孫幸榮， 羅 敏， 夏 丹

(黃岡師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院， 湖北 黃岡 438000)

合金是一種化合物，并于20世紀(jì)得到廣泛應(yīng)用.生活中最常用的合金包括不銹鋼、鋁合金、鐵合金與銅鋅合金等，在合金的冶煉過(guò)程中如果改變添加元素的含量，則會(huì)改變合金的某些物理性質(zhì)和化學(xué)性質(zhì).例如，將適量Sn添加到青銅中，可以提高青銅的塑性和抗腐蝕性；將適量Mn和Mg添加到鋁合金中，可以提高鋁合金的塑性和抗腐蝕性；將適量Sn添加到黃銅中，可以提高黃銅的抗海水腐蝕能力；將適量Pb添加到黃銅中，可以提高黃銅的潤(rùn)化性[1-7].釩和稀土是影響鋁合金性能的兩種原料，且對(duì)合金的抗拉強(qiáng)度、伸長(zhǎng)率與熱裂傾向值均具有一定影響.為了在提高合金產(chǎn)品質(zhì)量的同時(shí)，又能最大化地節(jié)省原材料，在生產(chǎn)過(guò)程中需要對(duì)合金產(chǎn)品性能進(jìn)行系統(tǒng)研究.

1 實(shí)驗(yàn)假設(shè)條件

本文主要從在冶煉過(guò)程中釩和稀土的添加量 角度出發(fā)，對(duì)合金產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度、伸長(zhǎng)率和熱裂傾向值三個(gè)指標(biāo)進(jìn)行了研究.為了方便分析，在整個(gè)研究過(guò)程中假定Al-4.5Zn-1.0Mg-0.8Cu合 金中，不含其他影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果的雜質(zhì)；假設(shè)實(shí)驗(yàn)過(guò)程不受其他外界因素(如濕度、溫度和壓強(qiáng)等)的影響，即假設(shè)實(shí)驗(yàn)是在一個(gè)環(huán)境適宜且相對(duì)穩(wěn)定的條件下進(jìn)行的.實(shí)驗(yàn)獲得的具體數(shù)據(jù)如表1所示.

表1 釩和稀土的添加對(duì)合金力學(xué)性能和抗熱裂性能的影響Tab.1 Effect of addition of vanadium and rare earth on mechanical properties and thermal cracking resistance of alloy

2 不同添加方案對(duì)合金性能的影響

2.1 單獨(dú)添加釩對(duì)合金性能的影響

為了研究釩的添加量與合金抗拉強(qiáng)度、伸長(zhǎng)率和熱裂傾向值之間的關(guān)系，本文采用多項(xiàng)式擬合法，建立以釩的含量為自變量，合金的抗拉強(qiáng)度、伸長(zhǎng)率與熱裂傾向值分別為三個(gè)因變量的擬合函數(shù)關(guān)系，再分別計(jì)算近似函數(shù)和實(shí)際數(shù)據(jù)的誤差，從而判斷擬合函數(shù)的擬合效果.

1) 誤差平方和值δ越接近0，擬合效果越好；

2) 相關(guān)指數(shù)R的取值范圍為[0，1]，且R2值越接近1，擬合效果越好；

在多項(xiàng)式擬合的具體操作中，本文采用MATLAB軟件中的函數(shù)擬合工具箱CFTOOL進(jìn)行最小二乘擬合處理，即先將數(shù)據(jù)導(dǎo)入軟件，采用相應(yīng)向量保存數(shù)據(jù)，再利用擬合工具箱對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合.同時(shí)逐次增加多項(xiàng)式次數(shù)，觀測(cè)函數(shù)圖像并對(duì)照實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，最終得出擬合效果最佳、誤差最小的多項(xiàng)式次數(shù).

假設(shè)釩的添加量為自變量x1，此時(shí)合金產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度、伸長(zhǎng)率和熱裂傾向值分別為因變量f1(x1)、f2(x1)和f3(x1).利用上述多項(xiàng)式擬合模型，結(jié)合表1中單獨(dú)添加釩方案時(shí)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，求出對(duì)應(yīng)的擬合函數(shù)圖像及擬合函數(shù)表達(dá)式，具體擬合函數(shù)圖像如圖1所示.通過(guò)圖1可以得到合金獲得最大抗拉強(qiáng)度、最大伸長(zhǎng)率和最小熱裂傾向值時(shí)對(duì)應(yīng)的釩含量.

