，，

(1.武漢科技大學 冶金自動化與檢測技術教育部工程研究中心，武漢 430081;2.華中港航物流集團有限公司，武漢 430021)

0 引言

隨著計算機技術和人工智能研究的發(fā)展，多智能體系統(tǒng)的研究已經成為了當今計算機領域研究的一個熱點，是分布式人工智能研究的一個重要分支，其目標是將大的復雜系統(tǒng)建造成小的、彼此相互通訊及協(xié)調的、易于管理的系統(tǒng)。近些年來，多智能體系統(tǒng)受到了學者們廣泛的關注和大量的研究，由于它在一些領域里的應用，例如機器人協(xié)作的控制[1]、無人機編隊飛行的控制[2]、傳感器網(wǎng)絡[3]等。大多數(shù)情況下，學者們都會假設多智能體系統(tǒng)中的每個單元都是正常工作的，沒有發(fā)生故障，但是實際運行過程中，由于環(huán)境變化等因素，執(zhí)行器或者傳感器發(fā)生故障是個大概率事件，所以考慮故障是很有必要的，因此多智能體系統(tǒng)中的故障檢測和估計成為了學者們研究的熱點問題。在文獻[4]中，針對一類受到未知干擾的非線性多智能體系統(tǒng)，首先設計了每個智能體系統(tǒng)的未知輸入非線性觀測器，然后基于觀測器的狀態(tài)估計信息，設計了魯棒一致性控制協(xié)議，考慮智能體出現(xiàn)故障的情況，提出了分布式故障檢測算法。在文獻[5]中，針對一類非線性大規(guī)模系統(tǒng)，提出了一種基于滑模觀測器的魯棒分散式執(zhí)行器故障檢測與估計方法。在文獻[6]中，針對一類存在未知非線性的多智能體系統(tǒng)，研究具有執(zhí)行器故障的“領導-跟隨”協(xié)同控制問題，提出了分布式模糊容錯協(xié)同控制器的設計方案。

在文獻[7]中，研究了線性時不變多智能體系統(tǒng)混合H-/H∞故障檢測濾波器設計問題，利用他們的方法，不僅可以檢測出自己的故障，也可以檢測到鄰近智能體的故障。在文獻[8]中，針對一類具有馬爾可夫傳遞時滯的非線性網(wǎng)絡控制系統(tǒng)，提出了一種基于滑模觀測器的故障估計方法。以上文獻都研究多智能體故障檢測與估計問題，在全頻域內設計了故障檢測和估計觀測器，這具有較強的保守性。需要指出的是，系統(tǒng)的外界擾動頻率很多情況下都是處于有限頻域內，因此，為了滿足特定性能指標，在有限頻域內設計更少保守性的故障估計觀測器具有重要的研究意義。由于外界環(huán)境的變化，系統(tǒng)運行時間的延長等因素，系統(tǒng)的某些參數(shù)可能會在一定范圍內發(fā)生變化，因此為了使所設計的觀測器能更好的滿足實際情況，考慮參數(shù)變化具有重要的實際意義。

基于以上分析，本文在有限頻域內，針對線性變參數(shù)多智能體系統(tǒng)設計故障估計觀測器并進行了仿真分析，驗證了算法的有效性。本文結構如下，第二部分是系統(tǒng)的描述和問題的公式化；第三部分是故障估計觀測器的設計和證明過程；第四部分是數(shù)值仿真與分析；第五部分是文章的總結。

1 系統(tǒng)的描述和問題的公式化

考慮具有N個節(jié)點的線性變參數(shù)多智能體系統(tǒng)，其中每個獨立節(jié)點的動力學方程表示如下：

(1)

假設每個智能體的不確定性系統(tǒng)矩陣可以表示為若干個頂點矩陣的凸組合，即:

M(p(t))=[A(P(t)),Bu(p(t)),Bd(p(t)),Bf(p(t)),

通過通訊網(wǎng)絡，每個智能體都能探測到附近智能體的信息，因此可以假設每個智能體都具有絕對可測輸出vi(t)和相對可測輸出wi(t)，j∈Ni表示智能體j的鄰接智能體為Ni，則:

拉普拉斯矩陣L∈RN×N的定義如下:

Lii=|Nri|

(2)

|Nri|表示第i個節(jié)點的度，L是半正定的非滿秩矩陣，最小的特征值是0。

則第i個獨立節(jié)點的動力學模型如下所示，

yi(t)=vi(t)+wi(t)=Cxi(t)+Dddi(t)+Dffi(t)+

(3)

其中:i=1,2,.....N.

