姜益軍 姜珊 陶楠 楊?？? 何小元

摘要： 利用有限元法和電子散斑干涉技術研究了缺陷對矩形薄鋁板的振動模態(tài)的影響。通過數(shù)值模擬和實驗測量同時得到了1塊完整和4塊帶有缺陷大小與位置均不同的鋁板1～10階的振型圖；鋁板的邊界條件為長對邊自由，短對邊固支。結果表明：缺陷的存在對薄板結構的共振振型影響較大，而對共振頻率的影響較小。共振振型隨裂縫的大小、位置和方位的不同而有所變化。研究也表明，有限元計算出的模態(tài)形狀與實驗測量得到的結果一致性較好。關鍵詞： 振動測量； 模態(tài)振型； 含裂縫薄矩形板； 電子散斑干涉； 有限元法

中圖分類號： O329； TU33+9文獻標志碼： A文章編號： 10044523（2017）04056406

DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2017.04.006

引言

板殼、桿及梁等是機械制造等領域常用結構形式[12]，其受外界沖擊或振動激勵易引起變形，特別是當激勵頻率接近其共振頻率時，變形量達到最大值。其中，矩形薄板因是航空及汽車等工程設計中最為常見的結構類型之一，它的振動響應特性被廣泛地研究。

研究板存在裂縫缺陷時的振動行為具有重要的實用價值，目前有關含裂縫板的振動研究論文較為有限。裂縫的存在將影響板的靜態(tài)和動態(tài)力學行為，這是因為板的裂縫改變其局部的剛度，使得板的靜態(tài)撓曲和動態(tài)的固有頻率發(fā)生變化。在有限元方法出現(xiàn)之前，主要用數(shù)學物理方法研究帶缺陷板的振動特性。如文獻[3]研究有裂紋的矩形板振動時利用格林函數(shù)表示板的撓度，進而得到第一類齊次弗雷德霍姆積分方程；Stahl和Keer則利用雙級數(shù)方程研究矩形板的振動和穩(wěn)定性問題，最終轉化為一個解第二類齊次弗雷德霍姆積分方程[4]。隨著振動理論的不斷完善及有限元方法的發(fā)展，對于由各向同性的材料組成，即便是復雜的結構，有限元方法均能分析和研究其振動特性[57]。

振動特性測量的實驗方法有傳感器法[8]、激光多普勒法[910]、全息干涉法[11]和電子散斑干涉法等[1213]。傳感器法需要將傳感器直接粘貼在待測結構表面，容易改變結構局部的質量分布且只能測得離散的數(shù)據(jù)，從而影響實驗結果的精確性；激光多普勒法是非接觸測量，響應快、測量范圍大，不過它是通過快速逐點掃描進行測量，測試精度和速度依賴于測點數(shù)，且測試設備價格昂貴。時間平均的激光全息干涉和激光電子散斑干涉技術適合于薄板、殼的微米級振動變形測量，前者對于光路布置及系統(tǒng)隔振要求較為嚴苛，因此激光電子散斑干涉技術更有利于振動的測量與分析。全息干涉和電子散斑干涉得到的是穩(wěn)態(tài)振動狀態(tài)下位移等值線條紋圖，直觀地反映共振態(tài)的振型。

文獻[29，11]主要以單邊固支的懸臂板為研究對象，通過理論、有限元模擬及實驗方法研究缺陷對平板的振動模態(tài)、共振頻率的影響，為工程應用提供有益的參考。文獻[14]則是利用理論模擬和電子散斑干涉技術研究了無缺陷完整平板的單邊、對邊及周邊固支情況下的模態(tài)特性。本文采用有限元法和電子散斑干涉技術對4個含不同類型缺陷的對邊固支矩形薄鋁板振動特性進行研究；結果表明缺陷的位置對薄板結構的振型具有一定的影響。

