)特性；地震動(dòng)頻率非平穩(wěn)特性對(duì)規(guī)則鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的非線性響應(yīng)有不可忽視的影響，僅考慮地震動(dòng)的強(qiáng)度非平穩(wěn)特性，存在低估規(guī)則鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)非線性響應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)。因此，在實(shí)際工程應(yīng)用中，為了合理估計(jì)結(jié)構(gòu)的非線性響應(yīng)，保證結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的安全性，不應(yīng)忽視地震動(dòng)的頻率非平穩(wěn)特性。

1 基于時(shí)-頻包線函數(shù)的地震動(dòng)合成方法1.1 非平穩(wěn)地震動(dòng)合成的基本公式

為了能夠反映地震動(dòng)頻率的非平穩(wěn)變化，本文采用以下隨機(jī)過(guò)程模型[10]，即y（t）=∫∞-∞B（t，ω）eiωtdF（ω）（1）式中 i=-1，B（t，ω）是一個(gè)確定的時(shí)-頻調(diào)制函數(shù)，表示了一個(gè)地震過(guò)程絕對(duì)幅值的包絡(luò)。若將B（t，ω）換成工程中常用的僅依賴于時(shí)間變化的強(qiáng)度包線函數(shù)[11-12]，則式（1）就僅能考慮地震動(dòng)強(qiáng)度非平穩(wěn)特性。dF（ω）表示一個(gè)零均值，相互獨(dú)立的正交過(guò)程：E[dF（ω）]=0（2）

E[dF*（ω1）dF（ω2）]=δ（ω1-ω2）S（ω1）dω1dω2（3）式中 E[·]表示總體的平均值，δ（·）為狄拉克δ函數(shù)，*表示復(fù)共軛，S（ω）為dF（ω）的功率譜密度函數(shù)。

在地震工程中，時(shí)頻調(diào)制函數(shù)只有當(dāng)它是實(shí)數(shù)、非負(fù)的時(shí)候才有意義，即B（t，ω）∈R， B（t，ω）≥0（4） 假設(shè)，對(duì)于給定的ωk，B（t，ω）有max[B（t，ωk）]=1（5）B（t，ωk）僅確定的是相應(yīng)于頻率ωk的包絡(luò)線的形狀，而ωk處地震動(dòng)的幅值則由功率譜密度函數(shù)S（ωk）來(lái)決定。因此，根據(jù)式（1），采用三角級(jí)數(shù)法生成人工地震動(dòng)時(shí)程，即y（t）=∑nk=1B（t，ωk）2S（ωk）Δωcos（ωkt+k）（6）式中 Δω為頻率的增量，ωk為離散的頻率，k為[0，2π]間均勻分布的隨機(jī)相位。

很明顯，如果根據(jù)實(shí)際工程需要能夠合理地估計(jì)對(duì)應(yīng)于不同頻率ωk的時(shí)頻包線函數(shù)B（t，ωk），式（6）的計(jì)算就會(huì)很簡(jiǎn)單。

