王樹國，楊一通，嚴(yán)衛(wèi)慶，張駿杰，趙 輝

（東北林業(yè)大學(xué)機電工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱 150040）

0 引言

3D打印是一種增材制造技術(shù)，屬于快速成型技術(shù)，根據(jù)零部件或者物體的三維模型數(shù)據(jù)，利用3D打印設(shè)備以材料堆積的方式制造實體的技術(shù)。隨著該技術(shù)的不斷創(chuàng)新發(fā)展，配套設(shè)備的不斷升級更新，3D打印技術(shù)逐漸的被用于日常生活中。世界上第一臺售價100美元的3D打印機在加拿大薩斯喀徹溫省問世。2014年8月21日，蘇州盈創(chuàng)建筑材料公司使用1臺大型1的3D打印機，利用1 d時間建造了10棟200 m2的毛坯房；這臺3D打印機長150 m，寬10 m，深6 m，打印出房屋的結(jié)構(gòu)組件，再運到現(xiàn)場進(jìn)行房屋的組裝搭建[1-2]。

隨著3D打印技術(shù)產(chǎn)業(yè)的不斷發(fā)展，打印設(shè)備的大型化、輕型化，將是未來發(fā)展趨勢之一[3]。為了實現(xiàn)3D打印設(shè)備的大型化、輕型化，設(shè)計了一種利用繩索作為傳動機構(gòu)的驅(qū)動裝置。

1 繩索驅(qū)動裝置描述

所設(shè)計的驅(qū)動裝置主要結(jié)構(gòu)由定平臺、動平臺和3根立柱—電機—繩索組成：繩索的一端與立柱底部的電機相連，通過立柱頂端的萬向輪，從頂端繞出與動平臺相連（圖1、圖 2）。

裝置的工作流程：①步進(jìn)電機旋轉(zhuǎn)帶動繩索；②繩索運動牽制工作平臺進(jìn)行運動；③通過控制電機轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)使工作平臺按指定軌跡進(jìn)行運動。

圖1 驅(qū)動機構(gòu)

2 運動學(xué)分析

圖2 實物

2.1 運動學(xué)反解分析

驅(qū)動裝置動平臺的空間運動是通過電機的轉(zhuǎn)動來控制的，對于動平臺在空間中到達(dá)的任意位姿，3個電機均有特定的角位移與之對應(yīng)。運動學(xué)反解就是當(dāng)工作平臺的位姿給定時，可以根據(jù)機構(gòu)的運動學(xué)關(guān)系，求解各個電機旋轉(zhuǎn)所收放繩索的長度、速度和加速度[4]。

建立坐標(biāo)系，以定平臺上表面幾何中心為原點建立坐標(biāo)系O—XYZ，以動平臺上表面幾何中心為原點建立坐標(biāo)系O'—X'Y'Z'（圖3）。其中，Ci（i=1,2,3）為三立柱頂端的位置，用向量表示為（1）式。

圖3 機構(gòu)坐標(biāo)分布

其中，?i為OCi與坐標(biāo)系O—XYZ中X軸正方向之間的夾角i=1,2,3；R為三角形定平臺的外接圓半徑；h為立柱頂端到平面坐標(biāo)系O—XY的垂直距離。

坐標(biāo)系O'—X'Y'Z'中，繩索與動平臺的連接點Bi，用向量可以表示為（2）式。

其中，αi為OBi與坐標(biāo)系O'—X'Y'Z'中X'正方向的夾角，i=1,2,3；r為三角形動平臺外接圓的半徑。

設(shè)[XYZ]T為動平臺中心點O'在坐標(biāo)系O-XYZ下的位置向量，在坐標(biāo)系O-XYZ中點Bi用向量可表示為（3）式。

由于?i=αi（i=1，2，3）下列公式中統(tǒng)一選用?i。則向量CiBi可表示為（4）式。

由此可得到向量CiBi的模li滿足CiBi2=li2。將CiBi帶入，得到式（5）。[X+（r-R）cos?i]2+[Y+（r-R）sin?i]2+（Z-h）2=li2。即

