張永貴,黃中秋
(蘭州理工大學機電工程學院,甘肅 蘭州 730050)
6R工業(yè)機器人是指6個關節(jié)均為旋轉(zhuǎn)關節(jié)的工業(yè)機器人。6自由度關節(jié)機器人在切削加工過程中系統(tǒng)剛度遠遠低于CNC系統(tǒng)的剛度[1]。機器人剛度是描述機器人在外作用力下抵抗變形的能力[2]。當機器人操作臂末端受到外力作用時會產(chǎn)生變形,從而造成切削加工中的誤差,而變形量與機器人的剛度和作用力的大小有關[3-4]。機器人的剛度包括伺服剛度和機械剛度,本文只討論由機械剛度引起的機器人操作末端的變形[5-6]問題。通過疊加機器人關節(jié)剛度和臂桿剛度在機器人操作臂末端引起的變形,建立對機器人關節(jié)角的補償模型,并通過對機器人關節(jié)角的補償,減少因機器人剛度問題所造成的機器人在切削加工中的誤差[7]。
參照文獻[8]對MOTOMAN UP50機器人的研究結(jié)果,根據(jù)機器人的結(jié)構(gòu)參數(shù),運用D-H法建立機器人各連桿的附體坐標系,如圖1所示。各連桿的參數(shù)見表1。
表1 機器人運動學D-H參數(shù)值
圖1 機器人D-H坐標系
定義機器人不同位姿時,坐標系{i+1}與坐標系{i}的變換矩陣為:
Rot(xi+1,αi+1)Trans(xi+1,ai+1)
(1)
式中:oi為機器人第i個關節(jié)轉(zhuǎn)角;θi,di,αi,ai分別為機器人零位時的參數(shù)值。
(2)
設有一個作用在某個物體上的力F,它使物體發(fā)生假想的微分位移D,做出虛功δW。虛擬位移的極限趨向無窮小,所以系統(tǒng)的能量不變。力F所做的虛功為:
δW=FTD
(3)
式中:D為虛擬位移的微分運動矢量;F為力矢量,表示作用在該點的力和力矩。
用坐標系{c}來描述此物體上某個不同的點,有:
δW=FTD=cFTcD
(4)
根據(jù)文獻[8]第三章式(3.97)有:
cD=JD
(5)
從而有
FT=cFTJ
(6)
對式(6)稍加變換即可得:
cF=[JT]-1F
(7)
式中:J為雅可比矩陣。
式(7)即為各坐標系之間靜力的變換公式。
借用文獻[9]的方法可以得到機器人關節(jié)變形在機器人臂桿末端的撓度映射,即:
(8)
式中:kθ為關節(jié)剛度。
針對MOTOMAN UP50機器人,引用文獻[9]的公式求得其關節(jié)剛度kθ=diag(8.86×109,5.50×109,1.85×1010,3.30×108,2.10×109,8.81×109)N·mm/rad。在此,首先分析機器人在位姿q=[30 60 30 45 30 60]、末端載荷F=[100 150 50 0 0 0]時的末端變形,然后求得在只考慮關節(jié)變形時操作臂末端的撓度Δδθ(保留4位小數(shù)):
Δδθ=[-0.017 9 0.029 4 0.033 2 0.000 0 0.000 0 0.000 0]
(9)
通過計算可得到機器人在操作臂末端受到F=[100 150 50 0 0 0]N的力時,臂桿1,2,3,4及臂桿6的撓度變形,見表2~表6。表中的γ為繞z軸的轉(zhuǎn)角,β為繞y軸的轉(zhuǎn)角,φ為繞x軸的轉(zhuǎn)角,Δl為在x軸方向的位移。
表2 臂桿1的撓度變形
表3 臂桿2的撓度變形
表4 臂桿3的撓度變形
表5 臂桿4的撓度變形
表6 臂桿6的撓度變形
因為臂桿5的剛度可以視為無限大,所以臂桿5在結(jié)構(gòu)中沒有撓度變形。根據(jù)各個臂桿的撓度變形可得臂桿變形在操作空間所產(chǎn)生的廣義撓度Δδl為:
Δδl=[ 0.042 5 0.020 4 -0.012 4 0.000 0 0.000 0 0.000 0]
(10)
通過疊加操作末端的關節(jié)撓度和臂桿撓度從而得到機器人的總撓度,即:
Δδ=Δδθ+Δδ1
(11)
已知機器人操作臂末端的廣義力F和總撓度Δδ,則機器人總的空間剛度K為:
(12)
根據(jù)材料力學可知銑削力F的計算公式為:
(13)
式中:CFz為銑削力的切削系數(shù);d0為銑刀直徑;ae為銑削深度;af為每齒進刀量;ap為銑削寬度;z為銑刀齒數(shù);kFz為修正系數(shù)。
