孔 健

（合肥幼兒師范高等?？茖W(xué)校 學(xué)前教育系，安徽 合肥230011）

關(guān)于振動的學(xué)習(xí)一直是高校物理課程重要內(nèi)容.在教學(xué)中主要討論的是最簡單的振動——簡諧運動，求解振動的運動方程，并幫助學(xué)生了解振動的規(guī)律.但是在實際生活中遇到的振動，大多數(shù)都是非常復(fù)雜的，要考慮的因素很多，其運動方程也不像簡諧運動那樣容易的求解出來.受迫振動就屬于這類復(fù)雜運動.在受迫振動中，由于振動體不斷的受到外界力的作用，本身的振動性質(zhì)將被改變，甚至產(chǎn)生共振，并且不同的因素會對受迫振動產(chǎn)生不同的影響.

隨著計算機的普及運用，對于一些復(fù)雜物理問題的數(shù)值模擬變得越來越簡單.通過計算機語言和一些繪圖軟件，可以很輕松的繪制出物體運動的軌跡以及各個物理量的變換曲線，更加直觀的展現(xiàn)出物體的運動規(guī)律.通過模擬和繪圖，可以跳過解析求解復(fù)雜的運動方程，幫助學(xué)生更加直觀方便的去理解一些物理問題.

受迫振動的牛頓運動方程實際上是二階常微分方程.在已知初始條件的情況下，數(shù)值計算就是解微分方程的初值問題，有很多方法都可以對其進行求解［1］.在此，為了幫助學(xué)生更加全面了解受迫振動的運動演變過程，以豎直放置的彈簧振子為例，采用數(shù)值計算的方法，從牛頓第二定律出發(fā)，不做任何近似，直接對運動方程進行數(shù)值求解和模擬，從而對受迫振動的運動過程進行全面的展示和研究.

1 運動方程的數(shù)值求解

假設(shè)豎直懸掛的勁度系數(shù)為k的輕彈簧下面連著一個質(zhì)量為m的小球，構(gòu)成彈簧振子，小球除受到重力、彈力和空氣阻力以外，還受到一個頻率為ω的簡諧振動的外界驅(qū)動力f.在大學(xué)物理的計算中，當運動物體的速度不太大的情況下，所受的空氣阻力經(jīng)常簡化為F=-βv，式中β為常數(shù)［2］.因此，在模擬中，假設(shè)空氣阻力與小球運動的速率成正比，比例系數(shù)是β.小球靜止時，彈簧的伸長量為l，以此時小球的位置作為坐標原點，豎直向下建立坐標系.忽略彈簧的質(zhì)量，根據(jù)牛頓第二運動定律，小球的運動方程可以寫為：

利用降階法［3-4］，令：

將上述二階常微分方程變成一階常微分方程組.

在數(shù)值計算方法中，四階Runge-Kutta［1-2］是一種公認較為精確的方法，它可以用來求解一階的常微分方程以及一階常微分方程組.在此采用四階Runge-Kutta方法，利用計算機語言Fortran 95進行編程［5］，數(shù)值求解方程組（2），從而得到位移x以及速度dx/dt，數(shù)值計算與解析結(jié)果見圖1.

圖1 四階Runge-Kutta數(shù)值計算 (實線)與解析結(jié)果(虛線)

2 計算結(jié)果的模擬與討論

首先計算了在無阻力，無驅(qū)動力的情況下小球的運動.假設(shè)t=0時，小球離開平衡位置一定的初始位移，初始的速度為零.為簡單起見，令m=1 kg,k=1.由圖1可見，此時小球的運動為周期性的簡諧運動.此時將方程（1）可以簡化成：

方程（3）可以非常簡單的精確求解的，其通解為：

帶入初始條件計算出振幅A和初相φ，得到的結(jié)果與數(shù)值模擬的結(jié)果是一致的，這也說明的數(shù)值模擬方法是正確且合適的.此外由公式（4）可知，小球作簡諧運動的固有頻率：這與大學(xué)物理教學(xué)中的分析是一致的［2］.

然后加入阻力的作用，如圖2(a)所示，在不同的阻力作用下，小球振動的位移隨時間會逐漸減小，最后靜止下來.阻力的作用是對小球原有簡諧運動的耗散.阻力系數(shù)越大，小球的運動損耗得越快，會更加迅速的達到靜止.分別以小球的位移和速度作為橫坐標和縱坐標，得到小球運動過程中的相圖（圖2(b)）.可見，不論彈簧振子的初始狀態(tài)如何，在阻力的作用下，小球運動的相軌跡最終都會歸為原點，也就是靜止在平衡位置.

圖2 小球的位移曲線和運動相圖（驅(qū)動力為零，β=0.5）

加入周期性驅(qū)動力的作用.此時，小球的運動實質(zhì)上是阻尼振動與外驅(qū)動力振動兩個運動的合成.在阻力和驅(qū)動力的雙重作用下，小球原本在固有頻率下的簡諧運動會被打亂，變得復(fù)雜.在圖3(a)中，設(shè)置外界驅(qū)動力 f=±0.8 N，阻力系數(shù)β=0.5.在外界驅(qū)動力與阻力的大小相差不多的情況下，經(jīng)過一段很短時間的調(diào)整，驅(qū)動力不斷對小球做功，給振動體傳遞能量，最后振動的步調(diào)趨于穩(wěn)定.同樣的現(xiàn)象在圖3（b）的相圖中顯示得更加明顯.不論小球初始的位移和速度是多少，最后小球振動的相軌跡都將歸于一個橢圓，即為極限環(huán).這說明小球最終的受迫振動是能量不變、頻率不變的穩(wěn)定運動.

