王塞羅， 崔亞輝， 齊煥敏（西安理工大學(xué)機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院，西安710000）

0 引言

傳動軸是作為前置后驅(qū)車輛傳動系中必不可少的一部分，它的功能是傳遞轉(zhuǎn)矩至驅(qū)動橋。隨著我國汽車市場的不斷擴(kuò)大，新車型更新?lián)Q代速度加快，車輛的技術(shù)使用壽命明顯縮短。這就使得計算機(jī)輔助設(shè)計成為了一種提高產(chǎn)品競爭力的有效手段[1]。CATIA V5系列產(chǎn)品提供產(chǎn)品的風(fēng)格和外型設(shè)計、機(jī)械設(shè)計等功能，通過可視化的項目樹使得三維零件設(shè)計變得簡單。MATLAB是商業(yè)數(shù)學(xué)軟件，用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化等[2]。本文基于 CATIA進(jìn)行三維設(shè)計建模，選取優(yōu)化參數(shù)建立數(shù)學(xué)模型，編寫優(yōu)化程序，由MATLAB計算求得最終結(jié)果。

1 傳動軸的三維建模

主軸部分由1個長620 mm的圓柱軸體和2個萬向節(jié)叉頭組成，如圖1所示。

將零部件導(dǎo)入CATIA裝配體設(shè)計中生成傳動軸部分的總裝配體，傳動軸在工作時存在工作平面內(nèi)的角度，裝配時要予以考慮。利用CATIA三維設(shè)計傳動軸模型如圖2所示。

2 相關(guān)技術(shù)要求

圖1 主軸

圖2 總裝配體

依據(jù)相關(guān)設(shè)計準(zhǔn)則，傳動軸在進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計之前需要先明確相關(guān)技術(shù)要求。具體如下：1）傳動軸材料40Cr，熱處理工藝為退火、調(diào)質(zhì)、油淬并回火。在一端固定，另一端100 kg豎直力作用下最大變形不得超過3 mm，最大應(yīng)力不得超過196.01 MPa（安全系數(shù)）；2）一端固定且在1.5倍工作轉(zhuǎn)矩（最大工作轉(zhuǎn)矩為200 N·m）下最大應(yīng)力不得超過113.15 MPa，最大變形不得超過0.5 mm；3）車架固有頻率8.37 Hz；要求保證強(qiáng)度前提下減小主軸質(zhì)量。

3 優(yōu)化設(shè)計

基于之前建立的三維模型，并明確設(shè)計準(zhǔn)則和技術(shù)要求后，需對主軸進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。

3.1 MATLAB優(yōu)化設(shè)計工具箱簡介

MATLAB優(yōu)化設(shè)計工具箱提供了對各種優(yōu)化問題的一個完整解決方案。其內(nèi)容涵蓋線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃等問題[3]。表1給出了優(yōu)化設(shè)計工具箱中常用的一些函數(shù)。

表1 優(yōu)化工具箱常用函數(shù)表

3.2 優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型

如前所述，這類問題屬于單目標(biāo)非線性約束條件下的非線性函數(shù)極小值求解問題，所以采用Fmincon函數(shù)進(jìn)行建模，歸納如下[4]：

其中,X=（x1,x2,…，xn）T。

不等式約束條件為

綜上，以體積最小為目標(biāo)函數(shù)，建立如下優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型：

3.3 優(yōu)化函數(shù)求解

將優(yōu)化數(shù)學(xué)模型建立之后需編寫MATLAB程序語言進(jìn)行求解。

fmincon函數(shù)的調(diào)用格式為[5]：

其中：目標(biāo)函數(shù)為fun；x0初始迭代值?。煌鈴絉=30 mm；內(nèi)徑r=20 mm；x0=(30,20)；A、Aeq等分別為線性約束；lb、ub分別為上下界；nonlcon中均為非線性約束；options為求解選項設(shè)置。

編程求解得：R=26.5401；r=22.3749。圓整得R=26 mm，r=22 mm。

4 分析驗證

主要是要檢驗所得的最優(yōu)內(nèi)外徑配置是否符合標(biāo)準(zhǔn)。包含靜力學(xué)分析和模態(tài)分析[3]。本文使用CATIA CAE模塊進(jìn)行驗證。

4.1 靜力學(xué)分析

保存好建立好的模型，選擇分析與模擬模塊，如圖3所示。

首先對軸進(jìn)行靜彎曲強(qiáng)度仿真試驗，按照第2部分要

圖3 導(dǎo)入模型

求施加相關(guān)載荷，如圖4(a)、圖4(b)所示。

已知40Cr鋼的相關(guān)力學(xué)性能參數(shù)如表2所示。

對上述模型進(jìn)行求解，各項結(jié)果的最大值如表3所示。

相比較之下，整根軸的質(zhì)量由原來的10.19 kg減輕到5.65 kg，綜合減重約45%。

4.2 模態(tài)分析

本文僅做自由振動分析，驗證其固有頻率特性是否能有效避開車架的共振頻率。

圖4 施加載荷

表2 40Cr鋼部分力學(xué)性能參數(shù)

表3 靜力學(xué)分析結(jié)果表

無阻尼自由振動的運動方程為[6]：

式中：K為剛度矩陣；M為質(zhì)量矩陣。

對應(yīng)特征方程為

求解上式即可求得對應(yīng)的固有頻率和主振型。

CATIA本身的模態(tài)求解提供了2種方法：Iterative subspace和Lanczos法[7]，本文采用第二種。設(shè)置激振頻率為5Hz，提取計算結(jié)果如圖5，其中各階模態(tài)下振形不盡相同，這里只列出一階。表4列出了前6階的各階模態(tài)值。

顯然，各階固有頻率都有效地避開了車架的固有頻率，能夠有效減少共振危害。

圖5 一階模態(tài)

表4 各階模態(tài)值 Hz

5 結(jié)論

1)參考仿真結(jié)果，基于主軸輕量化的優(yōu)化設(shè)計方案是可行的，能夠在保證強(qiáng)度的條件下，減輕重量；2)通過對主軸的前6階模態(tài)分析可知，主軸的輕量化設(shè)計是滿足動力學(xué)性能的；3)基于CATIA進(jìn)行三維建模能有效縮短建模時間，MATLAB優(yōu)化設(shè)計工具箱不僅能縮短產(chǎn)品的設(shè)計周期，而且可降低研發(fā)費用，節(jié)約設(shè)計成本。

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