圖1單獨(dú)添加釩時(shí)合金抗拉強(qiáng)度、伸長(zhǎng)率和熱裂傾向值的擬合函數(shù)

Fig.1Fittingfunctionsofultimatetensilestrength，elongationandhotcrackingtendencyvalueofalloywithaddingvanadiumalone

通過(guò)分析可知，單獨(dú)添加釩時(shí)合金抗拉強(qiáng)度的近似擬合函數(shù)為

(1)

計(jì)算得到其誤差平方和為1.858×10-26，相關(guān)指數(shù)R為1，可見(jiàn)擬合精度較高.

同理可得，單獨(dú)添加釩時(shí)合金伸長(zhǎng)率的近似擬合函數(shù)為

(2)

計(jì)算得到其誤差平方和為9.545×10-29，相關(guān)指數(shù)R為1，可見(jiàn)函數(shù)擬合精度也較高.

此外，單獨(dú)添加釩時(shí)合金熱裂傾向值的近似擬合函數(shù)為

(3)

計(jì)算得到其誤差平方和為4.786×10-26，相關(guān)指數(shù)R為1，擬合程度同樣較高.

2.2 單獨(dú)添加稀土對(duì)合金性能的影響

沿用上述方法，首先分別求出合金產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度、伸長(zhǎng)率和熱裂傾向值與稀土添加量之間的三個(gè)近似擬合函數(shù)，對(duì)擬合函數(shù)求導(dǎo)并求取極值，之后與函數(shù)端點(diǎn)值進(jìn)行比較后確定最值，從而得到合金性能最佳時(shí)所需單獨(dú)添加稀土的含量.為了對(duì)合金的三個(gè)指標(biāo)整體產(chǎn)生較好影響，需要對(duì)三個(gè)指標(biāo)函數(shù)進(jìn)行整體分析.為了便于觀察，本文對(duì)函數(shù)進(jìn)行了相應(yīng)處理，再綜合給定的約束條件，觀察三個(gè)函數(shù)圖像的走向趨勢(shì)，并運(yùn)用相關(guān)軟件最終確定自變量的取值，即單獨(dú)添加稀土的含量.

利用表1中單獨(dú)添加稀土方案的數(shù)據(jù)，假設(shè)稀土含量x2∈[0，0.25]，合金產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度、伸長(zhǎng)率和熱裂傾向值分別為f1(x2)、f2(x2)和f3(x2)，可得合金的三個(gè)指標(biāo)關(guān)于稀土含量的擬合函數(shù)圖像如圖2所示.

圖2單獨(dú)添加稀土?xí)r合金抗拉強(qiáng)度、伸長(zhǎng)率和熱裂傾向值的擬合函數(shù)

Fig.2Fittingfunctionsofultimatetensilestrength，elongationandhotcrackingtendencyvalueofalloywithaddingrareearthelementalone

分析圖2可知，單獨(dú)添加稀土?xí)r合金三個(gè)指標(biāo)關(guān)于稀土含量的函數(shù)關(guān)系分別為

(4)

(5)

(6)

根據(jù)上述函數(shù)表達(dá)式可以分別求出合金抗拉強(qiáng)度、伸長(zhǎng)率和熱裂傾向值的極值及其對(duì)應(yīng)的稀土含量.將單獨(dú)添加稀土?xí)r合金抗拉強(qiáng)度擬合函數(shù)的極大值176.859 MPa與已知數(shù)據(jù)中合金抗拉強(qiáng)度的端點(diǎn)值133、152 MPa進(jìn)行比較，可得合金抗拉強(qiáng)度最大值為176.859 MPa，對(duì)應(yīng)稀土質(zhì)量分?jǐn)?shù)為0.134 1%，即當(dāng)單獨(dú)添加質(zhì)量分?jǐn)?shù)為0.134 1%的稀土?xí)r，合金的抗拉強(qiáng)度最大.將單獨(dú)添加稀土?xí)r合金伸長(zhǎng)率擬合函數(shù)的兩個(gè)極值8.598%和6.45%與已知數(shù)據(jù)中合金伸長(zhǎng)率的端點(diǎn)值4.66%和6.49%進(jìn)行比較，可得合金伸長(zhǎng)率最大值為8.598%，對(duì)應(yīng)稀土的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為0.098 9%，即單獨(dú)添加稀土的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為0.098 9%時(shí)，合金的伸長(zhǎng)率最大.將熱裂傾向值擬合函數(shù)的極小值68.999與已知數(shù)據(jù)中合金熱裂傾向值的端點(diǎn)值112和116進(jìn)行比較，可得合金熱裂傾向值的最小值為68.999，此時(shí)對(duì)應(yīng)的稀土質(zhì)量分?jǐn)?shù)為0.126 2%，即單獨(dú)添加稀土的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為0.126 2%時(shí)，合金的熱裂傾向值最小.

