曹銀萍，郭 璐

（西安石油大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 陜西 西安 710065）

1 引言

目前，采集信號(hào)時(shí)沒有辦法完全避開其他干擾信號(hào)的影響，最終采集的信號(hào)總是夾雜著噪聲，這種現(xiàn)象往往導(dǎo)致采集的信號(hào)失真，所以對信號(hào)進(jìn)行消噪是信號(hào)處理中的一個(gè)重要問題。傳統(tǒng)的去噪方法有很多，其中，F(xiàn)ourier變換建立了時(shí)間域和頻率域相互轉(zhuǎn)換的關(guān)系，但Fourier變換以正弦波及其高次諧波為標(biāo)準(zhǔn)基，不能分析局部頻率。加窗Fourier變換一定程度上克服了Fourier變換的局限性，但其本身是單一分辨率的分析方法[1]。為了尋找更加合適的方法進(jìn)行信號(hào)去噪，20世紀(jì)80年代興起了一種新的時(shí)頻交互分析方法即小波分析[2]。與Fourier變換相比，小波分析是時(shí)間頻率的局部化分析，通過伸縮平移運(yùn)算對信號(hào)逐步進(jìn)行多尺度細(xì)化分析，最終達(dá)到在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時(shí)間分辨率，在高頻部分具有較高的時(shí)間分辨率和較低的頻率分辨率。小波分析解決了Fourier變換不能解決的許多難題，是調(diào)和分析發(fā)展史上里程碑式的進(jìn)展，因此小波分析被稱為“數(shù)學(xué)顯微鏡”[3]。

2 小波分析的概述

小波即小的波形，是指具有衰減性的波形。1974年，從事石油信號(hào)處理的法國地質(zhì)專家J.Morlet第一次提出了小波變換的概念并建立了反演公式，但沒有得到當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家的認(rèn)可[4]。J.O.Stromberg構(gòu)造了和現(xiàn)在使用的小波基相似的小波基[5]。1986年，科學(xué)家Y.Meyer首次構(gòu)造出真正的小波基[6]，并與S.Mallat聯(lián)合建立了構(gòu)造正交小波基的統(tǒng)一方法及多尺度分析。之后的比利時(shí)女?dāng)?shù)學(xué)家I.Daubechies的學(xué)術(shù)著作《小波十講》（Ten lectures on Wavelets）對小波的普及具有重要的推動(dòng)作用[7]。

2.1 簡述Fourier變換

對于f(t)∈L空間的能量信號(hào)，即時(shí)間連續(xù)信號(hào)f(t)的傅里葉變換定義為

傅里葉變換完成了時(shí)域函數(shù)和頻域函數(shù)的變換，但在轉(zhuǎn)化中丟失了時(shí)間信號(hào)，幾乎沒有分辨率。因?yàn)楦道锶~變換和逆變換是獨(dú)立的，所以只能單獨(dú)分析時(shí)域特性和頻域特性，不能將其放在一起研究[8]。

2.2 簡述短時(shí)Fourier變換

為了克服Fourier變換不能描述局部時(shí)頻特性的局限性，1946年Gabor提出了短時(shí)Fourier變換，它就是時(shí)間信號(hào)加窗后的傅里葉變換，定義為

此時(shí)，ωbF(ω)給出了時(shí)間信號(hào)在時(shí)間窗[t*+b-?ω，t*+b+?ω]的局部信息。因?yàn)榧哟暗腇ourier變換后形狀、大小均與時(shí)間、頻率無關(guān)，這個(gè)窗口一旦確定后，其大小和形狀均不變。信號(hào)處理時(shí)高頻信號(hào)需要用較短的時(shí)間窗分析，而低頻信號(hào)需要用較寬的時(shí)間窗分析，生活中的絕大部分信號(hào)都屬于非平穩(wěn)信號(hào)，因此，短時(shí)Fourier變換在信號(hào)分析的應(yīng)用仍有很大的局限性。

2.3 簡述小波分析

如果把ψa，b(t)代替短時(shí)傅里葉變換中的窗口函數(shù)ωω，b(t)，其中

那么式（2）變?yōu)?/p>

式（4）為小波變換的定義式。

小波變換很好的解決了傅里葉變換和短時(shí)傅里葉變換的不足，既可分析信號(hào)的局部特征，其窗口大小又可變。小波變換具有低熵性，多分辨率，可去除信號(hào)的相關(guān)性，可根據(jù)信號(hào)特點(diǎn)靈活選擇基函數(shù)等特性，適合用來處理非穩(wěn)定信號(hào)，在噪聲消除，特征信號(hào)的提取，圖像處理等方面的應(yīng)用獲得顯著成果。

3 小波分析信號(hào)去噪的原理

被噪聲污染的信號(hào)f(n)模型一般表示為

其中，s(n)是原信號(hào)，e(n)是噪聲，δ是噪聲強(qiáng)度[4]。

小波去噪是為了消除e(n)，還原s(n)。小波去噪的過程一般分為3個(gè)步驟：

（1）信號(hào)分解。信號(hào)采樣后，對信號(hào)進(jìn)行小波分解，根據(jù)信號(hào)特性選定小波基并確定分解層數(shù)，進(jìn)行分解計(jì)算。