1.2 具有統(tǒng)計(jì)參數(shù)的時(shí)-頻包線函數(shù)B（t，ω）

近年來(lái)，能夠從時(shí)域和頻域聯(lián)合描述地震動(dòng)強(qiáng)度和頻率非平穩(wěn)特性的瞬時(shí)譜得到了發(fā)展[13-14]。瞬時(shí)譜具有時(shí)間和頻率分辨能力，能更準(zhǔn)確地反映地震動(dòng)非平穩(wěn)特性，但是由于對(duì)時(shí)間和頻率的二元函數(shù)描述過(guò)于復(fù)雜，且影響模型參數(shù)的因素較多、統(tǒng)計(jì)性較差，使瞬時(shí)譜無(wú)法直接用于工程實(shí)踐。文獻(xiàn)[15]提出了用主頻率Fp來(lái)近似模擬地震動(dòng)頻率隨時(shí)間的變化。Fp表示在一系列采樣時(shí)間點(diǎn)上，對(duì)應(yīng)于時(shí)頻譜最大幅值的頻率值（如圖1所示），文獻(xiàn)[15]基于對(duì)NGA數(shù)據(jù)庫(kù)中10545條加速度記錄的時(shí)-頻分析，給出了不同震級(jí)、震中距及場(chǎng)地條件下計(jì)算Fp的統(tǒng)計(jì)參數(shù)，非常方便工程應(yīng)用。主頻率計(jì)算公式[15]Fp（t）=f0+pe-stsin（ωt）（7） 第2期曲國(guó)巖，等： 基于時(shí)-頻包線的非平穩(wěn)地震動(dòng)合成及其對(duì)結(jié)構(gòu)非線性響應(yīng)的影響振 動(dòng) 工 程 學(xué) 報(bào)第31卷 式中 Fp表示的是在一系列采樣時(shí)間點(diǎn)上（t1，t2，…，tn），對(duì)應(yīng)于小波譜的最大幅值的頻率值，即主頻率；參數(shù)f0，p，s，ω具有統(tǒng)計(jì)意義，決定了主頻率時(shí)變曲線的形狀。

圖1 主頻率的定義[15]

Fig.1 Definition of predominant frequencies[15]

對(duì)于一系列時(shí)間采樣點(diǎn)tk，時(shí)頻譜的變化可以用單峰函數(shù)來(lái)表示L（f，tk）=fFp（tk）e-f-Fp（tk）Fp（tk）（8）式中 f為頻率，F(xiàn)p（tk）為每個(gè)采樣時(shí)間點(diǎn)tk處的主頻率，如式（7）所示。

用E（t）表示地震動(dòng)的幅值隨時(shí)間的變化過(guò)程，則地震動(dòng)的時(shí)頻聯(lián)合分布可定義為WB（t，f）=E2（t）L（f，t） （9）因此對(duì)應(yīng)于不同的采樣頻率fk處，時(shí)頻包線函數(shù)B（t，fk）可以通過(guò)正規(guī)化WB（t，f）得到，即

B（t，fk）=WB（t，fk）/max[WB（t，fk）]，

k=1，2，… （10）

如果選取二類場(chǎng)地、M[6.5，7.0）、R[40-60]的主頻參數(shù)，即：

Fp（t）=3.392+25e-0.008tsin（-0.004t）（11）

選擇雙指數(shù)函數(shù)模型描述地震動(dòng)的強(qiáng)度變化，即E（t）=I0（e-αt-e-βt）（12）式中 α=0.08，β=0.085，I0=1。即可獲得地震動(dòng)隨頻率變化的包線函數(shù)B（t，ω）。B（t，ω）在頻率分別為0.8，5.0，10 Hz的變化曲線如圖2所示。可以看出，頻率越小，低頻分量就變得越突出，也就是說(shuō)，隨頻率變化的調(diào)制函數(shù)B（t，ω）符合地震動(dòng)頻率隨時(shí)間的變化規(guī)律，能夠反映地震動(dòng)頻率的變化特性。

圖2 具有統(tǒng)計(jì)參數(shù)的時(shí)-頻包線函數(shù)B（t，ω）

Fig.2 Frequency-dependent amplitude envelope function B（t，ω）1.3 提取實(shí)際地震動(dòng)的時(shí)-頻包線函數(shù)B（t，ω）

基于實(shí)際地震動(dòng)計(jì)算的瞬時(shí)譜適合于特定地震記錄的仿真再現(xiàn)。隨著時(shí)頻分析技術(shù)的發(fā)展，目前可以采用多種方法對(duì)實(shí)際地震進(jìn)行時(shí)頻分析，例如時(shí)變功率譜（瞬時(shí)功率譜、漸進(jìn)功率譜、物理譜）、ARMA模型、Wigner-Ville分布、小波變換和Hibert-Huang變換等[16-19]。