為了求出使得合金的抗拉強(qiáng)度和伸長(zhǎng)率較大，但熱裂傾向度較小時(shí)，需要單獨(dú)添加的稀土含量，將圖2整合為便于觀察合金三個(gè)指標(biāo)關(guān)于稀土含量的整體變化趨勢(shì)圖.在具體操作過(guò)程中，將合金抗拉強(qiáng)度與稀土含量的對(duì)應(yīng)數(shù)值縮小20倍，合金熱裂傾向值與稀土含量的對(duì)應(yīng)數(shù)值縮小10倍，并保持合金伸長(zhǎng)率與稀土含量的對(duì)應(yīng)數(shù)值不變，從而在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出三個(gè)函數(shù)圖像并方便觀察其變化趨勢(shì)，具體結(jié)果如圖3所示.

圖3 壓縮后各指標(biāo)的整體變化趨勢(shì)Fig.3 Overall change trends of differentindexes after compression

為了使得合金的抗拉強(qiáng)度、伸長(zhǎng)率較大，熱裂傾向值較小，需要構(gòu)造令合金的抗拉強(qiáng)度、伸長(zhǎng)率和熱裂傾向值整體效果較好的目標(biāo)函數(shù)z，且z=f1(x2)+f2(x2)-f3(x2).當(dāng)z取最大值時(shí)整體效果最好，且此時(shí)x2的取值即為所求稀土含量.利用MATLAB軟件計(jì)算可得，當(dāng)x2=0.128%時(shí)，合金的整體效果最好，這與圖3結(jié)果一致，即當(dāng)單獨(dú)添加稀土的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為0.128%時(shí)，可以提高合金的抗拉強(qiáng)度和伸長(zhǎng)率，同時(shí)減少合金熱裂傾向值，從而使得合金性能的整體效果較好.

2.3 混合添加釩和稀土對(duì)合金性能的影響

為了方便起見(jiàn)，采用非線性規(guī)劃優(yōu)化模型[8]對(duì)合金性能進(jìn)行系統(tǒng)描述.通常在合金的抗拉強(qiáng)度不低于150 MPa，伸長(zhǎng)率不低于7%，同時(shí)熱裂傾向值盡可能小的情況下，合金使用率最為廣泛.首先利用擬合法分別求出合金抗拉強(qiáng)度、伸長(zhǎng)率和熱裂傾向值關(guān)于自變量釩和稀土添加量的函數(shù)關(guān)系式，再將抗拉強(qiáng)度不低于150 MPa，伸長(zhǎng)率不低于7%視為約束條件，將熱裂傾向值減少到最小視為目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)兩個(gè)約束條件與表1中釩和稀土的含量范圍，可以得出兩個(gè)自變量的可行解區(qū)域，最后在該區(qū)域內(nèi)找出使目標(biāo)函數(shù)值最小的點(diǎn)，此點(diǎn)即為最優(yōu)解點(diǎn)，且最優(yōu)解點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)分別對(duì)應(yīng)釩和稀土的含量.

在具體求解過(guò)程中，根據(jù)表1中混合添加釩和稀土方案的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，運(yùn)用MATLAB軟件求得合金的抗拉強(qiáng)度、伸長(zhǎng)率和熱裂傾向值關(guān)于釩含量x1和稀土含量x2的擬合函數(shù)圖像，具體結(jié)果如圖4所示.