1含缺陷薄板振動的數(shù)值分析

含缺陷薄板結構的控制方程為Md2u（t）dt2+Cdu（t）dt+Ku（t）=b（t）+f（u）

（M， C， K∈Rn×n； u， b， f ∈Rn）（1）式中u為位移矢量，M為質量矩陣，C為阻尼矩陣，K為剛度矩陣，b（t）為與時間有關的外力，f（u）為裂縫表面間斷接觸引起的非線性接觸力。利用有限元軟件ANSYS對鋁板結構進行數(shù)值模擬，為了便于建模，假定含缺陷鋁板結構為各向同性的線彈性材料，結構的形變無窮小，所以忽略了式（1）中非線性接觸力f（u）的影響。本文矩形鋁板結構有限元模型的物理及幾何參數(shù)為：彈性模量E = 70 GPa，泊松比ν= 0.33，密度ρ = 2700 kg/m3；試樣大小為180 mm×80 mm×0.9 mm，邊界約束條件為短對邊固支長對邊自由。有限元計算時選用SHELL 181單元，并將殼單元劃分為多個1 mm×1 mm× 0.9 mm的小單元進行計算。為了保證實驗時測試試樣尺寸與有限元模型一樣，考慮到約束邊界實際加工試樣尺寸為260 mm×80 mm×0.9 mm，具體試樣示意圖如圖1所示。

圖1線切割加工的（a）完整及（b）～（e）含預制邊緣、內(nèi)裂縫的薄鋁板示意圖

Fig.1Schematic of thin Aluminum plates （a） Intact and （b）～（e） with slits cut by EDM第4期姜益軍，等： 缺陷對薄板結構振動模態(tài)影響的數(shù)值與實驗分析振 動 工 程 學 報第30卷2激光電子散斑干涉振動測試技術

圖2是本文測量薄鋁板離面振動特性的系統(tǒng)示意圖。參考圖2的左半部分，根據(jù)干涉理論，t時刻兩束光干涉形成的散斑強度為[1415]

I（x，y，t）=Io+Ir+2IoIrcos[（x，y）+

φ（x，y，t）]（2）

式中Io，Ir分別為經(jīng)試樣漫反射的物光束與由漫反射面反射的參考光束的光強，（x， y）為試樣靜止時參考光與物光間的隨機相位差；φ（x， y， t）則與試樣振動引起的物光光程變化有關。對于純離面振動的情形，即面內(nèi)變形或位移為0，可知φ（x，y，t）=4πAcos（ωt）λ（3）式中Acos（ωt）為t時刻物面上點（x， y）處的離面位移，其中A表示離面振動的振幅，ω振動圓頻率，λ為激光波長。事實上，CCD相機采集一幅圖像需要一定的時間，因此計算機顯示的圖像實際上是CCD在成像周期內(nèi)對光強信息的積分。如果CCD在t與t+τ時間內(nèi)曝光進行光電轉換，則其輸出數(shù)字圖像的灰度為

g（x，y）=k∫t+τt[Io+Ir+2IoIrcos（（x，y）+

φ（x，y，t））]dt（4）

式中k為CCD光電轉化系數(shù)，τ表示曝光時間。假設相機曝光時間τ是試樣振動周期的整數(shù)倍（即τ=2nπ/ω，n為正整數(shù)），上式可進一步寫成

g（x，y）=2nkπω[Io+Ir+2IoIrJ0（m）·

cos（x，y）]（5）

式中J0（m）為如圖3所示的第一類零階Bessel函數(shù)，m=4πA/λ。假設振動過程中激振器激勵力的振幅微小波動，導致試樣振動的振幅從A改變成A+ΔA，則此時CCD在另一個曝光周期τ內(nèi)獲得圖像的灰度為

f（x，y）=k∫τ0[Io+Ir+2IoIrcos（（x，y）+

4π（A+ΔA）〖〗λcos（ωt）]dt（6）

令Δm=4πΔ/λ，式（6）可改寫成

f（x，y）=k∫τ0{Io+Ir+2IoIrcos[（（x，y）+

（m+Δm）cos（ωt）]}dt（7）

將cos[（m+Δm）cos（ωt）]在m處泰勒展開并忽略高級小量，式（7）簡寫成

f（x，y）=2nkπω[Io+Ir+2IoIr1-

（Δm）22J0（m）cos（x，y）]（8）

式（5）與式（8）相減并取絕對值得到振幅漲落電子散斑干涉條紋灰度表達式為[16]

