摘要：近年來，新加坡的課程體系備受國(guó)際數(shù)學(xué)教育界的廣泛關(guān)注，其與我國(guó)國(guó)內(nèi)教材最大的不同是新加坡教材使用的“模型圖”，這種模型圖在解決應(yīng)用題過程中起著非常重要的作用。本文對(duì)國(guó)內(nèi)人教版教材與新加坡MPH教材應(yīng)用題圖示表征的特點(diǎn)、呈現(xiàn)方式、指導(dǎo)方法三個(gè)方面進(jìn)行比較，并提出幾點(diǎn)相關(guān)的教學(xué)建議。

關(guān)鍵詞：模型圖;表征;應(yīng)用題

近年來因新加坡學(xué)生在TIMSS測(cè)試中的表現(xiàn)杰出，新加坡的課程體系備受國(guó)際數(shù)學(xué)教育界的廣泛關(guān)注。筆者在中國(guó)和新加坡教材比較中，發(fā)現(xiàn)新加坡教材表征應(yīng)用題的“模型化方法”與我國(guó)教材有很大不同。

“模型化方法是指在問題解決過程中，通過畫一個(gè)模型或者示意圖而對(duì)問題做出表征?！毙录悠陆滩闹械摹澳Ｐ突蛘呤疽鈭D”（以下統(tǒng)稱“模型圖”）是怎樣的？教材中又是如何引導(dǎo)學(xué)生畫模型圖的？模型化方法給我們的教學(xué)帶來怎樣的啟示呢？

一、新加坡教材模型圖簡(jiǎn)介

1.新加坡教材的模型圖是怎樣的

新加坡小學(xué)教材中大量使用的模型圖，有些文章中也稱之為色條圖或者矩形圖（如下圖1）。這種模型化方法自引入以來，便成為新加坡教材中一個(gè)顯著的標(biāo)志。學(xué)生通過這一模型可直觀地表達(dá)出已知信息與未知信息之間的關(guān)系。

2.矩形圖有怎樣的優(yōu)勢(shì)

與新加坡教材相比，我國(guó)教材中則大多數(shù)使用線段圖。矩形圖和線段圖都具有可視化的優(yōu)勢(shì)，有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題中的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而達(dá)到解決問題的目的。這兩種圖形各有優(yōu)劣。從簡(jiǎn)化程度來講，線段圖更勝一籌，它以線段長(zhǎng)短、變化表達(dá)數(shù)量關(guān)系，簡(jiǎn)潔易懂且作圖容易。但從意義的建構(gòu)來說則矩形圖更勝一籌，因?yàn)榫匦螆D是二維的，長(zhǎng)邊寬邊都可以被分割成更小的單位，所以這種模型更適用于解決復(fù)雜的、多步驟的問題，如一些圖形的面積應(yīng)用問題、數(shù)的認(rèn)識(shí)、數(shù)的計(jì)算、測(cè)量等方面。

二、新加坡教材模型圖的編寫有怎樣的特點(diǎn)

1.始終使用模型圖表征數(shù)量關(guān)系

與我們國(guó)內(nèi)教材豐富多元的表征方式不同，新加坡教材一年級(jí)至六年級(jí)只采用矩形圖表征數(shù)量關(guān)系的。這兩種方式各有利弊。多元的表征給學(xué)生提供了更多解題策略的選擇，但是對(duì)于小學(xué)生尤其是低段學(xué)生來說，過多的方法可能造成兒童表征時(shí)不知如何選擇的問題。新加坡統(tǒng)一的表征方式，解題策略比較單一，但正因?yàn)槭冀K如一，使得畫圖法成為老師講授和學(xué)生解題過程中必不可少的一個(gè)環(huán)節(jié)，利于學(xué)生對(duì)模型圖畫法的掌握。