通過聯(lián)立公式(2)和(3)，可以得到多智能體系統(tǒng)的動力學等式如下，

?A(p(t)))x(t)+(IN?Bu(p(t)))u(t)+

(IN?Bd(p(t)))d(t)+(IN?Bf(p(t)))f(t)y(t)=

((L+IN)?C)x(t)+((L+IN)?Dd)d(t)+

((L+IN)?Df)f(t)

(4)

其中:

x(t)=[x1(t),....,xN(t)]T

y(t)=[y1(t),.....,yN(t)]T

u(t)=[u1(t),....,uN(t)]T

f(t)=[f1(t),...fN(t)]T

d(t)=[d1(t),...dN(t)]T

為了方便描述算法，給出相關引理。

引理2：假設(1)中每個智能體的系統(tǒng)∑(A,C)都是狀態(tài)完全可觀測的，則(4)中系統(tǒng)∑(IN?A,(L+IN)?C)也是狀態(tài)可觀測的。

證明：由PBH判據(jù)可知，對于所有的s∈ψ，ψ為矩陣A的特征值的集合，如果所有的s都能使φ(s)為滿秩，則系統(tǒng)∑(IN?A,(L+IN)?C)是可觀測的，

(5)

由引理1可知L+IN是正定矩陣，對其進行特征值分解可以得到L+IN=VΛVT，其中V∈RN×N為特征向量，Λ=diag(λ1,...λN)∈RN×N為特征值，且都為實數(shù)，定義以下正交矩陣，

?In]

若Tlφ(s)Tr滿秩，當且僅當對于所有的s∈ψ，φ(s)也是滿秩。因為VTV=IN，則VT(L+IN)V=Λ，所以可以得到:

?In]=

(6)

因為∑(C,A)是可觀測的，則[CT,(sI-A)T]T是滿秩的，且λi,i=1,...,N為正值，所以:

所以∑(IN?A,(L+IN)?C)是狀態(tài)可觀測的。

多智能體系統(tǒng)的故障估計觀測器設計問題是非常復雜的，特別是當智能體個數(shù)很大的時候，所以為了研究的方便性，需要對多智能體系統(tǒng)進行解耦，下面是解耦的具體過程。

定義一個狀態(tài)變換x→Tx=ζ，T=VT?IN，則:

?A(p(t)))T-1=IN?A(p(t))

T(IN?Bf(p(t)))=VT?Bf(p(t))=

(IN?Bf(p(t)))(VT?Iq)

定義:

通過簡單的計算可以將(4)中的系統(tǒng)動力學方程改寫成狀態(tài)變化后的系統(tǒng)動力學方程如下：

(7)

由公式(7)可以得到解耦后的系統(tǒng)狀態(tài)方程如下，其中i=1,....N，

(8)

(9)

(10)

由公式(10)可以得到以下動力學方程，

因此可以得到:

(11)

本文提出的在有限頻域內所設計的H∞故障檢測觀測器需要滿足以下條件：

(12)

(13)

(14)

其中:

2 故障估計觀測器的設計

為了推導出條件(12)-(14)，引入以下引理。

引理3:廣義KPY引理，對于給定的對稱矩陣Π,以下兩個條件是等價的，

(15)

2)存在對稱矩陣P和Q∈Hn，且Q>0，則:

(16)

其中:?c=(?1+?2)/2

表1 不同頻率范圍中的Ω，Ξ

引理4(投影引理):Γ,Λ,Θ為給定的矩陣，存在矩陣G滿足ΓGΛ+(ΓGΛ)T+Θ<0成立，當且僅當下面不等式成立：

Γ⊥Θ?！?0,(ΛT)⊥Θ(ΛT)⊥T<0

(17)

2σPs+ATPs+PsA<0

(18)

基于GKYP引理和投影引理，可以得到滿足條件(12)-(14)的定理。

19)

(20)

(21)

穩(wěn)定性證明：考慮到以下不等式(22):

(22)

通過計算，不等式(22)等價于以下不等式:

(23)

(24)

(25)

JΕJT+ZΠZT+He(ΓGΛ)=

(26)

由引理3可知，如果(26)<0成立，當且僅當(27)成立，

WT(JΞJT+ZΠZT)W<0

U(JΞJT+HΠHT)UT<0

(27)

公式(27)可以寫成以下形式，

所以(26)<0成立。

使用Schur補引理，由(26)可以得到不等式(28)，

(28)

(29)

(30)