G（x，y）=2πnkω（Δm）2IoIr|J0（m）cos（x，y）|（9）

圖2離面振動測試系統(tǒng)示意圖

Fig.2The setup for outofplane vibration testing

圖3零階Bessel函數(shù)

Fig.3First kind zeroorder Bessel function3有限元及實驗結果

圖2所示的測量系統(tǒng)中，激光器產(chǎn)生波長為532 nm綠色的相干光，功率0～50 mW連續(xù)可調(diào)；CCD為德國IDS公司的1280×1024像素可編程控制的相機；信號發(fā)生器可產(chǎn)生0～20000 Hz正弦波，信號發(fā)生器、功放器及激振器均為江蘇聯(lián)能公司制造。

試樣由貼在其后表面薄壓電陶瓷激勵，陶瓷直徑10 mm，厚0.4 mm。為了對比，圖4給出有限元法模擬計算及實驗測量獲得的圖1（a）所示的無缺陷完整、長對邊固支短對邊自由的薄鋁板試樣1的離面1～10階振型云圖和散斑干涉條紋圖。

由圖3及式（9）知圖4（A）～（J）散斑干涉條紋圖中最亮的條紋對應于振動節(jié)線（駐點線）。由于鋁板固支部分無法達到完全剛性夾持，導致對應于圖4（B）與圖4（F）的一階純扭及二階純扭的節(jié)線位置與有限元計算結果有一定偏差。

圖5是模擬與測量得到的圖1（b）所示試樣2的1～10階振型圖。計算模型和測試試樣中預制邊緣裂縫距下固定邊90 mm處，縫寬1 mm，長32 mm。由圖5（a）～（c），（e）與（f）可以看出，對于居中對稱的邊緣裂縫，其對純彎及純扭振動的振型影響很?。坏珜澟そM合振動的振型影響較大。

模擬與測量得到的圖1（c）所示試樣1～10階振型圖如圖6所示。計算模型和測試試樣中預制邊緣裂縫距下固定邊115 mm處，縫寬1 mm，長30 mm。由圖6（a）～（b）看出，對于非居中的邊緣裂縫，除了對一階純彎及一階純扭振動的振型影響較小外；對其他高階的彎、扭及彎扭組合振動的振型影響都較大。

圖7是對應于圖1（d）所示試樣的1～10階振型圖。該試樣中距下固定邊60 mm處有一與其平行的預制內(nèi)部裂縫，裂縫長50 mm，寬1 mm。圖7（a）～（d）、圖7（A）～（D）以及圖7（f）～（g）表明，該內(nèi)部裂縫對低階彎、扭及彎扭振動的振型影響不大。

含內(nèi)部斜裂縫的薄鋁板1～10階振動振型圖如圖8所示。該試樣的裂縫以對稱軸上點為中心對稱，長50 mm，寬1 mm，與對稱軸成60°。模擬與實驗結果表明，該斜裂縫僅對前4階振型影響較小。圖8（H）和圖8（I）的8，9階振型，與圖8（h）和圖8（i）有限元模擬得到振型位次互換，即出現(xiàn)了模態(tài)的躍遷。