將繩索從電機連接到工作平臺的總長度設(shè)計為固定值L，電機軸上纏繞的繩索長度為Δli則L=li+h+Δli，即Δli=L-li-h。將li帶入，即可得到電機軸上纏繞繩索的長度即電機軸外表面上一點 的 線 位 移 為 ：Δli=L-h-至此，只需給出某時刻動平臺幾何中心的坐標(biāo)，由Δli的計算公式即可求得電機軸上繩索的纏繞量即繩索收放的改變量[5，6]。在后續(xù)的Adams仿真實驗中，將對推出的逆解進(jìn)行仿真驗證，仿真的結(jié)果將對系統(tǒng)的可控性、平穩(wěn)性提供分析依據(jù)[7]。

2.2 運動學(xué)正解分析

運動學(xué)正解是指，已知驅(qū)動電機的電機軸外表面上某點線位移，求解平臺末端的位置坐標(biāo)[8]?，F(xiàn)采用幾何解析法進(jìn)行運動學(xué)正解的求解[9]?？蓪懗墒剑?）形式：

其中，ai=（r-R）cos?i，bi=（r-R）sin?i；i=（1,2,3）。整理得到式（7）。

其中，di=li-ai-bi-h，將L=li+h+Δli帶入得di=（L-h-Δli）2-，i=（1,2,3）。整理得式（8）。

解式（9）一元二次方程，得

因為工作平臺一直位于O-XY坐標(biāo)平面的上方，所以Z≥0。即

綜上所述，該機構(gòu)的運動學(xué)正解為式（3）和式（11）。

2.3 機械結(jié)構(gòu)雅克比矩陣的推導(dǎo)和速度分析

該驅(qū)動機構(gòu)輸入運動是由3個電機的轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)化為運動平臺的三維運動。構(gòu)建該驅(qū)動機構(gòu)的雅可比矩陣可以對其運動特性進(jìn)行分析，即對輸入運動和輸出運動之間的關(guān)系進(jìn)行分析[10]。對式（5）進(jìn)行整理得到式（12）。

其中，vx，vy，vz表示動平臺幾何中心在坐標(biāo)系O-XYZ中X，Y，Z3個方向的速度大小，v1，v2，v3表示繩子收放速度即電機軸外徑的線速度。

對式（13）進(jìn)行整理得（14）：

將式（13）整理成矩陣得：

J=B-1A，則矩陣式（15）的矩陣可寫成其中，˙為動平臺的速度向量；q˙為繩索速度的向量。所以該驅(qū)動機構(gòu)的雅可比矩陣為（16）：反映了該機構(gòu)的輸入速度與輸出速度之間的映射關(guān)系，J稱為該機構(gòu)的雅可比（Jacobian）矩陣，A，B分別稱為正、逆雅可比矩陣。在并聯(lián)機構(gòu)中如果矩陣A，B其中之一或同時為0時，則并聯(lián)機構(gòu)出現(xiàn)奇異點。通過對該機構(gòu)的雅可比矩陣的計算分析，得出機構(gòu)的工作空間內(nèi)不存在奇異點[11]。這一結(jié)論將在仿真分析中進(jìn)行驗證。

3 仿真實驗及分析

3.13D模型的建立與仿真

由于該機構(gòu)有些復(fù)雜，所以先利用solidworks對該驅(qū)動裝置進(jìn)行3D建模。建模完成后再導(dǎo)入到Adams中[12，13]（圖4）。這里將繩索與滑塊相連，用滑塊的位移代替電機旋轉(zhuǎn)的角位移與其電機軸半徑相乘所得的線位移。

將建好的3D模型導(dǎo)入到Adams中后，需要添加運動副和驅(qū)動在構(gòu)件上。運動副和驅(qū)動添加完成后，對運動學(xué)的仿真參數(shù)進(jìn)行設(shè)置。仿真步數(shù)為5000步；仿真時間為5 s；將Mark點設(shè)置在動平臺的中心，動平臺的一些相關(guān)參數(shù)可通過測量Mark點的位置、速度得到。