根據(jù)銑削條件取CFz=160,d0=8mm,ae=8mm,ap=5mm,af=0.2mm/齒,z=4,kFz=3.54,代入式(13)中可得F=2 551N。
從而可得到各銑削分力分別為:Fx=1 020.4N,Fy=2 040.8N,Fz=2 295.9N。
將求出的各銑削分力代入式(12)即可計算出機器人末端誤差Δx為(保留四位小數(shù)):
(14)
雅可比矩陣是一個多元函數(shù)的偏導矩陣,假如有一組變量為xj的方程Yi(其中i,j=1,2,…,6)為:
Yi=fi(x1,x2,…,xj)
(15)
由Yi的微分變化所引起的xj的微分變化為:
(16)
同樣,根據(jù)上述關系,對機器人的位置方程求微分,可以寫出以下方程:
Δx=JΔθi
(17)
因此在已知機器人末端誤差Δx時,可以根據(jù)式(17)來求關節(jié)補償量Δθi,即:
Δθi=J-1Δx
(18)
為了驗證所建立的關節(jié)角補償模型是否有效,從機器人示教器讀取機器人不同位姿時的關節(jié)位置和操作臂末端姿態(tài)。觀察點的位姿,如表7所示(由于篇幅限制,只列出8組數(shù)據(jù))。
表7 觀察點的關節(jié)位置和末端位置
根據(jù)表7中的關節(jié)角θi由式(17)、(18)可計算出各關節(jié)角的補償值Δθi,見表8。
表8 關節(jié)角補償值 rad
對關節(jié)角進行補償后得到的觀測點的數(shù)據(jù)見表9。
表9 關節(jié)角補償后觀察點的關節(jié)位置和末端位置
補償前與補償后觀察點末端位置變化見表10。
表10 末端位置變化
由式(14)可知,由于機器人自身剛度的原因會造成機器人在切削加工中,其刀具在x,y,z3個方向上分別少走了0.557 1mm、0.677 5mm、0.955 1mm,因此產(chǎn)生了加工誤差。為了補償加工誤差,通過對機器人關節(jié)角進行補償來修正。而根據(jù)表10可知,補償關節(jié)角后,其刀具在x,y,z3個方向上分別平均多走了0.555 462 5mm、0.674 787 5mm、0.955 725 0mm,從而可得刀具在x,y,z3個方向上的補償效果分別為99.71%、99.60%、99.93%,由此可知補償是有效的。
本文對MOTOMAN UP50機器人進行了剛度分析及操作臂末端切削力的分析,建立了機器人的剛度模型和末端切削力模型,并根據(jù)其剛度模型和末端切削力模型建立了機器人的誤差補償模型,為誤差補償提供了新的思路。通過關節(jié)角補償實驗,驗證了該補償方法的可行性。
參考文獻:
[1] 陳玉山.6R 型工業(yè)機器人關節(jié)剛度辨識與實驗研究[D].武漢:華中科技大學,2011.
[2] 尼庫,富春.機器人學導論及應用[M].北京:電子工業(yè)出版社,2004.
[3] 張永貴,劉晨榮,劉 鵬.工業(yè)機器人剛度分析[J].機械設計與制造,2015(2):1-5.
[4] 張玄輝.工業(yè)機器人剛度的辨識方法與性能分析[D].武漢:華中科技大學,2009.
[5] JUDD R P,KNASINSKI A B.A technique to calibrate industrial robots with experimental verification[J].Robotics and Automation,IEEE Transactions on,1990,6(1):20-30.
[6] SUNADA W H,DUDOWSKY S.On the dynamic analysis and behavior of industrial robotic manipulators with elastic members[J].Journal of Mechanical Design,1983,105(1):42-51.
[7] 黃心漢.機器人剛度的測試方法[J].機器人,1988(3):45-50.
[8] 熊有倫.機器人技術基礎[M].武漢:華中科技大學出版社,1995.
[9] 張永貴,劉文洲,高金剛.6R工業(yè)機器人剛度模型及應用研究[J].農(nóng)業(yè)機械學報,2014(2):35-42.