黃佰凡 徐峰遠(yuǎn) 宋根龍 李飛翔

摘要：在工程中經(jīng)常遇到如人體內(nèi)臟、地下礦藏等無法直觀測量分析的問題，而圖像重建就是利用X射線或超聲波透過被遮擋物體得到多組的透視數(shù)據(jù)，恢復(fù)物體的斷層圖。文章根據(jù)圖像重建算法在CT系統(tǒng)中的運(yùn)用實現(xiàn)，對未知介質(zhì)的分布進(jìn)行分析。

關(guān)鍵詞：CT系統(tǒng)；參數(shù)標(biāo)定；Radon變換；圖像重建

由于電子計算機(jī)斷層掃描（Computed Tomography，CT）系統(tǒng)安裝時容易存在誤差，從而影響成像質(zhì)量，因此，需要對安裝好的系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定，也就是通過借助已知結(jié)構(gòu)的樣品來標(biāo)定CT系統(tǒng)的參數(shù)，并對未知樣品進(jìn)行成像重建。 典型的二維CT系統(tǒng)，其平行入射的X射線垂直于探測器平面，將每個探測器單元看成一個個等距排列的接收點。CT系統(tǒng)的發(fā)射器和探測器的相對位置固定不變，讓整個發(fā)射一接收系統(tǒng)圍繞某一固定旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)180次，每次旋轉(zhuǎn)1。。固定二維待檢測介質(zhì)不動，對每一個X射線方向或路徑，讓包含512個等距單元的探測器測量吸收衰減后的射線能量，經(jīng)過處理后得到180組接收信息。CT系統(tǒng)示意如圖l所示。

由于CT系統(tǒng)安裝時容易存在誤差，從而影響成像質(zhì)量，因此需要對安裝好的系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定，也就是通過借助己知結(jié)構(gòu)的樣品來標(biāo)定CT系統(tǒng)的參數(shù)，并對未知樣品進(jìn)行成像重建。

1 模型建立

如圖2所示，將兩個均勻固體介質(zhì)組成的標(biāo)定模板放置在正方形托盤上，得到180組模板幾何信息和接收信息，確定CT系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)中心在正方形托盤中的位置。

1.1探測器單元之間的距離

我們發(fā)現(xiàn)，照射小圓和橢圓的投影是先分離后重合的，選取小圓與橢圓分離時候的小圓投影探測器的數(shù)據(jù)，利用86個方向上的小圓直徑投影所占探測器單元的個數(shù)，對其求平均值，得到投影總寬度：d，=28.835 3，由于旋轉(zhuǎn)過程中小球直徑一定，為8 mm，可求探測器單元之間的距離：L=d/d得出單個探測器長度即探測器單元之間的距離/=0.277 4 mm。

1.2 CT系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)中心的位置

建立如圖3所示直角坐標(biāo)系，規(guī)定坐標(biāo)系不動，而CT坐標(biāo)系圍繞實際旋轉(zhuǎn)中心O'逆時針旋轉(zhuǎn)θ的情形，可見理想旋轉(zhuǎn)中心與實際現(xiàn)轉(zhuǎn)中心存在y軸偏移量和x軸偏移量。

1.2.1 y軸偏移量

當(dāng)旋轉(zhuǎn)到水平位置時，CT系統(tǒng)的X射線由右向左射入，此時橢圓在探測器上的投影部分長度恰好為橢圓的長軸長度，可以求解得出此時橢圓圓心的位置。己知，由于理想的旋轉(zhuǎn)中心應(yīng)該處在垂直于探測器單元第256個探測器上的射線，然后根據(jù)推導(dǎo)公式：

可得y軸偏移量Pv。這里，Y1表示橢圓最低點所對應(yīng)的探測器的位置，y2表示橢圓最高點所對應(yīng)的探測器的位置，則求出y軸的偏移量為

1.2.2 x軸偏移量

利用MATLAB軟件分析，如圖4所示。由圖可知，在旋轉(zhuǎn)次數(shù)達(dá)到140次時，圖像出現(xiàn)波谷，則代表此時X射線是由上向下照射，此時小圓和橢圓在探測器上的投影不重合。

根據(jù)橢圓跟小圓在探測器上的投影長度，求得小圓圓心的投影位置。得出小圓圓心在探測器的位置區(qū)間為[59，60]，約第59.855 6個探測器的單元位置處。根據(jù)小圓圓心到理想旋轉(zhuǎn)中心的距離函數(shù)關(guān)系：

以及時由偏移量與小圓直徑的關(guān)系：

可以得出X軸的偏移量為

1.3旋轉(zhuǎn)中心結(jié)果

綜合x軸偏移量和y軸偏移量，如圖5所示，可以得出CT系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)中心的位置坐標(biāo)（- 9.417 9，5.548 8）。

2 圖像重建模型建立

為了確定未知介質(zhì)在正方形托盤中的位置，需要將探測器得到的投影數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成原始圖像數(shù)據(jù)，即圖形的重建過程，而Radon逆變換就是根據(jù)一套完整的投影數(shù)據(jù)，對原始圖像重建的嚴(yán)謹(jǐn)算法，同時投影數(shù)據(jù)的獲得又無須深入物體內(nèi)部。得到原始圖像后，圖片的灰度值變化規(guī)律呈現(xiàn)了吸收率的變化規(guī)律。

2.1 Radon變換

Radon變換是調(diào)和分析與積分幾何領(lǐng)域中的重要課題，從分析學(xué)的角度看，研究積分變換的目的是通過把某些問題從原來的框架轉(zhuǎn)移到一個新的框架中，從而將在初始的情形下把難處理的問題表現(xiàn)形式轉(zhuǎn)化為易處理的形式，然后再用積分逆變換轉(zhuǎn)換到原來的框架中‘1]。

下面簡要說明R2上的重構(gòu)圖形的思路，固定臼，將Rf（t，臼）變換（關(guān)于t）為：

這表明對圖形投影Rf（t，θ）等同于對圖像，b∽的二維變換，稱為中心切片定理，圖形重構(gòu)就是求投影Rf（t，臼）的逆變換（反演變換），因此， （。cos臼，m sin口）作傅里葉逆變換，從而得到Radon變換的逆變換為：

2.2 MATLAB圖像重組部分參考程序

information= load（‘shuju.dat）；

%導(dǎo)入未知介質(zhì)吸收信息

[img3，h3]=iradon（information，[0： 179]+st art_angre）；%Radon逆變換重建二維圖像

n= size（img3，1）；

[x，y]=meshgrid（[-n/2：n/21*l）；

2.3 MATLAB圖像重組實現(xiàn)結(jié)果

利用MATLAB中的Radon逆變換，將兩組數(shù)據(jù)導(dǎo)入后得出未知介質(zhì)在正方形托盤中分布的圖像，如圖6-7所示。

3結(jié)語

本文通過已有數(shù)據(jù)對橫縱偏移量的討論，實現(xiàn)了對CT系統(tǒng)的參數(shù)標(biāo)定，并給出MATLAB程序，通過Radon逆變換完成了探測器數(shù)據(jù)的圖像重建。