根據(jù)3D打印的工作原理，選取一個平行于O-XY平面的水平面，即給定空間坐標(biāo)值Z，在O-XY的平面內(nèi)讓動平臺按照圓形軌跡進(jìn)行運動。圓形的參數(shù)方程在這里設(shè)為：

其中，t表示時間。將式（17）帶入到Δli=L-h-即該機構(gòu)的運動學(xué)反解中，可求得滑塊的運動方程，即滑塊的位移函數(shù)：

圖4 機構(gòu)3D模型

將式（17）變換成Adams認(rèn)可的形式代入，即可得到驅(qū)動3個滑塊運動的驅(qū)動函數(shù)[14]。

其中，t表示時間。將式 （17） 帶入到Δli=L-h-

3.2 仿真結(jié)果分析

在相應(yīng)的驅(qū)動上添加變換后的驅(qū)動函數(shù)，添加完成后進(jìn)行仿真。仿真結(jié)束后動平臺中心點即Mark點在X軸、Y軸、Z軸的位移以及3個滑塊位移的曲線如圖5、圖6所示。

從動平臺位移曲線圖中可以看到，在運動初始階段3條曲線均有躍變情況。之后，X軸、Y軸、Z軸方向上的曲線，與將函數(shù)導(dǎo)入到MATLAB中輸出的曲線圖基本一致，滿足理論結(jié)果，驗證了上文中位置反解結(jié)果的正確性[15-17]。滑塊位移曲線圖較為平滑，說明運動過程較為平穩(wěn)[18]。

初始階段出現(xiàn)曲線躍變情況經(jīng)理論分析之后，發(fā)現(xiàn)是因為動平臺初始位置所在的水平面與動平臺運動所在的平面存在高度差，動平臺在從初始平面運動到運動所在平面的過程中，有一個較大的運動速度，致使動平臺在進(jìn)入運動平面時產(chǎn)生慣性，從而導(dǎo)致了平臺的震動，才出現(xiàn)了圖中曲線的躍變。該種情況可通過優(yōu)化驅(qū)動函數(shù)、合理規(guī)劃運動路徑進(jìn)行改善。平臺的速度曲線如圖7所示。

從速度曲線圖可以看出，除了平臺從初始位置到運動平面過渡過程中由于慣性產(chǎn)生的曲線躍變外，平臺的運動速度曲線比較平穩(wěn)[18]。圖中速度曲線中的波浪線，也是由于運動剛開始階段慣性導(dǎo)致震動產(chǎn)生的。該種情況上文已提出改善辦法，這里不再陳述。

圖5 Mark點3軸位移曲線

通過仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn)該，驅(qū)動機構(gòu)的位移、速度曲線較為平滑，無躍變，因此該機構(gòu)在運動的過程中無奇異點，驗證了對雅克比矩陣的分析結(jié)果；保證了機構(gòu)能夠平穩(wěn)的進(jìn)行工作[19]。

4 結(jié)論

提出一種繩索驅(qū)動裝置，通過繩索作為傳動裝置，解決傳統(tǒng)裝置以桿件作為傳動裝置而產(chǎn)生的機構(gòu)造價昂貴、設(shè)備笨重、無法大型化制造的問題。

對該機構(gòu)的運動學(xué)正反解和速度雅克比矩陣進(jìn)行了推導(dǎo)，建立了機構(gòu)的運動學(xué)模型，為該機構(gòu)的設(shè)計和分析提供了理論基礎(chǔ)。應(yīng)用SolidWorks軟件對該機構(gòu)進(jìn)行3D建模并導(dǎo)入到Adams軟件中進(jìn)行運動學(xué)仿真。仿真結(jié)果驗證了該推導(dǎo)的運動學(xué)反解的正確性。通過對仿真得到的位移、速度曲線的分析可知，當(dāng)工作平臺在其工作空間內(nèi)進(jìn)行運動時，其運動軌跡是滿足要求的，工作性能穩(wěn)定，在所需的工作空間內(nèi)不存在奇異點。

圖6 3個滑塊1Z軸方向位移曲線

圖7 Mark點3軸方向的速度

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