2.表征數(shù)量關(guān)系的模型始終一致

對(duì)于一步計(jì)算應(yīng)用題，新加坡教材呈現(xiàn)的是以下三種模型（如下圖2到圖4所示）。

兩者相比，兩幅圖表征雖然沒有一幅圖簡(jiǎn)潔，且作圖相對(duì)麻煩，但是對(duì)于剛開始學(xué)習(xí)兩步計(jì)算應(yīng)用題的低年級(jí)小學(xué)生來說，把兩步計(jì)算應(yīng)用題分解成兩個(gè)一步計(jì)算應(yīng)用題，再歸到上面三種模型中，不管是讀圖還是作圖都比一幅圖容易一些。另外，畫第二幅圖需要第一幅圖中的關(guān)鍵信息，而這一信息就是我們常說的“中間問題”，也就是說學(xué)生在畫圖的時(shí)候必須同時(shí)分析數(shù)量關(guān)系、尋找中間問題，這對(duì)于正確解答兩步計(jì)算應(yīng)用題是很有價(jià)值的。

3.采用循序漸進(jìn)的呈現(xiàn)方式

新加坡教材循序漸進(jìn)地向?qū)W生講授矩形模型圖，如下圖7到圖9所示，從積木實(shí)物圖抽象到矩形圖，從完整地呈現(xiàn)到需補(bǔ)充部分?jǐn)?shù)量，從一幅圖到兩幅圖，由形象到抽象，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，直至學(xué)生能熟練應(yīng)用該模型解決問題。

三、對(duì)我們的教學(xué)啟示

強(qiáng)調(diào)動(dòng)手操作，強(qiáng)調(diào)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過程是近年來我國(guó)數(shù)學(xué)課程改革的重要理念。但在課程實(shí)施過程中尤其是在應(yīng)用題教學(xué)中，如何體現(xiàn)一直是一線教師較為困惑的一點(diǎn)。新加坡“模型化”思想值得我們借鑒。

1.統(tǒng)一認(rèn)識(shí)，圖式表征應(yīng)成為解決問題必不可少的過程之一

對(duì)于處在從形象思維過渡到抽象思維階段的小學(xué)生來說，作為使抽象的數(shù)量關(guān)系可視化的模型圖，在問題解決過程中有著非常重要的作用，它可以幫助學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)基本概念，幫助學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系，提供解決問題的有效方法。模型圖在我們的教材中曾一度被淡化，這幾年又開始被重視，希望能進(jìn)一步得到落實(shí)并逐步完善。

2.系統(tǒng)教學(xué)，構(gòu)建模型圖的學(xué)習(xí)序列

如上面所述，新加坡學(xué)生學(xué)習(xí)并掌握“模型圖”并不是一蹴而就，而是有一個(gè)循序漸進(jìn)的過程。我國(guó)教材中的線段圖模型，不僅應(yīng)用沒有新加坡矩形模型廣，而且缺乏系統(tǒng)的教學(xué)，使得學(xué)生感覺畫圖困難，從而并未發(fā)現(xiàn)圖示表征的作用。因此有必要對(duì)圖示法進(jìn)行系統(tǒng)教學(xué)，構(gòu)建科學(xué)的學(xué)習(xí)序列。結(jié)合我國(guó)傳統(tǒng)，建議從低年級(jí)開始就系統(tǒng)地講授線段圖模型，不僅設(shè)置相應(yīng)課時(shí)，而且要有目標(biāo)、有步驟地實(shí)施教學(xué)，構(gòu)建學(xué)生學(xué)習(xí)的序列。當(dāng)然，為避免表征方式單一，在掌握線段圖模型的基礎(chǔ)上，高年級(jí)可以開始介紹其他表征方式，尤其抽象能力強(qiáng)的孩子可以根據(jù)不同的問題有不同的思考方式，無需每次借助直觀表征。

3.關(guān)注過程，實(shí)現(xiàn)模型圖的“模型化”

在比較中還發(fā)現(xiàn)，我們的“模型圖”只是作為學(xué)生解題過程的一個(gè)輔助策略，最終的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是學(xué)生是否給出準(zhǔn)確的算術(shù)式，因此學(xué)生解題時(shí)往往只關(guān)注結(jié)果而忽略了解題的過程，久而久之部分學(xué)生即便碰到難題也想不到用畫圖等方法幫助解決。而新加坡教學(xué)非常注重過程，有些問題學(xué)生必須通過畫矩形圖來表征數(shù)量關(guān)系，學(xué)生在這一過程中借助圖形思考，提高分析數(shù)量關(guān)系的能力，建議我們的教學(xué)借鑒。

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作者簡(jiǎn)介：歐景升，溫州市籀園小學(xué)，單位地址：浙江省溫州市鹿城區(qū)勝昔橋54號(hào)，郵政編碼：325000。