本文采用一維連續(xù)小波變換提取能反映實(shí)際頻譜特性的包線函數(shù)B（t，ω）。對(duì)于選定的小波函數(shù)ψa，b（t），將地震信號(hào)y（t）做連續(xù)小波變換，即可得到關(guān)于時(shí)間和尺度的小波系數(shù)

WS（a，b）=∫+∞-∞y（t）ψa，b（t）dt=

1a∫+∞-∞y（t）ψ（t-ba）dt （13）

式中 ψa，b（t）為小波函數(shù)ψa，b（t）的共軛函數(shù)，a為尺度因子，b為平移因子。

相應(yīng)于尺度因子a的頻率Fa可以表示為Fa=Fcfsa（14）式中 Fc為小波基ψ（t）的中心頻率，有Fc=1，fs為加速度時(shí)程y（t）的采樣頻率。

對(duì)地震動(dòng)y（t）進(jìn)行一維連續(xù)小波變換，即得到強(qiáng)震記錄y（t）在小波函數(shù)上的分量，展開(kāi)參數(shù)a和b，即可得到任意時(shí)刻、任意尺度的頻譜。將尺度換算成頻率，從而得到關(guān)于時(shí)間和頻率的小波譜WS（t，ω）。因此，式（6）中相應(yīng)于不同ωk處的B（t，ωk）就可以通過(guò)規(guī)則化小波譜，即

B（t，ωk）=WS（t，ωk）/max[WS（t，ωk）]，

k=1，2，… （15）

式中 k為離散頻率的點(diǎn)數(shù)。圖3給出了Imperial Valley-06地震記錄的頻率為0.8，5.0，10 Hz的包線函數(shù)。與圖2給出的頻率變化曲線相比，該方法得到的包線函數(shù)隨時(shí)間變化呈現(xiàn)出不同的抖動(dòng)狀態(tài)，而圖2中時(shí)頻包線函數(shù)過(guò)于光滑，因此，采用式（10）所示的包線函數(shù)進(jìn)行地震動(dòng)擬合時(shí)，會(huì)忽略了實(shí)際地震動(dòng)的一些細(xì)小因素。

圖3 提取天然地震動(dòng)不同頻率處的包線函數(shù)B（t，ω）

Fig.3 Frequency-dependent amplitude envelope function B（t，ω） at different frequencies of natural ground motion2 基于反應(yīng)譜的頻率非平穩(wěn)地震動(dòng)擬合 基于目標(biāo)反應(yīng)譜對(duì)初始地震動(dòng)進(jìn)行調(diào)節(jié)的目的是，使調(diào)整后的地震動(dòng)在能夠真實(shí)反映實(shí)際地震動(dòng)頻譜特性的同時(shí)，滿足對(duì)目標(biāo)反應(yīng)譜的擬合精度[20-21]。本文基于目標(biāo)反應(yīng)譜、地震動(dòng)主頻率時(shí)變曲線，采用在時(shí)域疊加加速度脈沖響應(yīng)函數(shù)的方法，并引入隨頻率變化的包線函數(shù)，建立了能夠?qū)崿F(xiàn)多個(gè)目標(biāo)的頻率非平穩(wěn)地震動(dòng)的擬合方法。

在時(shí)域內(nèi)對(duì)初始地震動(dòng)進(jìn)行調(diào)整時(shí)，由于對(duì)時(shí)程的微小調(diào)整不會(huì)影響最大反應(yīng)發(fā)生的時(shí)間，因此可以使產(chǎn)生的加速度時(shí)程既滿足規(guī)范的目標(biāo)反應(yīng)譜，又保留了原地震動(dòng)記錄的非平穩(wěn)特性和持續(xù)時(shí)間[22]。