圖3 小球的位移曲線和運動相圖（驅(qū)動力f=±0.8 N，β=0.5）

在驅(qū)動力不變的情況下，逐步減小阻力系數(shù)，觀察受迫振動的變化.為了更加清晰的討論小球的運動位移隨時間的變化，分不同的時間段進行了展示.圖4(a)中是前200 s內(nèi)小球的運動曲線.可見隨著阻力的減小，彈簧振子固有頻率下的簡諧運動與驅(qū)動力的相互協(xié)調(diào)的過程將變長.在β=0.02的情況下，即使到了200 s，系統(tǒng)仍未達到穩(wěn)定振動.在這個運動體系里，小球固有頻率和驅(qū)動力的頻率在振動的過程中是相互競爭的關(guān)系.而阻力的作用實際上是使得小球原本在固有頻率下的簡諧運動不斷的耗散殆盡最后消失，隨后轉(zhuǎn)變成由驅(qū)動力控制下的振動.因而，阻力越小，耗散的過程越慢，最后達到穩(wěn)定的時間就越長.在圖4(b)中，隨著時間的延長，在450～500 s的時候，三種阻力系數(shù)下的受迫振動都達到了穩(wěn)定.比較發(fā)現(xiàn)，阻力的減小可以延長受迫振動自我調(diào)整的時間，但是對最后的穩(wěn)定振動的影響并不大.隨著阻力系數(shù)從0.5減小到0.02，小球達到穩(wěn)定時，振動的振幅稍稍增強.在小球達到由驅(qū)動力控制的穩(wěn)定振動后，阻力小，能量損失就大，因而振幅會增大.但這種通過阻力系數(shù)的調(diào)節(jié)并不顯著.

圖4 小球位移隨時間變化曲線（驅(qū)動力f=±0.8 N，阻力系數(shù)取不同的值）

與阻力的影響不同的是，在外界驅(qū)動力和阻力都不變的情況下，最后的穩(wěn)定振動的振幅是與驅(qū)動力的頻率有很大關(guān)系.由公式（5）可知，在所研究的系統(tǒng)中，小球的固有頻率為1.當驅(qū)動力的頻率與小球的固有頻率相差很大時，小球最終的穩(wěn)定振動的振幅并不大.改變驅(qū)動力的頻率，當外界驅(qū)動力的頻率越靠近小球振動的固有頻率時，趨于穩(wěn)定振動的振幅就會越大.圖5展示了阻力系數(shù)不變，在不同頻率的驅(qū)動力的影響下，彈簧振子的受迫運動.可見，隨著驅(qū)動力的頻率逐漸靠近彈簧振子的固有頻率，穩(wěn)定運動的振幅會迅速增大.在極限情況下，當驅(qū)動力的頻率與固有頻率相等時，振幅達到最大，即為日常所說的共振現(xiàn)象.可見頻率是影響最終振幅的關(guān)鍵因素.當然如果保持驅(qū)動力的頻率不變，而增大驅(qū)動力f=±2.0 N，同樣也可以使得最后穩(wěn)定振動的振幅增大（圖6），但是調(diào)節(jié)的效果沒有頻率顯著，振幅也不會像發(fā)生共振的時候增大得的那么明顯.

圖5 驅(qū)動力頻率取不同值情況下，彈簧振子的運動曲線（驅(qū)動力f=±0.8 N，β=0.02）

最后改變了彈簧振子的勁度系數(shù)，使其增加大到10.此時彈簧振子的固有參數(shù)變成了保持f=0.8 N,β=0.02，ω=1.5不變，模擬出的小球的位移隨時間的變化如圖7所示.彈簧振子勁度系數(shù)變大增強了固有頻率下的簡諧振動，使之更有能力與驅(qū)動力以及阻力抗衡.因而整個受迫振動在達到穩(wěn)定狀態(tài)之前，相互協(xié)調(diào)的過程就會被延長，變得更加明顯.

圖6 彈簧振子的運動位移隨時間的變化曲線（f=±2.0 N，β=0.02，ω=1.5）

3 總結(jié)

研究發(fā)現(xiàn)通過數(shù)值求解運動方程的方式，利用繪圖軟件可以清晰的展示以彈簧振子為研究對象的受迫振動中振子的位移隨時間的變化曲線以及相軌跡.計算結(jié)果表明受迫振動是一種很復(fù)雜的運動，涉及到彈簧振子在固有頻率、驅(qū)動力以及阻力三者之間的相互協(xié)調(diào).但不論參數(shù)如何變化，彈簧振子最后的運動都會趨于一個較為穩(wěn)定的周期性振動.周期性驅(qū)動力的頻率是影響最后穩(wěn)定振動振幅的關(guān)鍵性因素.當驅(qū)動力的頻率與彈簧振子的固有頻率相等時，受迫振動的振幅將被大幅度增加，即發(fā)生了共振現(xiàn)象.此外阻力系數(shù)的減小和驅(qū)動力振幅的增大都會在一定程度上增大受迫振動的振幅，并且會非常明顯的延長受迫振動趨于穩(wěn)定的過程.最后，彈簧勁度系數(shù)的提高會增強彈簧振子原本固有頻率下的振動的能量，因而在趨于穩(wěn)定運動之前會經(jīng)歷更加復(fù)雜及漫長的自我調(diào)整的過程.

圖7 彈簧振子的運動位移隨時間的變化曲線（f=±2.0 N，β=0.02，ω=1.5，k=1）

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