則公式(20)成立，同理可證明公式(21)成立。

本部分主要設計了故障估計觀測器，提出了系統(tǒng)穩(wěn)定性條件及在有限頻域內得到了魯棒性條件并且進行了證明。

3 數(shù)值仿真

為了驗證所提出的故障估計觀測器算法在線性變參數(shù)系統(tǒng)中的有效性，本文引入微型飛行器的游蕩飛行模式中的縱向飛行運動，游蕩飛行模式主要受升降輸入的控制[9]，假設每個微型飛行器的單輸入輸出升降模型所對應的矩陣如下所示，

Dd=[0.18]，Df=[1.26]

其中:Bf=Bu是執(zhí)行器故障矩陣；Bd=Bu是外界擾動的矩陣，因為在很多工業(yè)應用中，外部擾動都是通過輸入通道進入到系統(tǒng)中的；p(t)是隨時間變化的參數(shù)，假設p(t)∈[0,0.5]。

四個微型飛行器的拉普拉斯矩陣和網(wǎng)絡拓撲圖如下所示，

圖1 網(wǎng)絡拓撲圖

設定參數(shù)σ=0，|ω|≤?l=0.2，根據(jù)解耦后的系統(tǒng)所設計的故障估計觀測器及提出的算法，通過LMI優(yōu)化技術，在所設定的變參p(t)的范圍內，可以得到外界擾動魯棒性能指標γ1=0.052 7，故障魯棒性能指標(γ2)max=0.887 1，可以看出所設計的故障估計觀測器對故障和外界具有良好的魯棒性，所對應的故障估計觀測器增益矩陣為:

[2.2079 -0.0509 -2.8141 -0.7320 13.1986]T

假設系統(tǒng)時變參數(shù)p(t)=0，當外界擾動d(t)=0.5發(fā)生在t=200 s的時候，實際故障f(t)=1時，由圖2可以看出，在[0,200 s)的區(qū)間內故障估計誤差為0，在200 s時候加入了擾動信號，此時故障估計誤差產生比較大的波動，最后穩(wěn)定在0.026 37，說明所設計的故障估計觀測器能及時且比較準確的估計故障的誤差值；由圖3可以看出，故障的實際值和估計值的大小很相近，估計值最后穩(wěn)定在0.973 6，驗證了故障估計觀測器的有效性。當外界擾動d(t)=0.2*sin(0.2*t),實際故障f(t)=1時，由圖4可以看出，故障的估計誤差近似處于區(qū)間[-0.03431,0.03457]內，且上下波動，誤差值較小，驗證了故障估計觀測器的對故障估計的準確性；由圖5可以看出，故障的估計值圍繞著實際值上下波動且波動范圍非常小，及實際值和估計值很相近。

圖2 故障估計誤差(p(t)=0)

圖3 故障的實際值和估計值(p(t)=0)

圖4 故障估計誤差(p(t)=0)

圖5 實際故障和估計故障(p(t)=0)

假設系統(tǒng)時變參數(shù)p(t)=0.5，當實際故障f(t)=1，外界擾動d(t)=1時，所得到的故障估計誤差如圖6所示，故障實際值和估計值如圖7所示；當實際故障f(t)=1，外界擾動d(t)=0.5*sin(0.2*t)時，所得到的的故障估計誤差如圖8所示，故障實際值和估計值如圖9所示，同理分析，可以知道所設計故障估計觀測器可以比較好的估計故障信號的大小，且估計誤差很小。

圖6 故障估計誤差(p(t)=0.5)

圖7 實際故障和估計故障(p(t)=0.5)

圖8 故障估計誤差(p(t)=0.5)

同理可以得到，在時變參數(shù)p(t)的范圍內，故障估計觀測器具有良好的魯棒性能指標且故障估計誤差較小，驗證了所提出的算法的有效性。

圖9 實際故障和估計故障(p(t)=0.5)

4 總結

本文在有限頻域內針對線性變參數(shù)多智能體系統(tǒng)設計了魯棒H∞故障估計觀測器。首先，根據(jù)每個智能體的絕對可測輸出和相對可測輸出建立了單個智能體的動力學方程，結合通訊拓撲圖及拉普拉斯矩陣得到了多智能體系統(tǒng)的動力學方程，由合適的變換對多智能體系統(tǒng)模型進行解耦；然后由解耦后的系統(tǒng)動力學方程及GKYP和投影引理得到了故障估計觀測器的充要條件，并且給出了證明過程，通過LMI優(yōu)化技術得到了故障估計觀測器增益矩陣和魯棒性能指標；最后，仿真例子驗證了所設計的故障估計觀測器的有效性。

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