如果設(shè)經(jīng)過(guò)k次調(diào)整后的加速度時(shí)程為akg（t），對(duì)于控制頻率ωk，若計(jì)算反應(yīng)譜與目標(biāo)反應(yīng)譜之間的差值為δS，則定義疊加的加速度時(shí)程δag（t）為δag（t）=r·h（tm-t）B（t，ωk）， t≤tm（16）式中 tm為單自由度體系最大反應(yīng)發(fā)生的時(shí)刻；B（t，ωk）為本文定義的時(shí)頻包線函數(shù)；r為振幅調(diào)整系數(shù)，可由計(jì)算反應(yīng)譜Sa（ω）與目標(biāo)反應(yīng)譜STa（ω）的差值δS確定，即δS=Cr （17）式中C=∫tm0[h（tm-π）]2dτ（18）上式中，疊加的脈沖加速度函數(shù)表示為

h（t-tm）=eζωk（t-tm）cos（ωkt+k）， t≤tm （19）

式中 ζ為阻尼比；k為加速度脈沖函數(shù)的初始相位。

將C值代入式（17）確定振幅調(diào)整系數(shù)r，再將r代入式（16）就可以確定相應(yīng)于頻率ωk的調(diào)整時(shí)程δag（t）。

經(jīng)過(guò)一次調(diào)整后的地震時(shí)程ak+1g（t）為ak+1g（t）=akg（t）+δag（t）（20） 將ak+1g（t）作為調(diào)整下一個(gè)控制點(diǎn)反應(yīng)譜的初始時(shí)程，采用式（16）～（20）確定控制頻率的調(diào)整波。由于在初始地震動(dòng)和調(diào)整時(shí)程中都計(jì)入了對(duì)頻率變化的控制，因此在完成對(duì)目標(biāo)反應(yīng)譜擬合的同時(shí)，可以近似模擬地震動(dòng)頻率非平穩(wěn)特性。

在這個(gè)過(guò)程中，每一個(gè)頻率控制點(diǎn)的調(diào)整都會(huì)影響其他控制點(diǎn)，這些影響可以通過(guò)多次迭代的方法減輕，直至地震動(dòng)時(shí)程的反應(yīng)譜與目標(biāo)反應(yīng)譜的誤差滿足精度要求。

3 設(shè)計(jì)地震動(dòng)擬合〖*8〗3.1 時(shí)程方案設(shè)計(jì) 本文以圖4（b）所示的β譜[23]作為目標(biāo)反應(yīng)譜進(jìn)行地震動(dòng)擬合，其中設(shè)計(jì)地震動(dòng)峰值加速度Amax=0.268g，特征周期Tg=0.40 s，結(jié)構(gòu)的阻尼比ζ=0.05，動(dòng)力放大系數(shù)最大值βm=2.2，曲線下降段的衰減指數(shù)r=0.9。本文取80個(gè)控制點(diǎn)確定目標(biāo)反應(yīng)譜STa，允許誤差為5%。

圖4 原始地震動(dòng)及其反應(yīng)譜與目標(biāo)譜的比較

Fig.4 Original ground motion and comparison between its response spectrum and the target response spectrum

選取1979年Imperial Valley-06水平地震記錄作為種子時(shí)程，如圖4（a）所示，其計(jì)算反應(yīng)譜與選定的目標(biāo)譜擬合情況如圖4（b）所示。為了研究地震動(dòng)頻率非平穩(wěn)特性對(duì)結(jié)構(gòu)非線性響應(yīng)的影響，本文設(shè)計(jì)了4種不同的輸入方案：

方案1：Acc_wave1，以Imperial Valley地震動(dòng)作為初始地震動(dòng)，采用式（20）在時(shí)域內(nèi)進(jìn)行調(diào)整，使之滿足目標(biāo)反應(yīng)譜；