由圖4可得合金三個(gè)指標(biāo)的二元擬合函數(shù)表達(dá)式為

79.294 4x2+197.948 6

(7)

圖4混合添加釩和稀土?xí)r合金抗拉強(qiáng)度、伸長(zhǎng)率和熱裂傾向值的擬合函數(shù)

Fig.4Fittingfunctionsofultimatetensilestrength，elongationandhotcrackingtendencyvalueofalloywithmixedadditionofvanadiumandrareearth

8.471 9x2+8.448 2

(8)

282.999x1-145.798 6x2+74.004 8

(9)

依據(jù)非線性優(yōu)化模型原理可得目標(biāo)函數(shù)與約束條件分別為

282.999x1-145.798 6x2+

74.004 8

(10)

(11)

利用MATLAB軟件進(jìn)行處理后可知，當(dāng)且僅當(dāng)x1=0.01%、x2=0.14%時(shí)，合金的熱裂傾向值最小，且最小值為66.618 9，即當(dāng)混合添加質(zhì)量分?jǐn)?shù)分別為0.01%的釩和0.14%的稀土?xí)r，才能在合金的抗拉強(qiáng)度不低于150 MPa，伸長(zhǎng)率不低于7%的情況下，使得合金的熱裂傾向值最小.

3 最優(yōu)方案模型的建立與求解

3.1 模型建立

本文采用主成分分析法對(duì)多種方案進(jìn)行評(píng)價(jià)，主成分分析法的基本原理[9-11]為：

(12)

(13)

4) 計(jì)算各樣本相關(guān)系數(shù)rij，得出樣本相關(guān)矩陣H，則樣本相關(guān)系數(shù)與相關(guān)矩陣表達(dá)式分別為

(14)

(15)

欲從單獨(dú)添加釩、單獨(dú)添加稀土、混合添加釩和稀土這三種添加方案中，選出對(duì)提高合金的抗拉強(qiáng)度和伸長(zhǎng)率并減少熱裂傾向值的整體效果更加明顯的方案，可以依據(jù)上述主成分分析法評(píng)價(jià)模型對(duì)三個(gè)方案進(jìn)行評(píng)價(jià)，并根據(jù)最終評(píng)價(jià)值確定最優(yōu)方案.但在評(píng)價(jià)之前需要對(duì)各方案的指標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理.首先選取各指標(biāo)的平均值作為評(píng)價(jià)模型的原始數(shù)據(jù)，其次對(duì)原始樣本數(shù)據(jù)矩陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，繼而得到標(biāo)準(zhǔn)矩陣，再求出各樣本的相關(guān)系數(shù)得到樣本相關(guān)矩陣，進(jìn)而求出各指標(biāo)特征值，并依據(jù)特征值的大小確定主成分集和特征向量矩陣，最后依據(jù)綜合評(píng)價(jià)值計(jì)算公式，得到各方案的綜合評(píng)價(jià)值，從而確定最優(yōu)方案.

3.2 計(jì)算結(jié)果

1) 原始數(shù)據(jù)矩陣表達(dá)式為

2) 標(biāo)準(zhǔn)化后樣本矩陣為

3) 樣本相關(guān)矩陣為

4) 三個(gè)指標(biāo)的相關(guān)矩陣特征值分別為λ1=0、λ2=0.599 3和λ3=2.400 7.正則化特征向量矩陣為

綜合評(píng)價(jià)矩陣表達(dá)式為

綜上所述，綜合評(píng)價(jià)矩陣中單獨(dú)添加微量釩方案的評(píng)價(jià)值最大，因而為最優(yōu)方案.

4 結(jié) 論

本文主要從釩和稀土在冶煉過(guò)程中的添加量角度出發(fā)，針對(duì)釩和稀土添加方案對(duì)合金產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度、伸長(zhǎng)率和熱裂傾向值三個(gè)指標(biāo)的影響進(jìn)行了分析，利用主成分分析法評(píng)價(jià)模型對(duì)三個(gè)方案進(jìn)行評(píng)價(jià)，由三個(gè)方案的最終評(píng)價(jià)值可以確定最優(yōu)方案為第一種方案，即單獨(dú)添加微量釩的方案.同時(shí)本文模型均通過(guò)了相應(yīng)的軟件檢驗(yàn)，具有較強(qiáng)的科學(xué)性和可行性，本文方案和結(jié)果可以為合金冶煉等相應(yīng)部門(mén)提供應(yīng)用參考.

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