張永貴，黃中秋

(蘭州理工大學機電工程學院，甘肅 蘭州 730050)

6R工業(yè)機器人是指6個關節(jié)均為旋轉(zhuǎn)關節(jié)的工業(yè)機器人。6自由度關節(jié)機器人在切削加工過程中系統(tǒng)剛度遠遠低于CNC系統(tǒng)的剛度[1]。機器人剛度是描述機器人在外作用力下抵抗變形的能力[2]。當機器人操作臂末端受到外力作用時會產(chǎn)生變形，從而造成切削加工中的誤差，而變形量與機器人的剛度和作用力的大小有關[3-4]。機器人的剛度包括伺服剛度和機械剛度，本文只討論由機械剛度引起的機器人操作末端的變形[5-6]問題。通過疊加機器人關節(jié)剛度和臂桿剛度在機器人操作臂末端引起的變形，建立對機器人關節(jié)角的補償模型，并通過對機器人關節(jié)角的補償，減少因機器人剛度問題所造成的機器人在切削加工中的誤差[7]。

1 機器人運動學模型

參照文獻[8]對MOTOMAN UP50機器人的研究結(jié)果，根據(jù)機器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)，運用D-H法建立機器人各連桿的附體坐標系，如圖1所示。各連桿的參數(shù)見表1。

表1 機器人運動學D-H參數(shù)值

圖1 機器人D-H坐標系

定義機器人不同位姿時,坐標系{i+1}與坐標系{i}的變換矩陣為:

Rot(xi+1,αi+1)Trans(xi+1,ai+1)

(1)

式中：oi為機器人第i個關節(jié)轉(zhuǎn)角；θi,di,αi,ai分別為機器人零位時的參數(shù)值。

(2)

2 不同坐標系間靜力的變換

設有一個作用在某個物體上的力F，它使物體發(fā)生假想的微分位移D，做出虛功δW。虛擬位移的極限趨向無窮小，所以系統(tǒng)的能量不變。力F所做的虛功為：

δW=FTD

(3)

式中：D為虛擬位移的微分運動矢量；F為力矢量，表示作用在該點的力和力矩。

用坐標系{c}來描述此物體上某個不同的點，有：

δW=FTD=cFTcD

(4)

根據(jù)文獻[8]第三章式(3.97)有：

cD=JD

(5)

從而有

FT=cFTJ

(6)

對式(6)稍加變換即可得：

cF=[JT]-1F

(7)

式中：J為雅可比矩陣。

式(7)即為各坐標系之間靜力的變換公式。

3 機器人剛度模型建立

3.1 機器人關節(jié)撓度在操作臂末端的映射

借用文獻[9]的方法可以得到機器人關節(jié)變形在機器人臂桿末端的撓度映射，即：

(8)

式中：kθ為關節(jié)剛度。

針對MOTOMAN UP50機器人，引用文獻[9]的公式求得其關節(jié)剛度kθ=diag(8.86×109,5.50×109,1.85×1010,3.30×108,2.10×109,8.81×109)N·mm/rad。在此，首先分析機器人在位姿q=[30 60 30 45 30 60]、末端載荷F=[100 150 50 0 0 0]時的末端變形，然后求得在只考慮關節(jié)變形時操作臂末端的撓度Δδθ(保留4位小數(shù))：

Δδθ=[-0.017 9 0.029 4 0.033 2 0.000 0 0.000 0 0.000 0]

(9)

3.2 機器人臂桿撓度在操作臂末端的映射

通過計算可得到機器人在操作臂末端受到F=[100 150 50 0 0 0]N的力時，臂桿1,2,3,4及臂桿6的撓度變形，見表2～表6。表中的γ為繞z軸的轉(zhuǎn)角，β為繞y軸的轉(zhuǎn)角，φ為繞x軸的轉(zhuǎn)角，Δl為在x軸方向的位移。

表2 臂桿1的撓度變形

表3 臂桿2的撓度變形

表4 臂桿3的撓度變形

表5 臂桿4的撓度變形

表6 臂桿6的撓度變形

因為臂桿5的剛度可以視為無限大，所以臂桿5在結(jié)構(gòu)中沒有撓度變形。根據(jù)各個臂桿的撓度變形可得臂桿變形在操作空間所產(chǎn)生的廣義撓度Δδl為：

Δδl=[ 0.042 5 0.020 4 -0.012 4 0.000 0 0.000 0 0.000 0]

(10)