（2）信號(hào)處理。對小波分解后的高頻系數(shù)選擇合理閾值進(jìn)行軟閾值量化處理，把不需要的頻率舍棄。

（3）信號(hào)重構(gòu)。根據(jù)小波分解的最底層低頻系數(shù)和每層高頻系數(shù)進(jìn)行一維小波重構(gòu)。

其中最關(guān)鍵的是信號(hào)處理這一步驟，閾值的選擇和閾值量化處理關(guān)系著信號(hào)的消噪質(zhì)量。研究信號(hào)去噪方法的進(jìn)程中主要出現(xiàn)了三種方法：小波分解與重構(gòu)算法，誤差很大；交替投影法，計(jì)算量大；小波閾值收縮去噪法，誤差小，方便計(jì)算，目前仍大量使用。文章依托小波閾值去噪法，分析小波分析在信號(hào)去噪中的應(yīng)用。

4 三種方法用MATLAB實(shí)現(xiàn)信號(hào)去噪的仿真對比

以含噪的doppler信號(hào)為例，采集信號(hào)后分解，以不同的方式對信號(hào)進(jìn)行去噪處理，最終重構(gòu)信號(hào)，達(dá)到不同效果的信號(hào)去噪結(jié)果。文章統(tǒng)一選用dbN小波基進(jìn)行MATLAB仿真。

4.1 通過抑制細(xì)節(jié)系數(shù)去噪

在MATLAB中采集noisdopp信號(hào)后，用db6小波基對信號(hào)進(jìn)行5層分解，再對細(xì)節(jié)系數(shù)進(jìn)行縮放為原來的四分之一進(jìn)行抑制，抑制后重新構(gòu)建信號(hào)。

圖1 抑制細(xì)節(jié)系數(shù)去噪前后信號(hào)對比圖

從圖1可知抑制細(xì)節(jié)系數(shù)基本可以達(dá)到去噪的效果，但只是考慮細(xì)節(jié)系數(shù)并沒有把噪聲的性質(zhì)考慮進(jìn)來，去噪效果比較差，原始信號(hào)丟失的比較嚴(yán)重。

4.2 通過FFT（快速傅里葉變換）實(shí)現(xiàn)信號(hào)去噪

在MATLAB中實(shí)現(xiàn)快速傅里葉變換消噪的步驟和小波分析消噪的步驟大致相同，不同的是在進(jìn)行信號(hào)處理時(shí)FFT是分析頻譜，抑制不需要的頻譜。

圖2 FFT去噪前后信號(hào)對比圖

由MATLAB仿真結(jié)果圖2可知，濾波后的信號(hào)把最初的原信號(hào)都丟掉了，所以傅里葉變換時(shí)會(huì)把它自身無法分析的區(qū)域直接舍棄，嚴(yán)重時(shí)會(huì)導(dǎo)致信號(hào)失真。

4.3 通過小波閾值收縮去噪法去噪

小波閾值收縮去噪法即MATLAB默認(rèn)的去噪法，是根據(jù)方差最小原則，對系數(shù)偏似然估計(jì)確定閾值。仿真時(shí)使用dbN小波基對信號(hào)進(jìn)行分解，閾值處理時(shí)選用全局閾值處理和分層閾值處理兩種方法，并使用軟閾值方法對信號(hào)去噪。

圖3 小波閾值去噪前后信號(hào)對比圖

由仿真結(jié)果圖3可知，分層閾值去噪后的信號(hào)比全局閾值去噪后的平滑，但丟失了一部分原信號(hào)。使用閾值去噪后的信號(hào)保留了原信號(hào)絕大多數(shù)特性，尤其保留了初期信號(hào)的高頻特性。信號(hào)去噪的兩個(gè)基本要素是光滑性和相似性，相比前兩種方法，小波分析更能滿足這兩個(gè)要素。

5 結(jié)語

文章在概述小波分析的研究進(jìn)展，小波分析理論和小波分析消噪原理的基礎(chǔ)上，利用MATLAB仿真信號(hào)去噪前后信號(hào)能量對比圖，分析不同方法下的信號(hào)消噪效果。得出與抑制細(xì)節(jié)系數(shù)消噪和FFT消噪法都有自身不可消除的缺點(diǎn)相比，小波分析的閾值消噪法能夠在防止信號(hào)失真的前提下最大程度消除信號(hào)中噪聲的結(jié)論。

[1] 王芳.小波分析在信號(hào)去噪中的應(yīng)用研究[D].西華大學(xué)，2009.

[2]劉志松.基于小波分析的信號(hào)去噪方法[J].浙江海洋學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，30(2):150-154.

[3] 張仁輝，杜民.小波分析在信號(hào)去噪中的應(yīng)用[J].計(jì)算機(jī)仿真，2005，22(8)：69-72.

[4] 蔡靜.MATLAB R2015a 小波分析[M].清華大學(xué)出版社，2016.

[5] 彭圓圓.小波分析在一維信號(hào)去噪中的應(yīng)用[D].北京郵電大學(xué)，2011.

[6] Y.Meyer，“Principe d’incertitude，bases hilbertiennes et algebres d’operateurs，” Seminaire N.Bourbaki，1985-1986，Nr.662.

[7] I.Daubechies，Ten lectures on Wavelets.Philadelphia:PA:SIAM，1992.

[8] 劉君華，等.智能傳感器系統(tǒng)[M].西安電子科技大學(xué)出版社，2010.