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        用一簡單函數(shù)證明均值不等式

        2018-06-06 07:46:22儲百六
        數(shù)理化解題研究 2018年10期
        關(guān)鍵詞:岳西增函數(shù)均值

        儲百六

        (安徽省岳西中學(xué) 246600)

        函數(shù)f(x)=ax+a-x是我們非常熟悉的函數(shù),其推廣后可以得到n元均值不等式的一個漂亮證明.

        于是,當(dāng)x<0時,f′(x)0時,f′(x)>f′(0)=0.

        所以函數(shù)f(x)在(-∞,0]上為減函數(shù),在[0,+∞)上為增函數(shù).

        定理1(均值不等式的證明)

        (2)當(dāng)a1=a2=…=an時,顯然A(a)=G(a)=H(a).

        綜合(1)(2)可知:A(a)≥G(a)≥H(a),當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時取等號.

        說明利用f(x)的單調(diào)性易得:f(k)≥f(k-1),k∈N*,整理得:

        于是可得不等式鏈:

        定理2(加權(quán)均值不等式的證明)

        先證明一個引理

        所以f′(x)在R上為增函數(shù).

        于是,當(dāng)x<0時,f′(x)0時,f′(x)>f′(0)=0.

        所以函數(shù)f(x)在(-∞,0]上為減函數(shù),在[0,+∞)上為增函數(shù).

        再證明均值不等式.

        由引理2知函數(shù)f(x)在(-∞,0]上為減函數(shù),在[0,+∞)上為增函數(shù).

        于是A(λ,a)>G(λ,a);

        (2)當(dāng)a1=a2=…=an時,顯然A(λ,a)≥G(λ,a)≥H(λ,a).

        綜合(1)(2)可知:A(λ,a)≥G(λ,a)≥H(λ,a),當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時取等號.

        參考文獻:

        [1]常庚哲,史濟懷.數(shù)學(xué)分析教程[M].合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2012(8).

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