3.3 機器人操作臂末端剛度

通過疊加操作末端的關節(jié)撓度和臂桿撓度從而得到機器人的總撓度，即：

Δδ=Δδθ+Δδ1

(11)

已知機器人操作臂末端的廣義力F和總撓度Δδ，則機器人總的空間剛度K為：

(12)

4 切削加工機器人操作臂末端位移誤差的計算

4.1 操作臂末端銑削力的計算

根據(jù)材料力學可知銑削力F的計算公式為：

(13)

式中：CFz為銑削力的切削系數(shù)；d0為銑刀直徑；ae為銑削深度；af為每齒進刀量；ap為銑削寬度；z為銑刀齒數(shù)；kFz為修正系數(shù)。

根據(jù)銑削條件取CFz=160，d0=8mm，ae=8mm，ap=5mm，af=0.2mm/齒，z=4，kFz=3.54，代入式(13)中可得F=2 551N。

從而可得到各銑削分力分別為：Fx=1 020.4N,Fy=2 040.8N,Fz=2 295.9N。

4.2 操作臂末端誤差的計算

將求出的各銑削分力代入式(12)即可計算出機器人末端誤差Δx為(保留四位小數(shù))：

(14)

5 機器人的關節(jié)角補償模型的建立

雅可比矩陣是一個多元函數(shù)的偏導矩陣，假如有一組變量為xj的方程Yi(其中i,j=1,2,…,6)為：

Yi=fi(x1,x2,…,xj)

(15)

由Yi的微分變化所引起的xj的微分變化為：

(16)

同樣，根據(jù)上述關系，對機器人的位置方程求微分，可以寫出以下方程：

Δx=JΔθi

(17)

因此在已知機器人末端誤差Δx時，可以根據(jù)式(17)來求關節(jié)補償量Δθi，即：

Δθi=J-1Δx

(18)

6 實驗驗證以及數(shù)據(jù)分析

6.1 試驗驗證

為了驗證所建立的關節(jié)角補償模型是否有效，從機器人示教器讀取機器人不同位姿時的關節(jié)位置和操作臂末端姿態(tài)。觀察點的位姿，如表7所示(由于篇幅限制，只列出8組數(shù)據(jù))。

表7 觀察點的關節(jié)位置和末端位置

根據(jù)表7中的關節(jié)角θi由式(17)、(18)可計算出各關節(jié)角的補償值Δθi，見表8。

表8 關節(jié)角補償值 rad

對關節(jié)角進行補償后得到的觀測點的數(shù)據(jù)見表9。

表9 關節(jié)角補償后觀察點的關節(jié)位置和末端位置

補償前與補償后觀察點末端位置變化見表10。

表10 末端位置變化

6.2 數(shù)據(jù)分析

由式(14)可知，由于機器人自身剛度的原因會造成機器人在切削加工中，其刀具在x,y,z3個方向上分別少走了0.557 1mm、0.677 5mm、0.955 1mm，因此產(chǎn)生了加工誤差。為了補償加工誤差，通過對機器人關節(jié)角進行補償來修正。而根據(jù)表10可知，補償關節(jié)角后，其刀具在x,y,z3個方向上分別平均多走了0.555 462 5mm、0.674 787 5mm、0.955 725 0mm，從而可得刀具在x,y,z3個方向上的補償效果分別為99.71%、99.60%、99.93%，由此可知補償是有效的。

7 結(jié)束語

本文對MOTOMAN UP50機器人進行了剛度分析及操作臂末端切削力的分析，建立了機器人的剛度模型和末端切削力模型，并根據(jù)其剛度模型和末端切削力模型建立了機器人的誤差補償模型，為誤差補償提供了新的思路。通過關節(jié)角補償實驗，驗證了該補償方法的可行性。

參考文獻：

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[4] 張玄輝.工業(yè)機器人剛度的辨識方法與性能分析[D].武漢:華中科技大學，2009.

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[6] SUNADA W H,DUDOWSKY S.On the dynamic analysis and behavior of industrial robotic manipulators with elastic members[J].Journal of Mechanical Design,1983,105(1):42-51.

[7] 黃心漢.機器人剛度的測試方法[J].機器人,1988(3)：45-50.

[8] 熊有倫.機器人技術基礎[M].武漢:華中科技大學出版社，1995.

[9] 張永貴，劉文洲，高金剛.6R工業(yè)機器人剛度模型及應用研究[J].農(nóng)業(yè)機械學報，2014(2):35-42.