方案2：Acc_wave2，僅考慮地震動(dòng)強(qiáng)度非平穩(wěn)特性，采用三段式強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)在時(shí)域內(nèi)對(duì)初始地震動(dòng)進(jìn)行調(diào)整，包線參數(shù)提取Imperial Valley地震加速度記錄的5%和75%Arias強(qiáng)度對(duì)應(yīng)的時(shí)刻，即t1=6.395 s，t2=16.07 s，c=0.1，為了考慮相位隨機(jī)性的影響，對(duì)于該時(shí)程方案，分別合成5個(gè)不同隨機(jī)相位的地震動(dòng)時(shí)程，分別記為Acc_wave2（a），Acc_wave2（b），Acc_wave2（c），Acc_wave2（d），Acc_wave2（e）；

方案3：Acc_wave3，根據(jù)1.3節(jié)中給出的方法，提取Imperial Valley地震加速度記錄的時(shí)-頻包線函數(shù)B（t，ω），采用式（20）在時(shí)域內(nèi)進(jìn)行調(diào)整，使其滿足目標(biāo)反應(yīng)譜；

方案4：Acc_wave4，根據(jù)1.2節(jié)中的方法，確定具有統(tǒng)計(jì)意義的時(shí)-頻包線函數(shù)B（t，ω），并采用式（20）在時(shí)域內(nèi)進(jìn)行調(diào)整，使其滿足目標(biāo)反應(yīng)譜；根據(jù)Imperial Valley地震加速度記錄的實(shí)際條件選取主頻率參數(shù)，即基于二類場(chǎng)地、M[6.5，7.0）、R[40-60]水平向[15]確定的主頻參數(shù)模型，構(gòu)造時(shí)-頻譜的強(qiáng)度包線參數(shù)采用方案2中的參數(shù)。

圖5 地震動(dòng)加速度時(shí)程曲線

Fig.5 Acceleration time histories

圖6 地震動(dòng)主頻率時(shí)變曲線

Fig.6 Time-varying curves of the predominant frequency

3.2 時(shí)程擬合結(jié)果分析

圖5，6分別給出了原始Imperial Valley時(shí)程、Acc_wave1到Acc_wave4擬合的加速度時(shí)程曲線圖及主頻率時(shí)變曲線圖，由于篇幅原因，這里只列出了方案2中5條不同隨機(jī)相位時(shí)程中的Acc_wave2（a）。與原始時(shí)程Imperial Valley相比，可以看出：（1）經(jīng)過(guò)時(shí)域調(diào)整得到的時(shí)程Acc_wave1很好地保留了原始時(shí)程的頻譜變化特性；（2）基于實(shí)際地震動(dòng)提取的時(shí)-頻包線函數(shù)合成的地震動(dòng)Acc_wave3，能夠較好地模擬地震動(dòng)的頻率非平穩(wěn)特性；（3）基于統(tǒng)計(jì)參數(shù)的時(shí)-頻包線函數(shù)合成的地震動(dòng)Acc_wave4能夠近似模擬地震動(dòng)非平穩(wěn)特性，與實(shí)際地震記錄頻率隨時(shí)間的變化規(guī)律符合較好；（4）基于強(qiáng)度包線函數(shù)合成的時(shí)程Acc_wave2雖然在形狀上大致保留了原始記錄的強(qiáng)度變化情況，但頻率變化相對(duì)比較均勻，未能反映出頻率的時(shí)變特性。

圖7給出了4條地震時(shí)程計(jì)算反應(yīng)譜與目標(biāo)反應(yīng)譜的擬合情況，可以看出，采用時(shí)域疊加脈沖響應(yīng)函數(shù)的調(diào)整方法，每條地震動(dòng)與目標(biāo)譜的擬合效果都很好。圖8為4條時(shí)程功率譜的變化曲線，4條時(shí)程的功率譜變化趨勢(shì)也都比較接近。4種調(diào)整方法得到的主頻率比較接近，大約為2 Hz左右。