表1為實驗中5個試樣1～10階共振頻率的測量和有限元模擬的結果。

4討論與結論

由于實驗中試樣夾持邊界條件不是理想的固支約束，導致測得純彎模態(tài)，特別是一階純彎的共振頻率與有限元模擬值相差較大（參見表1）。

模擬和實驗結果表明，缺陷對薄板各階的模態(tài)和共振頻率都會產(chǎn)生影響，缺陷位置的不同對振型影響也不同，缺陷對共振頻率的影響相對較小。對比圖5（f），（F）及圖6（g），（G）可知，缺陷的存在除了上述影響外，缺陷位置和大小的不同有可能導致薄板振動模態(tài)的躍遷現(xiàn)象產(chǎn)生，這在文獻[6]有限元圖4完整薄鋁板1～10階離面振動振型： （a）～（j）有限元計算；（A）～（J）實驗測試結果

Fig.4Mode shapes of first 10 resonant mode of CFCF Aluminunm plate from： （a）～（j） FEM simulation and （A）～（J） experiment measurement， respectively圖5（a）～（j）和（A）～（J）分別對應于含邊緣居中裂縫薄板1～10階離面振動振型的模擬和實驗結果

Fig.5Mode shapes of first 10 resonant mode of Aluminunm plate with central edge slit results from （a）～（j） FEM and （A）～（J） experiment methods， respectively圖6（a）～（j）和（A）～（J）分別為含邊緣非居中裂縫薄板1～10階離面振動振型的模擬和實驗結果

Fig.6Mode shapes of first 10 resonant mode of Aluminunm plate with noncentral edge slit results from （a）～（j） FEM and （A）～（J） experiment methods， respectively圖7含內(nèi)部裂縫薄板1～10階離面振動振型圖：（a）～（j）為計算值；（A）～（J）對應于實驗測量值

Fig.7Mode shapes of first 10 resonant mode of Aluminunm plate with inner horizontal slit results from （a）～（j） FEM and （A）～（J） experiment methods， respectively圖8內(nèi)部斜裂縫薄板1～10階離面振動振型圖：（a）～（j）為計算值；（A）～（J）對應于實驗測量值

Fig.8Mode shapes of first 10 resonant mode of Aluminunm plate with inner skewed slit results from （a）～（j） FEM and （A）～（J） experiment methods， respectively

表1測試試樣的1～10階共振頻率 （Hz）

Tab.1First 10 resonant frequencies （Hz） of the tested specimens from FEM and experimental methods，

respectively

階數(shù)試樣1試樣2試樣3試樣4試樣5計算值實驗值計算值實驗值計算值實驗值計算值實驗值計算值實驗值1149.77120141.18121142.81118144.96110146.481062260.21224.8256.29227246.61214.9259.46〖〗233.8256.59242.13413.04356.4381.54307379.18327.9377.25321.8390.87330.24587.15532507.63453.6531.89473.5582.37523.7583.685265812.34720744.44680674.63611.2778.08686.8777.15674.36904.85877.9903.73900.7880.18766.2879.19872.2855.67809.271018.8939.4962.83936910.58840.21013.6913.8998.6490481241.51147976.99986.51195.41016.71194.61091.31183.4103591346.712211266.012601235.512141225.71191.31254.91108101570.914071433.712931409.81268.81527.313171512.8〖〗1309分析含缺陷懸臂薄板振動時也有類似現(xiàn)象。從彈性力學及振動理論觀點來說，薄板的局部損傷導致結構局部剛度產(chǎn)生變化，引起非線性響應導致模態(tài)躍遷。本文研究表明，在一定假設前提下，有限元模擬計算的結果必然與實驗的結果有一定的差異。因此，在計算機模擬的基礎上開展實驗研究是很有必要的。

參考文獻：

[1]Dimarogonas A D. Vibration of cracked structures： a state of the art review[J]. Engineering Fracture Mechanics， 1996，55（5）：831—857.

[2]Qiu Z C， Wu H X， Ye C D. Acceleration sensors based modal identification and active vibration control of flexible smart cantilever plate[J]. Aerospace Science and Technology， 2009，13（6）：277—290.

