劉思武

一、理清脈絡(luò)，把握整體

不少同學(xué)在學(xué)習(xí)“平行四邊形”這一章時(shí)，很容易將概念混淆.其原因主要是同學(xué)們對(duì)這些特殊四邊形之間的關(guān)系不清楚，圖1-圖3能夠?yàn)槟銓W(xué)習(xí)“平行四邊形”帶來(lái)一些啟示.

這一章可以這樣來(lái)總結(jié)：一個(gè)方法（看圖說(shuō)話），兩個(gè)應(yīng)用（判定和性質(zhì)），三種關(guān)系（邊、角、對(duì)角線三種關(guān)系），四個(gè)基本圖形（平行四邊形、矩形、菱形、正方形）.我們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)可以簡(jiǎn)單將其記憶成“1234”.

圖1

圖2

圖3

二、掌握方法，順利解題

【例1】對(duì)于任意一個(gè)四邊形，取各邊中點(diǎn)并依次連接，所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形，那么中點(diǎn)四邊形有什么特殊性質(zhì)呢？

【分析】此題無(wú)圖，我們回到前面提到的“1234”，構(gòu)造滿足條件的圖形.如圖4所示，點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點(diǎn).由中位線定理，知道EF=HG=AC，EH=FG=BD，且EF//HG，EH//FG，從而證明出四邊形EFGH為平行四邊形.

【變式1】如圖5，在四邊形ABCD中，當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH是什么特殊四邊形？

圖4

圖5

圖7

圖6

【變式2】如圖6，在四邊形ABCD中，當(dāng)AC=BD時(shí)，四邊形EFGH是什么特殊四邊形？

【變式3】如圖7，當(dāng)AC⊥BD且AC=BD時(shí)，四邊形EFGH是什么特殊四邊形？

【分析】利用中位線定理以及矩形、菱形、正方形的判定就可以得出四邊形EFGH依次是矩形、菱形、正方形.仔細(xì)思考后我們可以發(fā)現(xiàn)中點(diǎn)四邊形的形狀取決于其所在四邊形的對(duì)角線的關(guān)系.

【思考】根據(jù)上面的討論，你能說(shuō)說(shuō)矩形、菱形、正方形的中點(diǎn)四邊形是什么特殊四邊形嗎？如圖8、圖9、圖10所示.

圖8

圖9

【例2】如圖11，BD是矩形ABCD的對(duì)角線，∠ABD=30°，AD=1.將△BCD沿射線BD方向平移到△B′C′D′的位置，使B′為BD中點(diǎn)，連接AB′，C′D，AD′，BC′，如圖12.

（1）求證：四邊形AB′C′D是菱形；

（2）四邊形ABC′D′的周長(zhǎng)為 ；

（3）將四邊形 ABC′D′沿它的兩條對(duì)角線剪開(kāi)，用得到的四個(gè)三角形拼成與其面積相等的矩形，直接寫(xiě)出所有可能拼成的矩形周長(zhǎng).

【分析】大家要學(xué)會(huì)認(rèn)真審題、仔細(xì)讀圖，養(yǎng)成在圖中標(biāo)出條件的習(xí)慣.

圖11

圖12

圖13

圖14

（1）如圖13，矩形有90°的角，加上30°的角，特殊的直角三角形就出現(xiàn)了.此時(shí)同學(xué)們應(yīng)該很快想到三邊的比值為1∶ 3∶2，所以得到BD=2，再由直角三角形斜邊中線性質(zhì)得到 AB′=BB′=B′D=1，結(jié)合平移以及斜邊中線性質(zhì)即可得到四邊形AB′C′D的四邊相等.菱形得證.

（2）這道題可以通過(guò)全等三角形證明出四邊形ABC′D′為菱形，或者通過(guò)證明直角三角形得出各邊的長(zhǎng)度.但是由于上題已經(jīng)得到菱形AB′C′D，為何不用菱形的性質(zhì)呢？如圖14，連接AC′（將隱藏條件顯現(xiàn)出來(lái)），則有AC′與B′D互相垂直平分，進(jìn)一步能得到AC′與BD′互相垂直平分，得菱形ABC′D′，其周長(zhǎng)為43.

（3）圖形太多，同學(xué)們要學(xué)會(huì)口算出邊長(zhǎng)，并標(biāo)記在圖中，如圖15，這樣就很容易想出解決問(wèn)題的辦法了.拼成的矩形如圖16、圖17所示.

圖15

圖16

圖17

學(xué)習(xí)本章主要是熟知四個(gè)特殊四邊形的判定以及性質(zhì)，其中以平行四邊形為主，因?yàn)榛氐綀D1、圖2、圖3，可以知道將平行四邊形特殊化就可以得到另外三個(gè)特殊四邊形，所以平行四邊形是其他三個(gè)特殊四邊形的“根”，是“源”，這和戰(zhàn)爭(zhēng)中提到的“擒賊先擒王”是一個(gè)道理.下面有6個(gè)命題，同學(xué)們可以通過(guò)判斷真?zhèn)?，加深?duì)“平行四邊形”的理解.

【例3】仔細(xì)看下面的命題，并判斷真假.如果是真命題，請(qǐng)畫(huà)出圖形給予證明；如果是假命題，請(qǐng)畫(huà)出反例的圖形：

①一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形；

②一組對(duì)角相等，一組對(duì)角線平分另一組對(duì)角線的四邊形是平行四邊形；

③一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形；

④一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角線平分另一組對(duì)角線的四邊形是平行四邊形；

⑤一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形；

⑥一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角線平分另一組對(duì)角線的四邊形是平行四邊形.

【分析】推翻假命題的最好辦法就是舉出反例，而對(duì)于幾何命題，可以回歸圖形、定義和性質(zhì).回到前面提到的“1234”，畫(huà)出圖形就會(huì)更加直觀.對(duì)于命題①，容易想到反例——等腰梯形；對(duì)于命題②，可以舉出反例——箏形，如圖18所示，AC平分BD，∠ABC=∠ADC；對(duì)于命題③，如圖19所示，將?ABCE中的△AEC旋轉(zhuǎn)至△ADF（使D、F、C共線），再連接CD，得到四邊形ABCD，滿足AD=BC，∠B=∠D，顯然四邊形ABCD不是平行四邊形；對(duì)于命題④，可以畫(huà)出如圖20的反例，即四邊形ABCD.命題⑤、⑥都可以通過(guò)全等三角形證明為真命題.

圖18

圖19

圖20

我們總是習(xí)慣從正面去認(rèn)識(shí)事物，但有時(shí)換一個(gè)角度，從反面去觀察不失為加深對(duì)其認(rèn)知的好方法.上面4個(gè)假命題就是很好的例子，因?yàn)樵跇?gòu)造反例圖形時(shí)利用了平行四邊形，反而更加容易入手了.

我們?cè)趯W(xué)習(xí)知識(shí)時(shí)都是從特殊到一般再到特殊，而學(xué)習(xí)“平行四邊形”這一章節(jié)卻是從一般到特殊，在平行四邊形的基礎(chǔ)上添加條件，由此我相信同學(xué)們應(yīng)該找到本章的“源頭”了.所以，學(xué)習(xí)知識(shí)的方法也不是一成不變的，有共性的同時(shí)也有特性.學(xué)會(huì)思考，學(xué)習(xí)整理，學(xué)會(huì)反思，相信你在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的道路上會(huì)越來(lái)越順利.