圖7 反應(yīng)譜的擬合情況

Fig.7 Fitting of the response spectrum

圖8 功率譜變化曲線

Fig.8 Time-varying curves of the power spectrum4 結(jié)構(gòu)的選型及非線性時(shí)程分析〖*2〗4.1 結(jié)構(gòu)模型 本文僅討論比較規(guī)則的結(jié)構(gòu)形式。選擇2個(gè)不同高度的鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)模型。模型1為3跨7層結(jié)構(gòu)，模型2為5跨15層結(jié)構(gòu)，立面圖如圖9所示。底層框架柱為600 mm×600 mm，中間層框架柱550 mm×550 mm，其余層框架柱500 mm×500 mm，所有框架梁為300 mm×500 mm，現(xiàn)澆板厚度為120 mm?；炷翉?qiáng)度等級(jí)柱子為C40、梁和板均為C30。樓面恒荷載為4 kN/m2，樓面屋面活荷載為2 kN/m2。模型的前3階振型周期及頻率如表1所示。

圖9 模型1，2的立面圖

Fig.9 Elevation drawing of model 1 and 2

表1 模型1，2前3階振型周期及頻率

Tab.1 The former 3 step vibration shape and frequency

模型振型/階周期/s頻率/Hz10.96991.0310120.91091.097830.77871.284212.44080.4097222.37450.421132.03090.49244.2 結(jié)構(gòu)非線性時(shí)程反應(yīng)分析

本文采用通用有限元軟件SAP2000建立三維框架模型，采用設(shè)計(jì)的4種時(shí)程輸入方案，分別對(duì)模型1，2進(jìn)行結(jié)構(gòu)非線性反應(yīng)分析。

4.2.1 滯回曲線

圖10，11分別給出了2個(gè)結(jié)構(gòu)底層剪力-位移變化曲線?？梢钥闯觯袅?位移曲線呈現(xiàn)出明顯的非線性變化，結(jié)構(gòu)進(jìn)入非線性階段，并且滯回曲線面積較大，表明結(jié)構(gòu)具有一定的耗能能力。

圖10 模型1底層剪力-位移曲線

Fig.10 Shear force-displacement for the bottom floor of model 1

圖11 模型2底層剪力-位移曲線

Fig.11 Shear force-displacement for the bottom floor of model 2

4.2.2 結(jié)果分析

下面將以時(shí)程方案1，即Acc_wave1作用下的計(jì)算結(jié)果為基準(zhǔn)，分別對(duì)模型1，2的樓層位移響應(yīng)和層間位移響應(yīng)結(jié)果進(jìn)行討論，其中方案2的結(jié)果是統(tǒng)計(jì)5條不同相位時(shí)程作用結(jié)果的平均值。模型1最大樓層位移曲線如圖12所示?？梢钥闯觯悍桨?和4作用下的結(jié)構(gòu)樓層位移總體上偏大，而方案2計(jì)算的結(jié)果則偏小，且隨著樓層的增高，偏小程度越大。方案2，3，4下，結(jié)構(gòu)頂點(diǎn)位移值與基準(zhǔn)方案1結(jié)果的相對(duì)誤差如表2所示，相對(duì)誤差δ按下式計(jì)算δ=（D-D1）D1×100% （21）式中 D為方案2，3，4分別作用下的計(jì)算結(jié)果；D1為方案1頂點(diǎn)位移計(jì)算結(jié)果。若δ為正，則大于方案1的計(jì)算結(jié)果；若δ為負(fù)，則小于方案1的計(jì)算結(jié)果。對(duì)于模型1，D1=60.0 mm。從表中數(shù)據(jù)可以看出，只有方案2計(jì)算的結(jié)果偏小，且偏離程度較大。

圖12 模型1最大樓層位移

Fig.12 Maximum floor displacement of model 1

表2 模型1頂點(diǎn)位移及相對(duì)誤差

Tab.2 The top displacement and relative error of model 1

時(shí)程方案頂點(diǎn)位移/mmδ/%Acc_wave257.5-4.2Acc_wave361.62.7Acc_wave460.71.2

模型1層間位移曲線如圖13所示?？梢钥闯觯谳^高的樓層處，結(jié)構(gòu)的層間位移值比較小，且4種方案作用的結(jié)果幾乎接近；但在結(jié)構(gòu)的薄弱層附近，方案3，4計(jì)算的位移響應(yīng)結(jié)果偏大且比較接近方案1 的結(jié)果；方案2的結(jié)果明顯偏小，且偏離程度較大。表3給出了薄弱層附近的層間位移值及與基準(zhǔn)

