儲百六

(安徽省岳西中學(xué) 246600)

函數(shù)f(x)=ax+a-x是我們非常熟悉的函數(shù)，其推廣后可以得到n元均值不等式的一個漂亮證明.

于是，當(dāng)x<0時，f′(x)0時，f′(x)>f′(0)=0.

所以函數(shù)f(x)在(-∞,0]上為減函數(shù)，在[0,+∞)上為增函數(shù).

定理1(均值不等式的證明)

(2)當(dāng)a1=a2=…=an時，顯然A(a)=G(a)=H(a).

綜合(1)(2)可知：A(a)≥G(a)≥H(a)，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時取等號.

說明利用f(x)的單調(diào)性易得：f(k)≥f(k-1),k∈N*，整理得：

于是可得不等式鏈：

定理2(加權(quán)均值不等式的證明)

先證明一個引理

所以f′(x)在R上為增函數(shù).

于是，當(dāng)x<0時，f′(x)0時，f′(x)>f′(0)=0.

所以函數(shù)f(x)在(-∞,0]上為減函數(shù)，在[0,+∞)上為增函數(shù).

再證明均值不等式.

由引理2知函數(shù)f(x)在(-∞,0]上為減函數(shù)，在[0,+∞)上為增函數(shù).

于是A(λ,a)>G(λ,a)；

(2)當(dāng)a1=a2=…=an時，顯然A(λ,a)≥G(λ,a)≥H(λ,a).

綜合(1)(2)可知：A(λ,a)≥G(λ,a)≥H(λ,a)，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時取等號.

參考文獻：

[1]常庚哲,史濟懷.數(shù)學(xué)分析教程[M].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2012(8).