王 巖，黃張裕，張玉爽，艾合塔木?依米尼亞孜，王文利

（1. 河海大學(xué) 地球科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京 211100）

一個新鮮事物自誕生以來總會不斷被發(fā)掘、傳播和推廣，灰色系統(tǒng)理論亦是如此。“小樣本”、“貧信息”貫穿整個灰色系統(tǒng)理論[1-3]。部分信息已知、部分信息未知是灰色理論的典型特征[4-5]。其通過累加生成的方法，對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行加工，使數(shù)據(jù)中隱藏的信息得以顯示[6-7]。許多新模型應(yīng)運(yùn)而生，灰色預(yù)測模型已 由 GM(1,1)發(fā) 展 到 DGM(1,1)、GM(2,1)、DGM(2,1)、GOM(1,1)、 新 陳 代 謝GM(1,1)等[8-13]。 本 文 采 用GM(1,1)、DGM(1,1)、間接DGM(1,1)3種模型對基坑沉降進(jìn)行預(yù)測。

DGM(1,1)模型是GM(1,1)的離散形式，對于不同的數(shù)據(jù)列，其預(yù)測精度有較大差別，有時甚至完全失真。對何種類型數(shù)據(jù)列的預(yù)測精度高，何種類型數(shù)據(jù)列的預(yù)測精度低，是使用該模型的關(guān)鍵。近似非齊次指數(shù)增長序列和近似齊次指數(shù)增長序列是僅相差一個常數(shù)項的兩種數(shù)據(jù)列，但使用DGM(1,1)模型對這兩種數(shù)據(jù)列進(jìn)行預(yù)測時，精度有較大差別，后者要高于前者[14]；而現(xiàn)實中近似非齊次增長序列比近似齊次指數(shù)增長序列要普遍得多，兩種數(shù)據(jù)列的轉(zhuǎn)化是提高預(yù)測精度的關(guān)鍵。將基于近似非齊次指數(shù)增長序列的灰色預(yù)測模型稱為間接DGM(1,1)模型。它是DGM(1,1)的衍生模型，旨在進(jìn)行兩種數(shù)據(jù)列（近似齊次、近似非齊次）之間的轉(zhuǎn)化。GM(1,1)、DGM(1,1)和間接DGM(1,1)模型都是變形預(yù)測的有效模型，本文采用這3種模型對基坑沉降進(jìn)行預(yù)測，并對預(yù)測精度進(jìn)行了比較。結(jié)果表明，間接DGM(1,1)預(yù)測曲線十分接近實測值曲線，隨著周期的增長，預(yù)測值并沒有像另兩種模型那樣較大幅度地偏離實測值，且在8～10周期預(yù)測效果最好；它對短中期和長期預(yù)測均適用，彌補(bǔ)了另兩種模型不能進(jìn)行長期預(yù)測的缺憾。

1 GM(1,1)模型與DGM(1,1)模型

1.1 GM(1,1)模型

對序列進(jìn)行運(yùn)算為運(yùn)算得到的序列，其中n。對序列x1建立微分方程：

以最小二乘法為約束條件，求得[a b]T=(BTB)-1BTYN，其中對式（1）求解，得到：

累減生成后的還原數(shù)據(jù)為：

判斷灰色模型精度等級的C、P值如表1所示。其中，模型精度等級=max{P所在級別,C所在級別}。C越小效果越好，P越大效果越好。

表1 模型精度等級

1.2 DGM(1,1)模型

將稱為離散灰色模型，即DGM(1,1)模型。對序列進(jìn)行運(yùn)算為運(yùn)算得到的序列，其中

令為參數(shù)列，由最小二乘法得其結(jié)果其中由于故預(yù)測模型為：

還原值為：

2 間接DGM(1,1)模型

對序列進(jìn)行運(yùn)算，得到序列其中為近似非齊次指數(shù)增長序列，則序列y0為近似非負(fù)齊次指數(shù)增長序列，實現(xiàn)了兩種序列的轉(zhuǎn)化，這是建立間接DGM(1,1)模型的關(guān)鍵。序列其中k=1,2,…,n。

令m = [ m1m2]T為參數(shù)列，由最小二乘法得到：其中由式（4）可知，

作累減還原可得：

化簡得到：

式（6）為序列y0的DGM(1,1)預(yù)測模型。由于故進(jìn)而得出序列x0的間接DGM(1,1)預(yù)測模型為：

3 實例分析

對某基坑進(jìn)行沉降監(jiān)測，基坑周邊為居民樓，基坑長45.7 m，寬13.7 m，最大開挖深度為11 m，共布設(shè)20個沉降監(jiān)測點，監(jiān)測11個周期，選取任一點進(jìn)行分析，其11個周期的累計沉降量（實測值）、預(yù)測值和殘差如表2所示。通過計算得到3種模型的P、C值和中誤差，見表3。

表2 3種模型的預(yù)測值與殘差/mm

表3 3種模型的P、C值和中誤差

由表2可知，累計沉降量滿足近似非齊次指數(shù)增長，適合建立間接DGM(1,1)模型。由表3可知，間接DGM(1,1)的C值比另兩種模型小得多，所以間接DGM(1,1)的模型精度要高于另兩種模型。就中誤差而言，間接DGM(1,1)要遠(yuǎn)低于另兩種模型，且不在同一 個量級上，說明間接DGM(1,1)的預(yù)測效果比GM(1,1)、DGM(1,1)要好。3種模型殘差曲線如圖1所示。預(yù)測曲線和實測曲線見圖2。

圖1 3種模型殘差圖

從圖1可以發(fā)現(xiàn)，間接DGM(1,1)的殘差值上下浮動較小，較穩(wěn)定，沒有出現(xiàn)大幅度波動，增加緩慢近似一條水平線，實測值與預(yù)測值非常接近，最大值不超過0.2 mm，即使在后期，也沒有出現(xiàn)隨周期增加而快速增長的情況，始終控制在0.1 mm之內(nèi)，短、中、長周期都取得了較好的預(yù)測效果。其他兩種模型的殘差值在7周期以前出現(xiàn)了下降，具有較好的短中期預(yù)測效果，但在7周期以后，殘差值隨周期增加而不斷增大，且增長幅度較大，說明這兩種模型不適合長期預(yù)測。

圖2 3種模型預(yù)測曲線和實測曲線

從圖2可以看出，GM(1,1)和DGM(1,1)的預(yù)測曲線除在6～8周期與實測值曲線偏離較小外，其余周期均與實測值偏離較大，7周期后與實測值偏離越來越大，說明這兩種模型僅適合短中期預(yù)測，不適合長期預(yù)測；而間接DGM(1,1)預(yù)測曲線十分接近實測值曲線，隨著周期的增加，預(yù)測值并未大幅偏離實測值，且在8～11周期預(yù)測效果最好，在一定程度上反映了間接DGM(1,1)不僅適合短中期預(yù)測，也適合長期預(yù)測，彌補(bǔ)了另兩種模型不能進(jìn)行長期預(yù)測的缺憾。

4 結(jié) 語

從3種模型對基坑沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)的預(yù)測效果來看，GM(1,1)與DGM(1,1)模型的預(yù)測值在7周期以后與實測值偏離越來越大，說明這兩種模型僅適合短中期預(yù)測；間接DGM(1,1)的C值遠(yuǎn)小于另兩種模型，因此預(yù)測精度要高于另兩種模型；且其預(yù)測曲線與實測值曲線十分接近，說明它對短中期和長期預(yù)測均適用，彌補(bǔ)了另兩種模型不能進(jìn)行長期預(yù)測的缺憾。

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