圖13 模型1層間位移

Fig.13 Maximum story displacement of model 1表3 模型1層間位移及相對(duì)誤差（單位：mm）

Tab.3 The story displacement and relative error of model 1 （Unit：mm）

樓層方案1方案2方案3方案4層間位移層間位移均值δ/%層間位移δ/%層間位移δ/%411.6811.31-3.1712.375.9112.426.34313.9812.95-7.3714.231.7914.382.86212.5711.71-6.8412.590.1612.47-0.8017.787.43-4.507.71-0.907.70-1.03

方案1結(jié)果的相對(duì)誤差。分析以上結(jié)果可以看出，只有方案2全部計(jì)算結(jié)果偏小，且偏離程度相對(duì)較大；方案3，4計(jì)算結(jié)果總體偏大，個(gè)別值偏小，但是偏離程度較小。

模型2最大樓層位移曲線、層間位移曲線分別如圖14，15所示。觀察可知：方案3的計(jì)算結(jié)果均偏大；方案2和4作用的結(jié)果總體上小于方案1的結(jié)果，且方案2作用下的樓層位移結(jié)果隨著樓層的增高偏離越來(lái)越大，薄弱層附近的層間位移結(jié)果相對(duì)偏小，且偏離程度較大。方案2，3，4下，結(jié)構(gòu)頂點(diǎn)位移及層間位移與基準(zhǔn)方案1結(jié)果的相對(duì)誤差如表4，5所示，對(duì)于模型2，D1=170.7 mm

圖14 模型2最大樓層位移

Fig.14 Maximum floor displacement of model 2

觀察可知：只有方案3的計(jì)算結(jié)果全部偏大；方案2和4作用的部分結(jié)果偏小，但方案4的結(jié)果更接近方案1的結(jié)果，尤其是薄弱層處。雖然模型1，2的自振周期不同，但是在方案2作用下，尤其是薄弱層附近的層間位移響應(yīng)，相對(duì)其他時(shí)程方案偏小。圖15 模型2層間位移

Fig.15 Maximum story displacement of model 2

表4 模型2頂點(diǎn)位移及相對(duì)誤差

Tab.4 The top displacement and relative error of

model 2

時(shí)程方案頂點(diǎn)位移/mmδ/%Acc_wave2160.0-6.2Acc_wave3197.915.9Acc_wave4166.7-2.4

綜合以上分析：（1）基于原始時(shí)程提取的時(shí)頻包線函數(shù)合成的頻率非平穩(wěn)地震動(dòng)基本上能夠安全地估計(jì)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)；（2）僅考慮強(qiáng)度非平穩(wěn)特性合成的人工地震動(dòng)，會(huì)低估結(jié)構(gòu)的頂點(diǎn)位移響應(yīng)和薄弱層的位移響應(yīng)值；（3）本文提出的具有統(tǒng)計(jì)參數(shù)的時(shí)頻包線函數(shù)合成的頻率非平穩(wěn)地震動(dòng)，相對(duì)于強(qiáng)度非平穩(wěn)地震動(dòng)能夠較好地估計(jì)結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)，但是對(duì)于部分響應(yīng)結(jié)果仍偏于保守，所以仍需進(jìn)一步的研究改進(jìn)。表5 模型2層間位移及相對(duì)誤差（單位：mm）