[3]Lynn P P， Kumbasar N. Free vibration of thin rectangular plates having narrow cracks with simply supported edges[C]. Proceedings of 10th Midwestern Mechanics Conference， 1967：911—928.

[4]Stahl B， Keer L M. Vibration and stability of cracked rectangular plates[J]. International Journal of Solids and Structures， 1972，8，69—91.

[5]Wu G Y， Shih Y S. Dynamic instability of rectangular plate with an edge crack[J]. Computers and Structures， 2005，84：1—10.

[6]Saito A， Castanier M P， Pierre C. Estimation and veering analysis of nonlinear resonant frequencies of cracked plates[J]. Journal of Sound and Vibration， 2009，326：725—739.

[7]Huang C S， Leissa A W， Li R S. Accurate vibration analysis of thick， cracked rectangular plates[J]. Journal of Sound and Vibration， 2011，330：2079—2093.

[8]Yang Z B， Chen X F， Yu J， et al. A damage identification approach for plate structures based on frequency measurements[J]. Nondestructive Testing and Evaluation， 2013，28（4）：321—341.

[9]Sundaresan M J， Ghoshal A， Li J， et al. Experimental damage detection on a wing panel using vibration deflection shapes[J]. Structural Health Monitoring， 2003，2（3）：243—256.

[10]Qiao P Z， Lu K， Lestari W， et al. Curvature mode shapebased damage detection in composite laminated plates[J]. Composite Structures， 2007，80：409—428.

[11]Maruyama K， Ichinomiya O. Experimental study of free vibration of clamped rectangular plates with straight narrow slits[J]. JSME Int. J. Ser. III， 1989，32：187—193.

[12]Ma C C， Huang C H. Experimental and numerical analysis of vibrating cracked plates at resonant frequencies[J]. Experimental Mechanics， 2001，41（1）：8—18.

[13]季業(yè).電子散斑干涉測量技術在薄板結構模態(tài)分析中的研究[D].天津：天津大學，2012.

Ji Ye. The study on model analysis of thin plate based on Electronic Speckle Pattern Interferometry[D]. Tianjin： Tianjin University， 2012.

[14]Butters J N， Leendertz J A. Speckle pattern and holographic techniques in engineering metrology[J]. Optics and Laser Technology， 1971，3（1）：26—30.

[15]Creath K. Slettemoen G A. Vibration observation techniques for digital specklepattern interferometry[J]. Journal of the Optical Society of America A， 1985，2（10）：1629—1636.

[16]Wang W C， Hwang C H， Lin S Y. Vibration measurement by the timeaveraged electronic speckle pattern interferometry methods[J]. Applied Optics， 1996，35（22）：4502—4509.Investigation on vibration characteristics of thin plates with

defect by numerical and experimental methodsJIANG Yijun， JIANG Shan， TAO Nan， YANG Fujun， HE Xiaoyuan

（Department of Engineering Mechanics， Southeast University， Nanjing 210096， China）Abstract： Vibration characteristics of thin rectangular plates with slit are studied by use of finite element method （FEM） and electronic speckle pattern interferometry （ESPI）. The first ten outofplane resonant mode shapes of an intact plate and four plates with slit were obtained by numerical and experimental methods， respectively. The supported conditions of all five rectangular plates were one opposite edges clamped and the other opposite edges free （CFCF）. The results show that resonant mode shapes are changed with slit or crack′s size， location and orientation. From the results of FEM， it can be seen that the resonant frequencies of cracked plates are lower than those of intact one. In addition， it should be noted that mode shapes based on FEM are good agreement with those obtained by experimental measurement.Key words： vibration measurement； mode shape； thin rectangular plates with slit； electronic speckle pattern interferometry； FEM作者簡介： 姜益軍（1970—），男， 碩士， 講師。電話： （025）83793384； Email： yj_jiang@126.com