Tab.5 The story displacement and relative error of model 2 （Unit： mm）

樓層方案1方案2方案3方案4層間位移層間位移均值δ/%層間位移δ/%層間位移δ/%911.539.53-17.3513.3115.4410.65-7.63813.4211.93-11.1016.3521.8312.81-4.55715.6714.44-7.8519.2923.1014.86-5.17618.6616.39-12.1721.8617.1517.17-7.98520.3018.22-10.2523.1413.9919.06-6.11420.8119.13-8.0723.4712.7820.42-1.92319.7018.67-5.2322.2813.1020.142.23216.2216.300.4918.6214.8018.0010.9719.8210.537.2311.5317.4111.9621.795 結(jié) 論

本文通過(guò)引入具有統(tǒng)計(jì)意義的時(shí)-頻包線函數(shù)，建立了匹配多目標(biāo)的頻率非平穩(wěn)地震動(dòng)合成方法；并將不同方法擬合得到的4種地震加速度記錄作為輸入，對(duì)不同特性的規(guī)則鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行非線性時(shí)程分析，得出以下結(jié)論：

（1）在時(shí)域中通過(guò)疊加加速度脈沖響應(yīng)函數(shù)，對(duì)初始地震動(dòng)進(jìn)行多目標(biāo)的擬合方法能夠很好地保留原始地震動(dòng)的非平穩(wěn)特性和持續(xù)時(shí)間，而且擬合精度較高；

（2）基于實(shí)際地震動(dòng)提取的時(shí)-頻包線函數(shù)，能夠較好地模擬地震動(dòng)的頻率非平穩(wěn)特性；

（3）基于統(tǒng)計(jì)參數(shù)構(gòu)造的時(shí)-頻包線函數(shù)能夠近似模擬地震動(dòng)非平穩(wěn)特性，符合實(shí)際地震加速度記錄頻率隨時(shí)間的變化規(guī)律；

（4）地震動(dòng)的頻率非平穩(wěn)特性對(duì)結(jié)構(gòu)的非線性響應(yīng)有著不可忽視的影響，僅考慮強(qiáng)度非平穩(wěn)特性合成的人工地震動(dòng)輸入存在低估結(jié)構(gòu)的某些非線性響應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)。

因此，在實(shí)際合成地震動(dòng)過(guò)程中應(yīng)該考慮頻率的非平穩(wěn)特性，合理估計(jì)結(jié)構(gòu)的非線性響應(yīng)，保證結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的安全性。

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Simulation method of earthquake ground motion based on frequency-dependent

amplitude envelope function and its influence on the

structural nonlinear responses

QU Guo-yan， YU Rui-fang

（Institute of Geophysics， China Earthquake Administration， Beijing 100081， China）

Abstract： The non-stationarity of frequencies in the earthquake ground motion has an important effect on structural nonlinear responses. By introducing a frequency-dependent amplitude envelope function with statistical parameters to simulate the non-stationarity of frequencies in the earthquake ground motion， a method is developed for the non-stationary earthquake ground motion， which takes the response spectrum as the target. Taking the natural ground motion as the seed， four acceleration time histories for the same target spectrum are obtained by using four different methods. The results suggest that：（1） The fitting method developed could preserve the non-stationarity and duration of the original time history with higher fitting precision；（2） Based on the frequency-dependent amplitude envelope function of the natural ground motion， the earthquake ground motion can be used to simulate the non-stationarity of frequency better；（3） The one based on the frequency-dependent amplitude envelope function with statistical significance is able to simulate the non-stationarity of frequencies approximately， which agrees with the frequency time-variation of the natural ground motion. Taking the four time histories as input， the nonlinear time-history analysis of the reinforced concrete frame structure with 7 and 15 layers are presented. The results show that there exists the risk of underestimating the reinforced concrete structural nonlinear response under the earthquake ground motion only considering the non-stationarity of the intensity. Therefore， the non-stationarity of frequencies in the earthquake ground motion should be considered in the simulation of the artificial ground motion. In this way， the structural nonlinear responses could be estimated reasonably and the safety of the structure design can be guaranteed.

Key words： random vibration； earthquake ground motion； structural nonlinear responses； non-stationarity of frequency； simulation of earthquake ground motion